Soluciones del 2018 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Los puntos $A,$ $B,$ y $C$ están en ese orden a lo largo de un camino recto, donde la distancia de $A$ a $C$ es de $1800$ metros. Ina corre el doble de rápido que Eve, y Paul corre el doble de rápido que Ina. Los tres corredores empiezan a correr al mismo tiempo: Ina parte de $A$ y corre hacia $C,$ Paul parte de $B$ y corre hacia $C,$ y Eve parte de $C$ y corre hacia $A.$ Cuando Paul se encuentra con Eve, se da la vuelta y corre hacia $A.$ Paul e Ina llegan a $B$ al mismo tiempo. Halla la distancia en metros de $A$ a $B.$

Points $A,$ $B,$ and $C$ lie in that order along a straight path where the distance from $A$ to $C$ is $1800$ meters. Ina runs twice as fast as Eve, and Paul runs twice as fast as Ina. The three runners start running at the same time with Ina starting at $A$ and running toward $C,$ Paul starting at $B$ and running toward $C,$ and Eve starting at $C$ and running toward $A.$ When Paul meets Eve, he turns around and runs toward $A.$ Paul and Ina both arrive at $B$ at the same time. Find the number of meters from $A$ to $B.$

Respuesta

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Sea $x = AB,$ de modo que $BC = 1800 - x,$ y sea $v$ la velocidad de Eve, así que Ina corre a $2v$ y Paul a $4v.$ Paul y Eve parten de $B$ y $C$ corriendo uno hacia el otro, de manera que juntos cubren los $1800 - x$ metros que los separan, y Paul recorre $\frac{4}{5}$ de ellos. Luego Paul deshace ese trayecto de vuelta a $B,$ así que cuando llega a $B$ ha recorrido en total $\frac{8}{5}(1800 - x)$ metros.

Ina llega a $B$ en el mismo instante, habiendo recorrido $x$ metros. Como Paul corre el doble de rápido que Ina, en ese tiempo ha recorrido $2x$ metros. Por lo tanto $\frac{8}{5}(1800 - x) = 2x,$ lo que da $8 \cdot 1800 = 18x,$ así que $x = 800.$

Let $x = AB,$ so $BC = 1800 - x,$ and let Eve's speed be $v,$ so Ina runs at $2v$ and Paul at $4v.$ Paul and Eve start at $B$ and $C$ running toward each other, so together they cover the $1800 - x$ meters between them, with Paul covering $\frac{4}{5}$ of it. Paul then retraces that distance back to $B,$ so when he reaches $B$ he has run $\frac{8}{5}(1800 - x)$ meters in total.

Ina reaches $B$ at the same moment, having run $x$ meters. Since Paul runs twice as fast as Ina, he has run $2x$ meters in that time. Therefore $\frac{8}{5}(1800 - x) = 2x,$ which gives $8 \cdot 1800 = 18x,$ so $x = 800.$

2.

Sean $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ y $a_2 = 8,$ y para $n \gt 2$ se define $a_n$ recursivamente como el residuo de dividir $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ entre $11.$ Halla $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$

Let $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ and $a_2 = 8,$ and for $n \gt 2$ define $a_n$ recursively to be the remainder when $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ is divided by $11.$ Find $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$

Respuesta

Conceptos:recursión aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Calculando los términos sucesivos se obtiene $\begin{gathered} 2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 6,\ 10,\ 7,\ 4,\ 7,\ 6,\ \\ 2,\ 5,\ 8,\ \ldots \end{gathered}$ Como $(a_{10}, a_{11}, a_{12})$ $= (2, 5, 8)$ $= (a_0, a_1, a_2)$ y cada término depende solo de los tres anteriores, la sucesión es periódica con período $10.$

Por lo tanto $a_{2018} = a_8 = 7,$ $a_{2020} = a_0 = 2,$ y $a_{2022} = a_2 = 8,$ así que el producto es $7 \cdot 2 \cdot 8 = 112.$

Computing successive terms gives $\begin{gathered} 2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 6,\ 10,\ 7,\ 4,\ 7,\ 6,\ \\ 2,\ 5,\ 8,\ \ldots \end{gathered}$ Since $(a_{10}, a_{11}, a_{12})$ $= (2, 5, 8)$ $= (a_0, a_1, a_2)$ and each term depends only on the previous three, the sequence is periodic with period $10.$

Therefore $a_{2018} = a_8 = 7,$ $a_{2020} = a_0 = 2,$ and $a_{2022} = a_2 = 8,$ so the product is $7 \cdot 2 \cdot 8 = 112.$

3.

Halla la suma de todos los enteros positivos $b \lt 1000$ tales que el entero $36_{b}$ en base $b$ es un cuadrado perfecto y el entero $27_{b}$ en base $b$ es un cubo perfecto.

Find the sum of all positive integers $b \lt 1000$ such that the base- $b$ integer $36_{b}$ is a perfect square and the base- $b$ integer $27_{b}$ is a perfect cube.

Respuesta

Conceptos:base numérica cuadrado perfecto potencia perfecta acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Las condiciones dicen que $3b + 6$ es un cuadrado perfecto y que $2b + 7$ es un cubo perfecto. Como $2b + 7$ es impar y $b \lt 1000$ obliga a que $2b + 7 \lt 2007,$ el cubo debe ser uno de $1,$ $27,$ $125,$ $343,$ $729,$ $1331,$ lo que da $b = -3,$ $10,$ $59,$ $168,$ $361,$ $662.$

Los valores correspondientes de $3b + 6$ para los candidatos positivos son $36,$ $183,$ $510,$ $1089,$ $1992,$ y solo $36 = 6^2$ (para $b = 10$ ) y $1089 = 33^2$ (para $b = 361$ ) son cuadrados perfectos. La suma pedida es $10 + 361 = 371.$

The conditions say $3b + 6$ is a perfect square and $2b + 7$ is a perfect cube. Since $2b + 7$ is odd and $b \lt 1000$ forces $2b + 7 \lt 2007,$ the cube must be one of $1,$ $27,$ $125,$ $343,$ $729,$ $1331,$ giving $b = -3,$ $10,$ $59,$ $168,$ $361,$ $662.$

The corresponding values of $3b + 6$ for the positive candidates are $36,$ $183,$ $510,$ $1089,$ $1992,$ and only $36 = 6^2$ (for $b = 10$ ) and $1089 = 33^2$ (for $b = 361$ ) are perfect squares. The requested sum is $10 + 361 = 371.$

4.

En el octágono equiangular $CAROLINE,$ se tiene $CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}$ y $AR = OL = IN = EC = 1.$ El octágono autointersecante $CORNELIA$ encierra seis regiones triangulares que no se solapan. Sea $K$ el área encerrada por $CORNELIA,$ es decir, el área total de las seis regiones triangulares. Entonces $K = \frac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $a + b.$

In equiangular octagon $CAROLINE,$ $CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}$ and $AR = OL = IN = EC = 1.$ The self-intersecting octagon $CORNELIA$ encloses six non-overlapping triangular regions. Let $K$ be the area enclosed by $CORNELIA,$ that is, the total area of the six triangular regions. Then $K = \frac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. Find $a + b.$

Respuesta

Conceptos:polígono equiángulo geometría analítica descomposición de áreas simetría

Nivel de dificultad: 2640

Solución:

Como los ángulos interiores son todos de $135^\circ$ y los lados de $\sqrt{2}$ son diagonales de cuadrados unitarios, el octágono encaja en una red: $C = (0, 0),$ $A = (1, 1),$ $R = (2, 1),$ $O = (3, 0),$ $L = (3, -1),$ $I = (2, -2),$ $N = (1, -2),$ $E = (0, -1).$ El camino $CORNELIA$ queda invariante bajo la rotación de $180^\circ$ alrededor de $(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$ Sean $Y$ y $Z$ los puntos donde $AI$ y $RN$ cortan a $CO,$ y sea $W = AI \cap RN.$ El segmento $AI$ tiene pendiente $-3,$ así que $Y = (\tfrac{4}{3}, 0),$ y por simetría $Z = (\tfrac{5}{3}, 0)$ y $W = (\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$

Las seis regiones encerradas son los cuatro triángulos congruentes de las esquinas, como $CAY$ , y los dos pequeños triángulos congruentes, como $YZW.$ El triángulo $CAY$ tiene base $CY = \tfrac{4}{3}$ y altura $1,$ así que su área es $\tfrac{2}{3}.$ El triángulo $YZW$ tiene base $YZ = \tfrac{1}{3}$ y altura $\tfrac{1}{2},$ así que su área es $\tfrac{1}{12}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} K &= 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{12} \\ &= \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}, \end{aligned}$ y $a + b = 17 + 6 = 23.$

Since the interior angles are all $135^\circ$ and the $\sqrt{2}$ sides are diagonals of unit squares, the octagon fits on a lattice: $C = (0, 0),$ $A = (1, 1),$ $R = (2, 1),$ $O = (3, 0),$ $L = (3, -1),$ $I = (2, -2),$ $N = (1, -2),$ $E = (0, -1).$ The path $CORNELIA$ is carried to itself by the $180^\circ$ rotation about $(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$ Let $Y$ and $Z$ be the points where $AI$ and $RN$ cross $CO,$ and let $W = AI \cap RN.$ Segment $AI$ has slope $-3,$ so $Y = (\tfrac{4}{3}, 0),$ and by symmetry $Z = (\tfrac{5}{3}, 0)$ and $W = (\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$

The six enclosed regions are the four congruent corner triangles like $CAY$ and the two small congruent triangles like $YZW.$ Triangle $CAY$ has base $CY = \tfrac{4}{3}$ and height $1,$ so its area is $\tfrac{2}{3}.$ Triangle $YZW$ has base $YZ = \tfrac{1}{3}$ and height $\tfrac{1}{2},$ so its area is $\tfrac{1}{12}.$ Therefore $\begin{aligned} K &= 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{12} \\ &= \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}, \end{aligned}$ and $a + b = 17 + 6 = 23.$

5.

Supón que $x,$ $y,$ y $z$ son números complejos tales que $xy = -80 - 320i,$ $yz = 60,$ y $zx = -96 + 24i,$ donde $i = \sqrt{-1}.$ Entonces existen números reales $a$ y $b$ tales que $x + y + z = a + bi.$ Halla $a^2 + b^2.$

Suppose that $x,$ $y,$ and $z$ are complex numbers such that $xy = -80 - 320i,$ $yz = 60,$ and $zx = -96 + 24i,$ where $i = \sqrt{-1}.$ Then there are real numbers $a$ and $b$ such that $x + y + z = a + bi.$ Find $a^2 + b^2.$

Respuesta

Conceptos:número complejo sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Multiplicando las tres ecuaciones se obtiene $\begin{aligned} (xyz)^2 &= (-80 - 320i)(60) \\ &\quad {}\cdot (-96 + 24i) \\ &= 80 \cdot 60 \cdot 24 \\ &\quad {}\cdot \,(-1 - 4i)(-4 + i) \\ &= 240^2 (16 + 30i). \end{aligned}$ Como $16 + 30i = (5 + 3i)^2,$ obtenemos $xyz = \pm 240(5 + 3i).$

Dividiendo $xyz$ entre cada producto dado se obtiene $\begin{aligned} x &= \frac{xyz}{yz} = \pm(20 + 12i), \\ y &= \frac{xyz}{zx} = \pm(-10 - 10i), \\ z &= \frac{xyz}{xy} = \pm(-3 + 3i), \end{aligned}$ con signos coincidentes. Por lo tanto $x + y + z = \pm(7 + 5i),$ así que $(a, b) = \pm(7, 5)$ y $a^2 + b^2 = 49 + 25 = 74.$

Multiplying the three equations gives $\begin{aligned} (xyz)^2 &= (-80 - 320i)(60) \\ &\quad {}\cdot (-96 + 24i) \\ &= 80 \cdot 60 \cdot 24 \\ &\quad {}\cdot \,(-1 - 4i)(-4 + i) \\ &= 240^2 (16 + 30i). \end{aligned}$ Since $16 + 30i = (5 + 3i)^2,$ we get $xyz = \pm 240(5 + 3i).$

Dividing $xyz$ by each given product yields $\begin{aligned} x &= \frac{xyz}{yz} = \pm(20 + 12i), \\ y &= \frac{xyz}{zx} = \pm(-10 - 10i), \\ z &= \frac{xyz}{xy} = \pm(-3 + 3i), \end{aligned}$ with matching signs. Hence $x + y + z = \pm(7 + 5i),$ so $(a, b) = \pm(7, 5)$ and $a^2 + b^2 = 49 + 25 = 74.$

6.

Se elige un número real $a$ al azar y de manera uniforme del intervalo $[-20, 18].$ La probabilidad de que las raíces del polinomio $\begin{aligned} &x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 \\ &\quad {}+ (-4a + 3)x - 2 \end{aligned}$ sean todas reales se puede escribir en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A real number $a$ is chosen randomly and uniformly from the interval $[-20, 18].$ The probability that the roots of the polynomial $\begin{aligned} &x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 \\ &\quad {}+ (-4a + 3)x - 2 \end{aligned}$ are all real can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:polinomio factorización cuadrática probabilidad geométrica

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Agrupa los términos según si contienen $a:$ $\begin{aligned} &(x^4 - 2x^2 + 3x - 2) \\ &\quad {}+ 2a(x^3 + x^2 - 2x) \\ &= (x - 1)(x + 2)(x^2 - x + 1) \\ &\quad {}+ 2ax(x - 1)(x + 2), \end{aligned}$ de modo que el polinomio se factoriza como $(x - 1)(x + 2)$ $\cdot \left(x^2 + (2a - 1)x + 1\right).$

Las cuatro raíces son reales exactamente cuando el factor cuadrático tiene raíces reales, es decir, cuando $(2a - 1)^2 - 4 \ge 0,$ lo que significa $a \le -\frac{1}{2}$ o $a \ge \frac{3}{2}.$ El intervalo excluido $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ tiene longitud $2$ dentro de $[-20, 18],$ que tiene longitud $38,$ así que la probabilidad es $\frac{36}{38} = \frac{18}{19}.$ La suma pedida es $18 + 19 = 37.$

Group the terms by whether they involve $a:$ $\begin{aligned} &(x^4 - 2x^2 + 3x - 2) \\ &\quad {}+ 2a(x^3 + x^2 - 2x) \\ &= (x - 1)(x + 2)(x^2 - x + 1) \\ &\quad {}+ 2ax(x - 1)(x + 2), \end{aligned}$ so the polynomial factors as $(x - 1)(x + 2)$ $\cdot \left(x^2 + (2a - 1)x + 1\right).$

All four roots are real exactly when the quadratic factor has real roots, i.e. when $(2a - 1)^2 - 4 \ge 0,$ which means $a \le -\frac{1}{2}$ or $a \ge \frac{3}{2}.$ The excluded interval $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ has length $2$ inside $[-20, 18],$ which has length $38,$ so the probability is $\frac{36}{38} = \frac{18}{19}.$ The requested sum is $18 + 19 = 37.$

7.

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 9,$ $BC = 5\sqrt{3},$ y $AC = 12.$ Los puntos $A = P_0, P_1, P_2, \ldots, P_{2450} = B$ están sobre el segmento $\overline{AB}$ con $P_k$ entre $P_{k-1}$ y $P_{k+1}$ para $k = 1, 2, \ldots, 2449,$ y los puntos $A = Q_0, Q_1, Q_2, \ldots, Q_{2450} = C$ están sobre el segmento $\overline{AC}$ con $Q_k$ entre $Q_{k-1}$ y $Q_{k+1}$ para $k = 1, 2, \ldots, 2449.$ Además, cada segmento $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1, 2, \ldots, 2449,$ es paralelo a $\overline{BC}.$ Los segmentos dividen el triángulo en $2450$ regiones, formadas por $2449$ trapecios y $1$ triángulo. Cada una de las $2450$ regiones tiene la misma área. Halla el número de segmentos $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1, 2, \ldots, 2450,$ que tienen longitud racional.

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 9,$ $BC = 5\sqrt{3},$ and $AC = 12.$ Points $A = P_0, P_1, P_2, \ldots, P_{2450} = B$ are on segment $\overline{AB}$ with $P_k$ between $P_{k-1}$ and $P_{k+1}$ for $k = 1, 2, \ldots, 2449,$ and points $A = Q_0, Q_1, Q_2, \ldots, Q_{2450} = C$ are on segment $\overline{AC}$ with $Q_k$ between $Q_{k-1}$ and $Q_{k+1}$ for $k = 1, 2, \ldots, 2449.$ Furthermore, each segment $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1, 2, \ldots, 2449,$ is parallel to $\overline{BC}.$ The segments cut the triangle into $2450$ regions, consisting of $2449$ trapezoids and $1$ triangle. Each of the $2450$ regions has the same area. Find the number of segments $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1, 2, \ldots, 2450,$ that have rational length.

Respuesta

Conceptos:semejanza razón de áreas cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Como las $2450$ regiones tienen áreas iguales, el triángulo $AP_kQ_k$ (la unión de las primeras $k$ regiones) tiene área $\frac{k}{2450}$ del triángulo $ABC.$ Cada triángulo $AP_kQ_k$ es semejante a $ABC,$ y las longitudes escalan como la raíz cuadrada de las áreas, así que $\begin{aligned} P_kQ_k &= 5\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{k}{2450}} \\ &= 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{k}}{35\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6k}}{14}. \end{aligned}$

Esto es racional exactamente cuando $6k$ es un cuadrado perfecto, lo que ocurre exactamente cuando $k = 6j^2$ para un entero positivo $j.$ La condición $6j^2 \le 2450$ da $j^2 \le 408,$ así que $j = 1, 2, \ldots, 20.$ Hay $20$ segmentos de este tipo.

Since the $2450$ regions have equal areas, triangle $AP_kQ_k$ (the union of the first $k$ regions) has area $\frac{k}{2450}$ of triangle $ABC.$ Each triangle $AP_kQ_k$ is similar to $ABC,$ and lengths scale as the square root of areas, so $\begin{aligned} P_kQ_k &= 5\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{k}{2450}} \\ &= 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{k}}{35\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6k}}{14}. \end{aligned}$

This is rational exactly when $6k$ is a perfect square, which happens exactly when $k = 6j^2$ for a positive integer $j.$ The condition $6j^2 \le 2450$ gives $j^2 \le 408,$ so $j = 1, 2, \ldots, 20.$ There are $20$ such segments.

8.

Una rana está situada en el origen del plano de coordenadas. Desde el punto $(x, y),$ la rana puede saltar a cualquiera de los puntos $(x + 1, y),$ $(x + 2, y),$ $(x, y + 1),$ o $(x, y + 2).$ Halla el número de sucesiones distintas de saltos en las que la rana comienza en $(0, 0)$ y termina en $(4, 4).$

A frog is positioned at the origin in the coordinate plane. From the point $(x, y),$ the frog can jump to any of the points $(x + 1, y),$ $(x + 2, y),$ $(x, y + 1),$ or $(x, y + 2).$ Find the number of distinct sequences of jumps in which the frog begins at $(0, 0)$ and ends at $(4, 4).$

Respuesta

Conceptos:particiones y composiciones permutaciones de multiconjuntos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Los saltos horizontales son pasos de $1$ o $2$ que suman $4,$ así que como multiconjunto son $\{1,1,1,1\},$ $\{1,1,2\},$ o $\{2,2\},$ y lo mismo ocurre con los saltos verticales. Para cualquier elección de los dos multiconjuntos, todo ordenamiento de los saltos es una sucesión válida, y el número de ordenamientos es el coeficiente multinomial del multiconjunto combinado.

Los nueve casos dan $\begin{aligned} &\binom{8}{4} = 70, \\ &\quad \frac{7!}{4!\,2!} = 105 \text{ (twice)}, \\ &\quad \frac{6!}{4!\,2!} = 15 \text{ (twice)}, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\frac{6!}{2!\,2!} = 180, \\ &\quad \frac{5!}{2!\,2!} = 30 \text{ (twice)}, \\ &\quad \binom{4}{2} = 6. \end{aligned}$

El total es $70 + 2 \cdot 105 + 2 \cdot 15$ $+ 180 + 2 \cdot 30 + 6$ $= 556.$

The horizontal jumps are steps of $1$ or $2$ summing to $4,$ so as a multiset they are $\{1,1,1,1\},$ $\{1,1,2\},$ or $\{2,2\},$ and the same holds for the vertical jumps. For any choice of the two multisets, every ordering of all the jumps is a valid sequence, and the number of orderings is the multinomial coefficient of the combined multiset.

The nine cases give $\begin{aligned} &\binom{8}{4} = 70, \\ &\quad \frac{7!}{4!\,2!} = 105 \text{ (twice)}, \\ &\quad \frac{6!}{4!\,2!} = 15 \text{ (twice)}, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\frac{6!}{2!\,2!} = 180, \\ &\quad \frac{5!}{2!\,2!} = 30 \text{ (twice)}, \\ &\quad \binom{4}{2} = 6. \end{aligned}$

The total is $70 + 2 \cdot 105 + 2 \cdot 15$ $+ 180 + 2 \cdot 30 + 6$ $= 556.$

9.

El octágono $ABCDEFGH$ con lados $AB = CD = EF = GH = 10$ y $BC = DE = FG = HA = 11$ se forma quitando cuatro triángulos $6$ - $8$ - $10$ de las esquinas de un rectángulo $23 \times 27$ con el lado $\overline{AH}$ sobre un lado corto del rectángulo, como se muestra. Sea $J$ el punto medio de $\overline{AH},$ y divide el octágono en $7$ triángulos trazando los segmentos $\overline{JB},$ $\overline{JC},$ $\overline{JD},$ $\overline{JE},$ $\overline{JF},$ y $\overline{JG}.$ Halla el área del polígono convexo cuyos vértices son los baricentros de estos $7$ triángulos.

Octagon $ABCDEFGH$ with side lengths $AB = CD = EF = GH = 10$ and $BC = DE = FG = HA = 11$ is formed by removing four $6$ - $8$ - $10$ triangles from the corners of a $23 \times 27$ rectangle with side $\overline{AH}$ on a short side of the rectangle, as shown. Let $J$ be the midpoint of $\overline{AH},$ and partition the octagon into $7$ triangles by drawing segments $\overline{JB},$ $\overline{JC},$ $\overline{JD},$ $\overline{JE},$ $\overline{JF},$ and $\overline{JG}.$ Find the area of the convex polygon whose vertices are the centroids of these $7$ triangles.

Respuesta

Conceptos:baricentro homotecia geometría analítica descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Cada uno de los $7$ triángulos tiene a $J$ como vértice, y el baricentro de un triángulo $JVW$ está sobre el segmento que va de $J$ al punto medio de $\overline{VW},$ a dos tercios del recorrido. Así que el heptágono de los baricentros es la imagen del heptágono $S$ formado por los puntos medios de $\overline{AB}, \overline{BC}, \ldots, \overline{GH}$ bajo una homotecia centrada en $J$ de razón $\frac{2}{3},$ y su área es $\frac{4}{9}[S].$

Coloca el rectángulo con $A = (0, 6),$ $B = (8, 0),$ $C = (19, 0),$ $D = (27, 6),$ $E = (27, 17),$ $F = (19, 23),$ $G = (8, 23),$ $H = (0, 17),$ de modo que $J = (0, \tfrac{23}{2}).$ Los puntos medios son $(4, 3),$ $(\tfrac{27}{2}, 0),$ $(23, 3),$ $(27, \tfrac{23}{2}),$ $(23, 20),$ $(\tfrac{27}{2}, 23),$ $(4, 20).$ Los segmentos verticales en $x = 4,$ $x = \tfrac{27}{2},$ y $x = 23$ tienen longitudes $17,$ $23,$ y $17,$ lo que corta $S$ en dos trapecios de altura $\tfrac{19}{2}$ y un triángulo de altura $4:$ $\begin{aligned} [S] &= 2 \cdot \frac{17 + 23}{2} \cdot \frac{19}{2} \\ &\quad {}+ \frac{17 \cdot 4}{2} \\ &= 380 + 34 = 414. \end{aligned}$

El área pedida es $\frac{4}{9} \cdot 414 = 184.$

Each of the $7$ triangles has $J$ as a vertex, and the centroid of a triangle $JVW$ lies on the segment from $J$ to the midpoint of $\overline{VW},$ two-thirds of the way out. So the centroid heptagon is the image of the heptagon $S$ formed by the midpoints of $\overline{AB}, \overline{BC}, \ldots, \overline{GH}$ under a dilation centered at $J$ with ratio $\frac{2}{3},$ and its area is $\frac{4}{9}[S].$

Place the rectangle with $A = (0, 6),$ $B = (8, 0),$ $C = (19, 0),$ $D = (27, 6),$ $E = (27, 17),$ $F = (19, 23),$ $G = (8, 23),$ $H = (0, 17),$ so $J = (0, \tfrac{23}{2}).$ The midpoints are $(4, 3),$ $(\tfrac{27}{2}, 0),$ $(23, 3),$ $(27, \tfrac{23}{2}),$ $(23, 20),$ $(\tfrac{27}{2}, 23),$ $(4, 20).$ The vertical segments at $x = 4,$ $x = \tfrac{27}{2},$ and $x = 23$ have lengths $17,$ $23,$ and $17,$ cutting $S$ into two trapezoids of height $\tfrac{19}{2}$ and a triangle of height $4:$ $\begin{aligned} [S] &= 2 \cdot \frac{17 + 23}{2} \cdot \frac{19}{2} \\ &\quad {}+ \frac{17 \cdot 4}{2} \\ &= 380 + 34 = 414. \end{aligned}$

The requested area is $\frac{4}{9} \cdot 414 = 184.$

10.

Halla el número de funciones $f(x)$ de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ a $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ que satisfacen $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ para todo $x$ en $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$

Find the number of functions $f(x)$ from $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ to $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ that satisfy $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ for all $x$ in $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$

Respuesta

Conceptos:función combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Aplicar $f$ repetidamente a $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ muestra que la condición significa que $f(f(x))$ es un punto fijo de $f$ para todo $x.$ Así que los elementos se organizan en niveles: un conjunto no vacío de $i$ puntos fijos, luego $j$ elementos cuya imagen es un punto fijo (pero que no son fijos), y los $5 - i - j$ elementos restantes, cada uno de los cuales debe aplicarse a uno de los $j$ elementos intermedios.

Para $i$ y $j$ dados hay $\binom{5}{i}$ formas de elegir los puntos fijos, $\binom{5-i}{j}$ formas de elegir el nivel intermedio, $i^j$ aplicaciones del nivel intermedio a los puntos fijos, y $j^{\,5-i-j}$ aplicaciones para el resto. Sumar $\binom{5}{i}\binom{5-i}{j}\, i^j \, j^{\,5-i-j}$ sobre los pares válidos (todos con $i \ge 1,$ $j \ge 1,$ más el caso identidad $i = 5$ ) da $\begin{aligned} &20 + 120 + 60 + 5 \\ &\quad {}+ 60 + 240 + 80 \\ &\quad {}+ 60 + 90 + 20 + 1 = 756. \end{aligned}$

Applying $f$ to $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ repeatedly shows the condition means that $f(f(x))$ is a fixed point of $f$ for every $x.$ So the elements organize into levels: a nonempty set of $i$ fixed points, then $j$ elements whose image is a fixed point (but which are not fixed), and the remaining $5 - i - j$ elements, each of which must map to one of the $j$ middle elements.

For given $i$ and $j$ there are $\binom{5}{i}$ choices of fixed points, $\binom{5-i}{j}$ choices of the middle level, $i^j$ maps from the middle level to the fixed points, and $j^{\,5-i-j}$ maps for the rest. Summing $\binom{5}{i}\binom{5-i}{j}\, i^j \, j^{\,5-i-j}$ over the valid pairs (all $i \ge 1,$ $j \ge 1,$ plus the identity case $i = 5$ ) gives $\begin{aligned} &20 + 120 + 60 + 5 \\ &\quad {}+ 60 + 240 + 80 \\ &\quad {}+ 60 + 90 + 20 + 1 = 756. \end{aligned}$

11.

Halla el número de permutaciones de $1, 2, 3, 4, 5, 6$ tales que para cada $k$ con $1 \le k \le 5,$ al menos uno de los primeros $k$ términos de la permutación es mayor que $k.$

Find the number of permutations of $1, 2, 3, 4, 5, 6$ such that for each $k$ with $1 \le k \le 5,$ at least one of the first $k$ terms of the permutation is greater than $k.$

Respuesta

Conceptos:permutaciones conteo complementario conteo recursivo

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

La condición falla exactamente cuando los primeros $k$ términos son una permutación de $\{1, \ldots, k\}$ para algún $k \le 5.$ Para una permutación de $1, \ldots, n,$ sea $k$ la menor longitud para la cual el prefijo es $\{1, \ldots, k\}$ (la longitud total $n$ siempre funciona), y sea $c_n$ el número de permutaciones cuyo menor $k$ de este tipo es $n.$ Queremos $c_6.$

Cada permutación de $1, \ldots, n$ se descompone de forma única como un prefijo mínimo de longitud $k$ ( $c_k$ opciones) seguido de cualquier ordenamiento de los $n - k$ valores restantes, así que $\sum_{k=1}^{n} c_k \,(n-k)! = n!.$ Partiendo de $c_1 = 1,$ esto da $c_2 = 1,$ $c_3 = 3,$ $c_4 = 13,$ $c_5 = 71,$ y $\begin{aligned} c_6 &= 720 \\ &\quad {}- \tiny(120 \cdot 1 + 24 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 13 + 1 \cdot 71) \\ &= 720 - 259 = 461. \end{aligned}$

The condition fails exactly when the first $k$ terms are a permutation of $\{1, \ldots, k\}$ for some $k \le 5.$ For a permutation of $1, \ldots, n,$ let $k$ be the smallest length for which the prefix is $\{1, \ldots, k\}$ (the full length $n$ always works), and let $c_n$ be the number of permutations whose smallest such $k$ is $n.$ We want $c_6.$

Every permutation of $1, \ldots, n$ decomposes uniquely as a minimal prefix of length $k$ ( $c_k$ choices) followed by any arrangement of the remaining $n - k$ values, so $\sum_{k=1}^{n} c_k \,(n-k)! = n!.$ Starting from $c_1 = 1,$ this gives $c_2 = 1,$ $c_3 = 3,$ $c_4 = 13,$ $c_5 = 71,$ and $\begin{aligned} c_6 &= 720 \\ &\quad {}- \tiny(120 \cdot 1 + 24 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 13 + 1 \cdot 71) \\ &= 720 - 259 = 461. \end{aligned}$

12.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB = CD = 10,$ $BC = 14,$ y $AD = 2\sqrt{65}.$ Supón que las diagonales de $ABCD$ se cortan en el punto $P,$ y que la suma de las áreas de los triángulos $APB$ y $CPD$ es igual a la suma de las áreas de los triángulos $BPC$ y $APD.$ Halla el área del cuadrilátero $ABCD.$

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $AB = CD = 10,$ $BC = 14,$ and $AD = 2\sqrt{65}.$ Assume that the diagonals of $ABCD$ intersect at point $P,$ and that the sum of the areas of triangles $APB$ and $CPD$ equals the sum of the areas of triangles $BPC$ and $APD.$ Find the area of quadrilateral $ABCD.$

Respuesta

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Sean $a = AP,$ $b = BP,$ $c = CP,$ $d = DP,$ y sea $\theta = \angle CPD.$ Como $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta,$ la condición de áreas iguales $\frac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$ $= \frac{1}{2}(ad + bc)\sin\theta$ se simplifica a $(a - c)(d - b) = 0.$ Por simetría supón $a = c.$

La ley de cosenos en los triángulos $BPC$ y $APB$ (cuyos ángulos en $P$ son suplementarios) da $a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta = 196$ y $a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = 100,$ así que $a^2 + b^2 = 148$ y $ab\cos\theta = 24.$ De forma análoga los triángulos $APD$ y $CPD$ dan $a^2 + d^2 = 180$ y $ad\cos\theta = 40.$ Dividiendo, $\frac{d}{b} = \frac{5}{3},$ mientras que restando se obtiene $d^2 - b^2 = 32;$ por lo tanto $b = 3\sqrt{2},$ $d = 5\sqrt{2},$ $a^2 = 130,$ y $\cos^2\theta = \frac{24^2}{130 \cdot 18} = \frac{16}{65},$ así que $\sin\theta = \frac{7}{\sqrt{65}}.$

El área total es $\begin{aligned} \frac{1}{2}(a + c)(b + d) \\ &\quad {}\cdot \sin\theta \\ &= a(b + d)\sin\theta \\ &= \sqrt{130} \cdot 8\sqrt{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{7}{\sqrt{65}} \\ &= 112. \end{aligned}$

Let $a = AP,$ $b = BP,$ $c = CP,$ $d = DP,$ and let $\theta = \angle CPD.$ Since $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta,$ the equal-area condition $\frac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$ $= \frac{1}{2}(ad + bc)\sin\theta$ simplifies to $(a - c)(d - b) = 0.$ By symmetry assume $a = c.$

The law of cosines in triangles $BPC$ and $APB$ (whose angles at $P$ are supplementary) gives $a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta = 196$ and $a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = 100,$ so $a^2 + b^2 = 148$ and $ab\cos\theta = 24.$ Similarly triangles $APD$ and $CPD$ give $a^2 + d^2 = 180$ and $ad\cos\theta = 40.$ Dividing, $\frac{d}{b} = \frac{5}{3},$ while subtracting gives $d^2 - b^2 = 32;$ hence $b = 3\sqrt{2},$ $d = 5\sqrt{2},$ $a^2 = 130,$ and $\cos^2\theta = \frac{24^2}{130 \cdot 18} = \frac{16}{65},$ so $\sin\theta = \frac{7}{\sqrt{65}}.$

The total area is $\begin{aligned} \frac{1}{2}(a + c)(b + d) \\ &\quad {}\cdot \sin\theta \\ &= a(b + d)\sin\theta \\ &= \sqrt{130} \cdot 8\sqrt{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{7}{\sqrt{65}} \\ &= 112. \end{aligned}$

13.

Misha lanza un dado estándar, justo, de seis caras hasta que obtiene $1$ - $2$ - $3$ en ese orden en tres lanzamientos consecutivos. La probabilidad de que lance el dado un número impar de veces es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Misha rolls a standard, fair six-sided die until she rolls $1$ - $2$ - $3$ in that order on three consecutive rolls. The probability that she will roll the die an odd number of times is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad recursiva dados (probabilidad)paridad sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Sea $a$ la probabilidad de que el número total de lanzamientos sea impar; sea $b$ esa probabilidad dado que el primer lanzamiento es un $1,$ y $c$ dado que los dos primeros lanzamientos son $1$ - $2$ (en cada caso contando todos los lanzamientos). Condiciona sobre el siguiente lanzamiento, notando que cada vez que el conteo se reinicia, los lanzamientos ya usados invierten la paridad requerida. Empezando de cero: un $1$ lleva al estado $b;$ cualquier otra cosa usa un lanzamiento, tras el cual se necesita una continuación par. Tras un $1:$ otro $1$ significa que el primer lanzamiento se desperdicia, y se necesita una continuación par del tipo $b$ ; un $2$ lleva a $c;$ cualquier otra cosa desperdicia ambos lanzamientos. Tras $1$ - $2:$ un $3$ termina en $3$ lanzamientos (impar); un $1$ reinicia en el estado $b$ con dos lanzamientos desperdiciados; cualquier otra cosa desperdicia los tres. Así $\begin{aligned} a &= \frac{1}{6}b + \frac{5}{6}(1 - a), \\ b &= \frac{1}{6}(1 - b) + \frac{1}{6}c + \frac{4}{6}a, \\ c &= \frac{1}{6}b + \frac{1}{6} + \frac{4}{6}(1 - a). \end{aligned}$

La primera ecuación da $b = 11a - 5;$ sustituir la tercera en la segunda produce $41b = 11 + 20a,$ así que $41(11a - 5) = 11 + 20a,$ lo que da $431a = 216$ y $a = \frac{216}{431}.$ Como $431$ es primo, $m + n = 216 + 431 = 647.$

Let $a$ be the probability that the total number of rolls is odd; let $b$ be that probability given that the first roll is a $1,$ and $c$ given that the first two rolls are $1$ - $2$ (in each case counting all rolls). Condition on the next roll, noting that whenever the count restarts, the rolls already used flip the required parity. Starting fresh: a $1$ leads to state $b;$ anything else uses one roll, after which an even continuation is needed. After a $1:$ another $1$ means the first roll is wasted, needing an even continuation of the $b$ -type; a $2$ leads to $c;$ anything else wastes both rolls. After $1$ - $2:$ a $3$ finishes in $3$ rolls (odd); a $1$ restarts at the $b$ -state with two wasted rolls; anything else wastes all three. Thus $\begin{aligned} a &= \frac{1}{6}b + \frac{5}{6}(1 - a), \\ b &= \frac{1}{6}(1 - b) + \frac{1}{6}c + \frac{4}{6}a, \\ c &= \frac{1}{6}b + \frac{1}{6} + \frac{4}{6}(1 - a). \end{aligned}$

The first equation gives $b = 11a - 5;$ substituting the third into the second yields $41b = 11 + 20a,$ so $41(11a - 5) = 11 + 20a,$ giving $431a = 216$ and $a = \frac{216}{431}.$ Since $431$ is prime, $m + n = 216 + 431 = 647.$

14.

La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a $\overline{BC}$ en $X.$ Sea $Y \neq X$ la otra intersección de $\overline{AX}$ con $\omega.$ Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente, de modo que $\overline{PQ}$ es tangente a $\omega$ en $Y.$ Supón que $AP = 3,$ $PB = 4,$ $AC = 8,$ y $AQ = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The incircle $\omega$ of triangle $ABC$ is tangent to $\overline{BC}$ at $X.$ Let $Y \neq X$ be the other intersection of $\overline{AX}$ with $\omega.$ Points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, so that $\overline{PQ}$ is tangent to $\omega$ at $Y.$ Assume that $AP = 3,$ $PB = 4,$ $AC = 8,$ and $AQ = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio recta tangente ley de los senos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Sea $\omega$ tangente a $\overline{AB}$ en $Z$ y a $\overline{AC}$ en $W,$ y pon $\alpha = \angle BAX$ y $\beta = \angle AXC.$ El ángulo tangente-cuerda entre $PQ$ y la cuerda $XY$ es igual al que hay entre $BC$ y $XY,$ así que $\angle QYX = \angle YXC = \beta,$ y los ángulos opuestos por el vértice dan $\angle AYP = \beta.$ En el triángulo $APY$ la ley de senos da $PY = AP\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ y por tangentes iguales $PZ = PY,$ así que $\frac{AZ}{AP} = 1 + \frac{PY}{AP} = 1 + \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$ En el triángulo $ABX,$ como $\angle AXB = 180^\circ - \beta,$ de forma análoga $BX = AB\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ y $BZ = BX$ da $\frac{AZ}{AB} = 1 - \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$

Sumando las dos relaciones, $\frac{AZ}{AP} + \frac{AZ}{AB} = 2,$ así que con $AP = 3$ y $AB = 7$ obtenemos $AZ\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\right) = 2,$ de donde $AZ = \frac{21}{5}.$ El mismo argumento sobre el lado $AC$ (usando $\angle XAC$ en los triángulos $AQY$ y $ACX$ ) da $\frac{AW}{AQ} + \frac{AW}{AC} = 2,$ y $AW = AZ = \frac{21}{5}$ por tangentes iguales desde $A.$ Por lo tanto $\frac{1}{AQ} = \frac{10}{21} - \frac{1}{8} = \frac{59}{168},$ así que $AQ = \frac{168}{59}$ y $m + n = 168 + 59 = 227.$

Let $\omega$ touch $\overline{AB}$ at $Z$ and $\overline{AC}$ at $W,$ and set $\alpha = \angle BAX$ and $\beta = \angle AXC.$ The tangent-chord angle between $PQ$ and chord $XY$ equals the one between $BC$ and $XY,$ so $\angle QYX = \angle YXC = \beta,$ and vertical angles give $\angle AYP = \beta.$ In triangle $APY$ the law of sines gives $PY = AP\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ and by equal tangents $PZ = PY,$ so $\frac{AZ}{AP} = 1 + \frac{PY}{AP} = 1 + \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$ In triangle $ABX,$ since $\angle AXB = 180^\circ - \beta,$ similarly $BX = AB\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ and $BZ = BX$ gives $\frac{AZ}{AB} = 1 - \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$

Adding the two relations, $\frac{AZ}{AP} + \frac{AZ}{AB} = 2,$ so with $AP = 3$ and $AB = 7$ we get $AZ\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\right) = 2,$ hence $AZ = \frac{21}{5}.$ The identical argument on side $AC$ (using $\angle XAC$ in triangles $AQY$ and $ACX$ ) gives $\frac{AW}{AQ} + \frac{AW}{AC} = 2,$ and $AW = AZ = \frac{21}{5}$ by equal tangents from $A.$ Therefore $\frac{1}{AQ} = \frac{10}{21} - \frac{1}{8} = \frac{59}{168},$ so $AQ = \frac{168}{59}$ and $m + n = 168 + 59 = 227.$

15.

Halla el número de funciones $f$ de $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ a los enteros tales que $f(0) = 0,$ $f(6) = 12,$ y $\begin{aligned} |x - y| &\le |f(x) - f(y)| \\ &\le 3|x - y| \end{aligned}$ para todo $x$ e $y$ en $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$

Find the number of functions $f$ from $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ to the integers such that $f(0) = 0,$ $f(6) = 12,$ and $\begin{aligned} |x - y| &\le |f(x) - f(y)| \\ &\le 3|x - y| \end{aligned}$ for all $x$ and $y$ in $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$

Respuesta

Conceptos:particiones y composiciones permutaciones de multiconjuntos análisis por casos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Sea $d_i = f(i) - f(i-1),$ de modo que cada $|d_i| \in \{1, 2, 3\}$ y $d_1 + \cdots + d_6 = 12.$ Si $k$ de las diferencias fueran negativas, la suma sería a lo sumo $3(6 - k) - k = 18 - 4k,$ así que $k \le 1.$ Si ninguna diferencia es negativa, las soluciones de $a + b + c = 6,$ $a + 2b + 3c = 12$ (con $a, b, c$ contando los $1$ , los $2$ y los $3$ ) son $(0,6,0),$ $(1,4,1),$ $(2,2,2),$ $(3,0,3),$ y todos esos ordenamientos satisfacen cada condición de pares, lo que da $\begin{aligned} &\binom{6}{0,6,0} + \binom{6}{1,4,1} \\ &\quad {}+ \binom{6}{2,2,2} + \binom{6}{3,0,3} \\ &= 1 + 30 + 90 + 20 = 141. \end{aligned}$

Si $d_1 \lt 0,$ entonces $|f(2)| \ge 2$ junto con $f(2) \le d_1 + 3$ obliga a $d_1 = -1$ y $d_2 = 3;$ las cuatro diferencias restantes son positivas y suman $10,$ lo que da $\binom{4}{1,0,3} + \binom{4}{0,2,2} = 4 + 6 = 10$ funciones, y el caso $d_6 \lt 0$ es simétrico: $20$ en total. Por último, si $d_{n+1} \lt 0$ para algún $n = 1, 2, 3, 4,$ las condiciones de pares $|f(n+1) - f(n-1)| \ge 2$ y $|f(n+2) - f(n)| \ge 2$ obligan a $d_{n+1} = -1$ y $d_n = d_{n+2} = 3.$ Las otras tres diferencias son positivas y suman $7,$ lo que se logra con dos $3$ y un $1$ o con un $3$ y dos $2,$ cada uno en $3$ órdenes: $6$ maneras para cada una de las $4$ posiciones, o $24$ funciones.

El total es $141 + 20 + 24 = 185.$

Let $d_i = f(i) - f(i-1),$ so each $|d_i| \in \{1, 2, 3\}$ and $d_1 + \cdots + d_6 = 12.$ If $k$ of the differences were negative, the sum would be at most $3(6 - k) - k = 18 - 4k,$ so $k \le 1.$ If no difference is negative, the solutions of $a + b + c = 6,$ $a + 2b + 3c = 12$ (with $a, b, c$ counting $1$ s, $2$ s, $3$ s) are $(0,6,0),$ $(1,4,1),$ $(2,2,2),$ $(3,0,3),$ and all such orderings satisfy every pair condition, giving $\begin{aligned} &\binom{6}{0,6,0} + \binom{6}{1,4,1} \\ &\quad {}+ \binom{6}{2,2,2} + \binom{6}{3,0,3} \\ &= 1 + 30 + 90 + 20 = 141. \end{aligned}$

If $d_1 \lt 0,$ then $|f(2)| \ge 2$ with $f(2) \le d_1 + 3$ forces $d_1 = -1$ and $d_2 = 3;$ the remaining four differences are positive and sum to $10,$ giving $\binom{4}{1,0,3} + \binom{4}{0,2,2} = 4 + 6 = 10$ functions, and the case $d_6 \lt 0$ is symmetric: $20$ in all. Finally, if $d_{n+1} \lt 0$ for some $n = 1, 2, 3, 4,$ the pair conditions $|f(n+1) - f(n-1)| \ge 2$ and $|f(n+2) - f(n)| \ge 2$ force $d_{n+1} = -1$ and $d_n = d_{n+2} = 3.$ The other three differences are positive and sum to $7,$ achievable as two $3$ s and a $1$ or a $3$ and two $2$ s, each in $3$ orders: $6$ ways for each of the $4$ positions, or $24$ functions.

The total is $141 + 20 + 24 = 185.$