2018 AIME II — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Los puntos $A,$ $B,$ y $C$ están en ese orden a lo largo de un camino recto, donde la distancia de $A$ a $C$ es de $1800$ metros. Ina corre el doble de rápido que Eve, y Paul corre el doble de rápido que Ina. Los tres corredores empiezan a correr al mismo tiempo: Ina parte de $A$ y corre hacia $C,$ Paul parte de $B$ y corre hacia $C,$ y Eve parte de $C$ y corre hacia $A.$ Cuando Paul se encuentra con Eve, se da la vuelta y corre hacia $A.$ Paul e Ina llegan a $B$ al mismo tiempo. Halla la distancia en metros de $A$ a $B.$

Points $A,$ $B,$ and $C$ lie in that order along a straight path where the distance from $A$ to $C$ is $1800$ meters. Ina runs twice as fast as Eve, and Paul runs twice as fast as Ina. The three runners start running at the same time with Ina starting at $A$ and running toward $C,$ Paul starting at $B$ and running toward $C,$ and Eve starting at $C$ and running toward $A.$ When Paul meets Eve, he turns around and runs toward $A.$ Paul and Ina both arrive at $B$ at the same time. Find the number of meters from $A$ to $B.$

Respuesta

Respuesta: 800

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sea $AB = x.$ Paul y Eve cubren juntos el tramo de $B$ a $C,$ así que Paul recorre $\frac{4}{5}$ de él antes de darse la vuelta

Let $AB = x.$ Paul and Eve together cover the gap from $B$ to $C,$ so Paul runs $\frac{4}{5}$ of it before turning around

Pista grande:

Cuando Paul vuelve a $B$ ha recorrido $\frac{8}{5}(1800 - x),$ y en ese mismo tiempo Ina, a la mitad de su velocidad, ha recorrido $x$

When Paul is back at $B$ he has run $\frac{8}{5}(1800 - x),$ and in that same time Ina, at half his speed, has run $x$

Solución:

Sea $x = AB,$ de modo que $BC = 1800 - x,$ y sea $v$ la velocidad de Eve, así que Ina corre a $2v$ y Paul a $4v.$ Paul y Eve parten de $B$ y $C$ corriendo uno hacia el otro, de manera que juntos cubren los $1800 - x$ metros que los separan, y Paul recorre $\frac{4}{5}$ de ellos. Luego Paul deshace ese trayecto de vuelta a $B,$ así que cuando llega a $B$ ha recorrido en total $\frac{8}{5}(1800 - x)$ metros.

Ina llega a $B$ en el mismo instante, habiendo recorrido $x$ metros. Como Paul corre el doble de rápido que Ina, en ese tiempo ha recorrido $2x$ metros. Por lo tanto $\frac{8}{5}(1800 - x) = 2x,$ lo que da $8 \cdot 1800 = 18x,$ así que $x = 800.$

Let $x = AB,$ so $BC = 1800 - x,$ and let Eve’s speed be $v,$ so Ina runs at $2v$ and Paul at $4v.$ Paul and Eve start at $B$ and $C$ running toward each other, so together they cover the $1800 - x$ meters between them, with Paul covering $\frac{4}{5}$ of it. Paul then retraces that distance back to $B,$ so when he reaches $B$ he has run $\frac{8}{5}(1800 - x)$ meters in total.

Ina reaches $B$ at the same moment, having run $x$ meters. Since Paul runs twice as fast as Ina, he has run $2x$ meters in that time. Therefore $\frac{8}{5}(1800 - x) = 2x,$ which gives $8 \cdot 1800 = 18x,$ so $x = 800.$

2.

Sean $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ y $a_2 = 8,$ y para $n \gt 2$ se define $a_n$ recursivamente como el residuo de dividir $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ entre $11.$ Halla $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$

Let $a_0 = 2,$ $a_1 = 5,$ and $a_2 = 8,$ and for $n \gt 2$ define $a_n$ recursively to be the remainder when $4(a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3})$ is divided by $11.$ Find $a_{2018} \cdot a_{2020} \cdot a_{2022}.$

Respuesta

Respuesta: 112

Conceptos:recursión aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Calcula los términos uno a uno; cada término depende solo de los tres anteriores, así que en cuanto se repite una terna de términos consecutivos, la sucesión es periódica

Compute terms one at a time; each term depends only on the previous three, so once a triple of consecutive terms repeats, the sequence is periodic

Pista grande:

La sucesión se repite con período $10,$ así que reduce los índices $2018,$ $2020,$ $2022$ módulo $10$

The sequence repeats with period $10,$ so reduce the indices $2018,$ $2020,$ $2022$ modulo $10$

Solución:

Calculando los términos sucesivos se obtiene $\begin{gathered} 2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 6,\ 10,\ 7,\ 4,\ 7,\ 6,\ \\ 2,\ 5,\ 8,\ \ldots \end{gathered}$ Como $(a_{10}, a_{11}, a_{12})$ $= (2, 5, 8)$ $= (a_0, a_1, a_2)$ y cada término depende solo de los tres anteriores, la sucesión es periódica con período $10.$

Por lo tanto $a_{2018} = a_8 = 7,$ $a_{2020} = a_0 = 2,$ y $a_{2022} = a_2 = 8,$ así que el producto es $7 \cdot 2 \cdot 8 = 112.$

Computing successive terms gives $\begin{gathered} 2,\ 5,\ 8,\ 5,\ 6,\ 10,\ 7,\ 4,\ 7,\ 6,\ \\ 2,\ 5,\ 8,\ \ldots \end{gathered}$ Since $(a_{10}, a_{11}, a_{12})$ $= (2, 5, 8)$ $= (a_0, a_1, a_2)$ and each term depends only on the previous three, the sequence is periodic with period $10.$

Therefore $a_{2018} = a_8 = 7,$ $a_{2020} = a_0 = 2,$ and $a_{2022} = a_2 = 8,$ so the product is $7 \cdot 2 \cdot 8 = 112.$

3.

Halla la suma de todos los enteros positivos $b \lt 1000$ tales que el entero $36_{b}$ en base $b$ es un cuadrado perfecto y el entero $27_{b}$ en base $b$ es un cubo perfecto.

Find the sum of all positive integers $b \lt 1000$ such that the base- $b$ integer $36_{b}$ is a perfect square and the base- $b$ integer $27_{b}$ is a perfect cube.

Respuesta

Respuesta: 371

Conceptos:base numérica cuadrado perfecto potencia perfecta acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Las condiciones dicen que $3b + 6$ es un cuadrado perfecto y que $2b + 7$ es un cubo perfecto

The conditions say $3b + 6$ is a perfect square and $2b + 7$ is a perfect cube

Pista grande:

$2b + 7$ es impar y menor que $2007,$ así que solo hay que comprobar unos pocos cubos impares

$2b + 7$ is odd and less than $2007,$ so only a handful of odd cubes need to be checked

Solución:

Las condiciones dicen que $3b + 6$ es un cuadrado perfecto y que $2b + 7$ es un cubo perfecto. Como $2b + 7$ es impar y $b \lt 1000$ obliga a que $2b + 7 \lt 2007,$ el cubo debe ser uno de $1,$ $27,$ $125,$ $343,$ $729,$ $1331,$ lo que da $b = -3,$ $10,$ $59,$ $168,$ $361,$ $662.$

Los valores correspondientes de $3b + 6$ para los candidatos positivos son $36,$ $183,$ $510,$ $1089,$ $1992,$ y solo $36 = 6^2$ (para $b = 10$ ) y $1089 = 33^2$ (para $b = 361$ ) son cuadrados perfectos. La suma pedida es $10 + 361 = 371.$

The conditions say $3b + 6$ is a perfect square and $2b + 7$ is a perfect cube. Since $2b + 7$ is odd and $b \lt 1000$ forces $2b + 7 \lt 2007,$ the cube must be one of $1,$ $27,$ $125,$ $343,$ $729,$ $1331,$ giving $b = -3,$ $10,$ $59,$ $168,$ $361,$ $662.$

The corresponding values of $3b + 6$ for the positive candidates are $36,$ $183,$ $510,$ $1089,$ $1992,$ and only $36 = 6^2$ (for $b = 10$ ) and $1089 = 33^2$ (for $b = 361$ ) are perfect squares. The requested sum is $10 + 361 = 371.$

4.

En el octágono equiangular $CAROLINE,$ se tiene $CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}$ y $AR = OL = IN = EC = 1.$ El octágono autointersecante $CORNELIA$ encierra seis regiones triangulares que no se solapan. Sea $K$ el área encerrada por $CORNELIA,$ es decir, el área total de las seis regiones triangulares. Entonces $K = \frac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $a + b.$

In equiangular octagon $CAROLINE,$ $CA = RO = LI = NE = \sqrt{2}$ and $AR = OL = IN = EC = 1.$ The self-intersecting octagon $CORNELIA$ encloses six non-overlapping triangular regions. Let $K$ be the area enclosed by $CORNELIA,$ that is, the total area of the six triangular regions. Then $K = \frac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. Find $a + b.$

Respuesta

Respuesta: 23

Conceptos:polígono equiángulo geometría analítica descomposición de áreas simetría

Nivel de dificultad: 2640

Pista pequeña:

Coloca el octágono en una cuadrícula: los lados de $\sqrt{2}$ son diagonales de cuadrados unitarios, así que los ocho vértices son puntos de la red

Place the octagon on a grid: the $\sqrt{2}$ sides are diagonals of unit squares, so all eight vertices are lattice points

Pista grande:

El camino $CORNELIA$ tiene una simetría de rotación de $180^\circ$ ; halla dónde los segmentos $AI$ y $RN$ cortan al segmento $CO$ y entre sí

The path $CORNELIA$ has a $180^\circ$ rotational symmetry; find where segments $AI$ and $RN$ cross segment $CO$ and each other

Solución:

Como los ángulos interiores son todos de $135^\circ$ y los lados de $\sqrt{2}$ son diagonales de cuadrados unitarios, el octágono encaja en una red: $C = (0, 0),$ $A = (1, 1),$ $R = (2, 1),$ $O = (3, 0),$ $L = (3, -1),$ $I = (2, -2),$ $N = (1, -2),$ $E = (0, -1).$ El camino $CORNELIA$ queda invariante bajo la rotación de $180^\circ$ alrededor de $(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$ Sean $Y$ y $Z$ los puntos donde $AI$ y $RN$ cortan a $CO,$ y sea $W = AI \cap RN.$ El segmento $AI$ tiene pendiente $-3,$ así que $Y = (\tfrac{4}{3}, 0),$ y por simetría $Z = (\tfrac{5}{3}, 0)$ y $W = (\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$

Las seis regiones encerradas son los cuatro triángulos congruentes de las esquinas, como $CAY$ , y los dos pequeños triángulos congruentes, como $YZW.$ El triángulo $CAY$ tiene base $CY = \tfrac{4}{3}$ y altura $1,$ así que su área es $\tfrac{2}{3}.$ El triángulo $YZW$ tiene base $YZ = \tfrac{1}{3}$ y altura $\tfrac{1}{2},$ así que su área es $\tfrac{1}{12}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} K &= 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{12} \\ &= \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}, \end{aligned}$ y $a + b = 17 + 6 = 23.$

Since the interior angles are all $135^\circ$ and the $\sqrt{2}$ sides are diagonals of unit squares, the octagon fits on a lattice: $C = (0, 0),$ $A = (1, 1),$ $R = (2, 1),$ $O = (3, 0),$ $L = (3, -1),$ $I = (2, -2),$ $N = (1, -2),$ $E = (0, -1).$ The path $CORNELIA$ is carried to itself by the $180^\circ$ rotation about $(\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$ Let $Y$ and $Z$ be the points where $AI$ and $RN$ cross $CO,$ and let $W = AI \cap RN.$ Segment $AI$ has slope $-3,$ so $Y = (\tfrac{4}{3}, 0),$ and by symmetry $Z = (\tfrac{5}{3}, 0)$ and $W = (\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}).$

The six enclosed regions are the four congruent corner triangles like $CAY$ and the two small congruent triangles like $YZW.$ Triangle $CAY$ has base $CY = \tfrac{4}{3}$ and height $1,$ so its area is $\tfrac{2}{3}.$ Triangle $YZW$ has base $YZ = \tfrac{1}{3}$ and height $\tfrac{1}{2},$ so its area is $\tfrac{1}{12}.$ Therefore $\begin{aligned} K &= 4 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{12} \\ &= \frac{8}{3} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}, \end{aligned}$ and $a + b = 17 + 6 = 23.$

5.

Supón que $x,$ $y,$ y $z$ son números complejos tales que $xy = -80 - 320i,$ $yz = 60,$ y $zx = -96 + 24i,$ donde $i = \sqrt{-1}.$ Entonces existen números reales $a$ y $b$ tales que $x + y + z = a + bi.$ Halla $a^2 + b^2.$

Suppose that $x,$ $y,$ and $z$ are complex numbers such that $xy = -80 - 320i,$ $yz = 60,$ and $zx = -96 + 24i,$ where $i = \sqrt{-1}.$ Then there are real numbers $a$ and $b$ such that $x + y + z = a + bi.$ Find $a^2 + b^2.$

Respuesta

Respuesta: 74

Conceptos:número complejo sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Multiplica las tres ecuaciones entre sí para hallar $(xyz)^2$

Multiply all three equations together to find $(xyz)^2$

Pista grande:

$(xyz)^2 = 240^2(16 + 30i)$ y $16 + 30i$ es un cuadrado perfecto en los números complejos; luego divide $xyz$ entre cada producto dado

$(xyz)^2 = 240^2(16 + 30i)$ and $16 + 30i$ is a perfect square in the complex numbers; then divide $xyz$ by each given product

Solución:

Multiplicando las tres ecuaciones se obtiene $\begin{aligned} (xyz)^2 &= (-80 - 320i)(60) \\ &\quad {}\cdot (-96 + 24i) \\ &= 80 \cdot 60 \cdot 24 \\ &\quad {}\cdot \,(-1 - 4i)(-4 + i) \\ &= 240^2 (16 + 30i). \end{aligned}$ Como $16 + 30i = (5 + 3i)^2,$ obtenemos $xyz = \pm 240(5 + 3i).$

Dividiendo $xyz$ entre cada producto dado se obtiene $\begin{aligned} x &= \frac{xyz}{yz} = \pm(20 + 12i), \\ y &= \frac{xyz}{zx} = \pm(-10 - 10i), \\ z &= \frac{xyz}{xy} = \pm(-3 + 3i), \end{aligned}$ con signos coincidentes. Por lo tanto $x + y + z = \pm(7 + 5i),$ así que $(a, b) = \pm(7, 5)$ y $a^2 + b^2 = 49 + 25 = 74.$

Multiplying the three equations gives $\begin{aligned} (xyz)^2 &= (-80 - 320i)(60) \\ &\quad {}\cdot (-96 + 24i) \\ &= 80 \cdot 60 \cdot 24 \\ &\quad {}\cdot \,(-1 - 4i)(-4 + i) \\ &= 240^2 (16 + 30i). \end{aligned}$ Since $16 + 30i = (5 + 3i)^2,$ we get $xyz = \pm 240(5 + 3i).$

Dividing $xyz$ by each given product yields $\begin{aligned} x &= \frac{xyz}{yz} = \pm(20 + 12i), \\ y &= \frac{xyz}{zx} = \pm(-10 - 10i), \\ z &= \frac{xyz}{xy} = \pm(-3 + 3i), \end{aligned}$ with matching signs. Hence $x + y + z = \pm(7 + 5i),$ so $(a, b) = \pm(7, 5)$ and $a^2 + b^2 = 49 + 25 = 74.$

6.

Se elige un número real $a$ al azar y de manera uniforme del intervalo $[-20, 18].$ La probabilidad de que las raíces del polinomio $\begin{aligned} &x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 \\ &\quad {}+ (-4a + 3)x - 2 \end{aligned}$ sean todas reales se puede escribir en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A real number $a$ is chosen randomly and uniformly from the interval $[-20, 18].$ The probability that the roots of the polynomial $\begin{aligned} &x^4 + 2ax^3 + (2a - 2)x^2 \\ &\quad {}+ (-4a + 3)x - 2 \end{aligned}$ are all real can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 37

Conceptos:polinomio factorización cuadrática probabilidad geométrica

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Busca raíces que sirvan para todo $a:$ tanto $x = 1$ como $x = -2$ son siempre raíces

Look for roots that work for every $a:$ both $x = 1$ and $x = -2$ are always roots

Pista grande:

Tras extraer el factor $(x - 1)(x + 2),$ la cuadrática $x^2 + (2a - 1)x + 1$ tiene raíces reales exactamente cuando $(2a - 1)^2 \ge 4$

After factoring out $(x - 1)(x + 2),$ the quadratic $x^2 + (2a - 1)x + 1$ has real roots exactly when $(2a - 1)^2 \ge 4$

Solución:

Agrupa los términos según si contienen $a:$ $\begin{aligned} &(x^4 - 2x^2 + 3x - 2) \\ &\quad {}+ 2a(x^3 + x^2 - 2x) \\ &= (x - 1)(x + 2)(x^2 - x + 1) \\ &\quad {}+ 2ax(x - 1)(x + 2), \end{aligned}$ de modo que el polinomio se factoriza como $(x - 1)(x + 2)$ $\cdot \left(x^2 + (2a - 1)x + 1\right).$

Las cuatro raíces son reales exactamente cuando el factor cuadrático tiene raíces reales, es decir, cuando $(2a - 1)^2 - 4 \ge 0,$ lo que significa $a \le -\frac{1}{2}$ o $a \ge \frac{3}{2}.$ El intervalo excluido $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ tiene longitud $2$ dentro de $[-20, 18],$ que tiene longitud $38,$ así que la probabilidad es $\frac{36}{38} = \frac{18}{19}.$ La suma pedida es $18 + 19 = 37.$

Group the terms by whether they involve $a:$ $\begin{aligned} &(x^4 - 2x^2 + 3x - 2) \\ &\quad {}+ 2a(x^3 + x^2 - 2x) \\ &= (x - 1)(x + 2)(x^2 - x + 1) \\ &\quad {}+ 2ax(x - 1)(x + 2), \end{aligned}$ so the polynomial factors as $(x - 1)(x + 2)$ $\cdot \left(x^2 + (2a - 1)x + 1\right).$

All four roots are real exactly when the quadratic factor has real roots, i.e. when $(2a - 1)^2 - 4 \ge 0,$ which means $a \le -\frac{1}{2}$ or $a \ge \frac{3}{2}.$ The excluded interval $\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ has length $2$ inside $[-20, 18],$ which has length $38,$ so the probability is $\frac{36}{38} = \frac{18}{19}.$ The requested sum is $18 + 19 = 37.$

7.

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 9,$ $BC = 5\sqrt{3},$ y $AC = 12.$ Los puntos $A = P_0,$ $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_{2450} = B$ están sobre el segmento $\overline{AB}$ con $P_k$ entre $P_{k-1}$ y $P_{k+1}$ para $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449,$ y los puntos $A = Q_0,$ $Q_1,$ $Q_2,$ $\ldots,$ $Q_{2450} = C$ están sobre el segmento $\overline{AC}$ con $Q_k$ entre $Q_{k-1}$ y $Q_{k+1}$ para $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449.$ Además, cada segmento $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449,$ es paralelo a $\overline{BC}.$ Los segmentos dividen el triángulo en $2450$ regiones, formadas por $2449$ trapecios y $1$ triángulo. Cada una de las $2450$ regiones tiene la misma área. Halla el número de segmentos $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2450,$ que tienen longitud racional.

Triangle $ABC$ has side lengths $AB = 9,$ $BC = 5\sqrt{3},$ and $AC = 12.$ Points $A = P_0,$ $P_1,$ $P_2,$ $\ldots,$ $P_{2450} = B$ are on segment $\overline{AB}$ with $P_k$ between $P_{k-1}$ and $P_{k+1}$ for $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449,$ and points $A = Q_0,$ $Q_1,$ $Q_2,$ $\ldots,$ $Q_{2450} = C$ are on segment $\overline{AC}$ with $Q_k$ between $Q_{k-1}$ and $Q_{k+1}$ for $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449.$ Furthermore, each segment $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2449,$ is parallel to $\overline{BC}.$ The segments cut the triangle into $2450$ regions, consisting of $2449$ trapezoids and $1$ triangle. Each of the $2450$ regions has the same area. Find the number of segments $\overline{P_kQ_k},$ $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $2450,$ that have rational length.

Respuesta

Respuesta: 20

Conceptos:semejanza razón de áreas cuadrado perfecto

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Las regiones tienen áreas iguales, así que el triángulo $AP_kQ_k$ tiene área $\frac{k}{2450}$ del total, y las longitudes escalan como la raíz cuadrada de la razón de áreas

The regions have equal areas, so triangle $AP_kQ_k$ has area $\frac{k}{2450}$ of the whole, and lengths scale as the square root of the area ratio

Pista grande:

$P_kQ_k = 5\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{k}{2450}} = \frac{\sqrt{6k}}{14},$ que es racional exactamente cuando $6k$ es un cuadrado perfecto

$P_kQ_k = 5\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{k}{2450}} = \frac{\sqrt{6k}}{14},$ which is rational exactly when $6k$ is a perfect square

Solución:

Como las $2450$ regiones tienen áreas iguales, el triángulo $AP_kQ_k$ (la unión de las primeras $k$ regiones) tiene área $\frac{k}{2450}$ del triángulo $ABC.$ Cada triángulo $AP_kQ_k$ es semejante a $ABC,$ y las longitudes escalan como la raíz cuadrada de las áreas, así que $\begin{aligned} P_kQ_k &= 5\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{k}{2450}} \\ &= 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{k}}{35\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6k}}{14}. \end{aligned}$

Esto es racional exactamente cuando $6k$ es un cuadrado perfecto, lo que ocurre exactamente cuando $k = 6j^2$ para un entero positivo $j.$ La condición $6j^2 \le 2450$ da $j^2 \le 408,$ así que $j = 1, 2, \ldots, 20.$ Hay $20$ segmentos de este tipo.

Since the $2450$ regions have equal areas, triangle $AP_kQ_k$ (the union of the first $k$ regions) has area $\frac{k}{2450}$ of triangle $ABC.$ Each triangle $AP_kQ_k$ is similar to $ABC,$ and lengths scale as the square root of areas, so $\begin{aligned} P_kQ_k &= 5\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{k}{2450}} \\ &= 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{k}}{35\sqrt{2}} \\ &= \frac{\sqrt{6k}}{14}. \end{aligned}$

This is rational exactly when $6k$ is a perfect square, which happens exactly when $k = 6j^2$ for a positive integer $j.$ The condition $6j^2 \le 2450$ gives $j^2 \le 408,$ so $j = 1, 2, \ldots, 20.$ There are $20$ such segments.

8.

Una rana está situada en el origen del plano de coordenadas. Desde el punto $(x, y),$ la rana puede saltar a cualquiera de los puntos $(x + 1, y),$ $(x + 2, y),$ $(x, y + 1),$ o $(x, y + 2).$ Halla el número de sucesiones distintas de saltos en las que la rana comienza en $(0, 0)$ y termina en $(4, 4).$

A frog is positioned at the origin in the coordinate plane. From the point $(x, y),$ the frog can jump to any of the points $(x + 1, y),$ $(x + 2, y),$ $(x, y + 1),$ or $(x, y + 2).$ Find the number of distinct sequences of jumps in which the frog begins at $(0, 0)$ and ends at $(4, 4).$

Respuesta

Respuesta: 556

Conceptos:particiones y composiciones permutaciones de multiconjuntos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Los saltos hacia la derecha son $+1$ y $+2$ que suman $4,$ así que como multiconjunto son $\{1,1,1,1\},$ $\{1,1,2\},$ o $\{2,2\},$ y lo mismo para los saltos hacia arriba

The rightward jumps are $+1$ s and $+2$ s summing to $4,$ so as a multiset they are $\{1,1,1,1\},$ $\{1,1,2\},$ or $\{2,2\},$ and likewise for the upward jumps

Pista grande:

Para cada par de multiconjuntos, el número de maneras de ordenar todos los saltos es un coeficiente multinomial; suma los nueve casos

For each pair of multisets, the number of ways to order all the jumps is a multinomial coefficient; add up the nine cases

Solución:

Los saltos horizontales son pasos de $1$ o $2$ que suman $4,$ así que como multiconjunto son $\{1,1,1,1\},$ $\{1,1,2\},$ o $\{2,2\},$ y lo mismo ocurre con los saltos verticales. Para cualquier elección de los dos multiconjuntos, todo ordenamiento de los saltos es una sucesión válida, y el número de ordenamientos es el coeficiente multinomial del multiconjunto combinado.

Los nueve casos dan $\begin{aligned} &\binom{8}{4} = 70, \\ &\quad \frac{7!}{4!\,2!} = 105, \\ &\quad \frac{6!}{4!\,2!} = 15, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\frac{6!}{2!\,2!} = 180, \\ &\quad \frac{5!}{2!\,2!} = 30, \\ &\quad \binom{4}{2} = 6. \end{aligned}$ Los valores $105,$ $15,$ y $30$ aparecen dos veces cada uno.

El total es $70 + 2 \cdot 105 + 2 \cdot 15$ $+ 180 + 2 \cdot 30 + 6$ $= 556.$

The horizontal jumps are steps of $1$ or $2$ summing to $4,$ so as a multiset they are $\{1,1,1,1\},$ $\{1,1,2\},$ or $\{2,2\},$ and the same holds for the vertical jumps. For any choice of the two multisets, every ordering of all the jumps is a valid sequence, and the number of orderings is the multinomial coefficient of the combined multiset.

The nine cases give $\begin{aligned} &\binom{8}{4} = 70, \\ &\quad \frac{7!}{4!\,2!} = 105, \\ &\quad \frac{6!}{4!\,2!} = 15, \end{aligned}$ $\begin{aligned} &\frac{6!}{2!\,2!} = 180, \\ &\quad \frac{5!}{2!\,2!} = 30, \\ &\quad \binom{4}{2} = 6. \end{aligned}$ The values $105,$ $15,$ and $30$ each occur twice.

The total is $70 + 2 \cdot 105 + 2 \cdot 15$ $+ 180 + 2 \cdot 30 + 6$ $= 556.$

9.

El octágono $ABCDEFGH$ con lados $AB = CD = EF = GH = 10$ y $BC = DE = FG = HA = 11$ se forma quitando cuatro triángulos $6$ - $8$ - $10$ de las esquinas de un rectángulo $23 \times 27$ con el lado $\overline{AH}$ sobre un lado corto del rectángulo, como se muestra. Sea $J$ el punto medio de $\overline{AH},$ y divídase el octágono en $7$ triángulos trazando los segmentos $\overline{JB},$ $\overline{JC},$ $\overline{JD},$ $\overline{JE},$ $\overline{JF},$ y $\overline{JG}.$ Halla el área del polígono convexo cuyos vértices son los baricentros de estos $7$ triángulos.

Octagon $ABCDEFGH$ with side lengths $AB = CD = EF = GH = 10$ and $BC = DE = FG = HA = 11$ is formed by removing four $6$ - $8$ - $10$ triangles from the corners of a $23 \times 27$ rectangle with side $\overline{AH}$ on a short side of the rectangle, as shown. Let $J$ be the midpoint of $\overline{AH},$ and partition the octagon into $7$ triangles by drawing segments $\overline{JB},$ $\overline{JC},$ $\overline{JD},$ $\overline{JE},$ $\overline{JF},$ and $\overline{JG}.$ Find the area of the convex polygon whose vertices are the centroids of these $7$ triangles.

Respuesta

Respuesta: 184

Conceptos:baricentro homotecia geometría analítica descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Cada triángulo tiene el vértice $J,$ así que cada baricentro está a dos tercios del camino de $J$ al punto medio del lado opuesto

Every triangle has vertex $J,$ so each centroid lies two-thirds of the way from $J$ to the midpoint of the opposite side

Pista grande:

El heptágono de los baricentros es el heptágono de esos puntos medios dilatado por $\frac{2}{3}$ respecto de $J,$ así que su área es $\frac{4}{9}$ del área del heptágono de los puntos medios

The centroid heptagon is the heptagon of those midpoints dilated by $\frac{2}{3}$ about $J,$ so its area is $\frac{4}{9}$ of the midpoint heptagon’s area

Solución:

Cada uno de los $7$ triángulos tiene a $J$ como vértice, y el baricentro de un triángulo $JVW$ está sobre el segmento que va de $J$ al punto medio de $\overline{VW},$ a dos tercios del recorrido. Así que el heptágono de los baricentros es la imagen del heptágono $S$ formado por los puntos medios de $\overline{AB}, \overline{BC}, \ldots, \overline{GH}$ bajo una homotecia centrada en $J$ de razón $\frac{2}{3},$ y su área es $\frac{4}{9}[S].$

Coloca el rectángulo con $A = (0, 6),$ $B = (8, 0),$ $C = (19, 0),$ $D = (27, 6),$ $E = (27, 17),$ $F = (19, 23),$ $G = (8, 23),$ $H = (0, 17),$ de modo que $J = (0, \tfrac{23}{2}).$ Los puntos medios son $(4, 3),$ $(\tfrac{27}{2}, 0),$ $(23, 3),$ $(27, \tfrac{23}{2}),$ $(23, 20),$ $(\tfrac{27}{2}, 23),$ $(4, 20).$ Los segmentos verticales en $x = 4,$ $x = \tfrac{27}{2},$ y $x = 23$ tienen longitudes $17,$ $23,$ y $17,$ lo que corta $S$ en dos trapecios de altura $\tfrac{19}{2}$ y un triángulo de altura $4:$ $\begin{aligned} [S] &= 2 \cdot \frac{17 + 23}{2} \cdot \frac{19}{2} \\ &\quad {}+ \frac{17 \cdot 4}{2} \\ &= 380 + 34 = 414. \end{aligned}$

El área pedida es $\frac{4}{9} \cdot 414 = 184.$

Each of the $7$ triangles has $J$ as a vertex, and the centroid of a triangle $JVW$ lies on the segment from $J$ to the midpoint of $\overline{VW},$ two-thirds of the way out. So the centroid heptagon is the image of the heptagon $S$ formed by the midpoints of $\overline{AB}, \overline{BC}, \ldots, \overline{GH}$ under a dilation centered at $J$ with ratio $\frac{2}{3},$ and its area is $\frac{4}{9}[S].$

Place the rectangle with $A = (0, 6),$ $B = (8, 0),$ $C = (19, 0),$ $D = (27, 6),$ $E = (27, 17),$ $F = (19, 23),$ $G = (8, 23),$ $H = (0, 17),$ so $J = (0, \tfrac{23}{2}).$ The midpoints are $(4, 3),$ $(\tfrac{27}{2}, 0),$ $(23, 3),$ $(27, \tfrac{23}{2}),$ $(23, 20),$ $(\tfrac{27}{2}, 23),$ $(4, 20).$ The vertical segments at $x = 4,$ $x = \tfrac{27}{2},$ and $x = 23$ have lengths $17,$ $23,$ and $17,$ cutting $S$ into two trapezoids of height $\tfrac{19}{2}$ and a triangle of height $4:$ $\begin{aligned} [S] &= 2 \cdot \frac{17 + 23}{2} \cdot \frac{19}{2} \\ &\quad {}+ \frac{17 \cdot 4}{2} \\ &= 380 + 34 = 414. \end{aligned}$

The requested area is $\frac{4}{9} \cdot 414 = 184.$

10.

Halla el número de funciones $f(x)$ de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ a $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ que satisfacen $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ para todo $x$ en $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$

Find the number of functions $f(x)$ from $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ to $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ that satisfy $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ for all $x$ in $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$

Respuesta

Respuesta: 756

Conceptos:función combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

La condición dice que todo valor de $f \circ f$ es un punto fijo de $f.$ Clasifica los elementos según cuántas aplicaciones de $f$ necesitan para llegar a un punto fijo.

The condition says every value of $f \circ f$ is a fixed point of $f.$ Classify elements by how many applications of $f$ they need to reach a fixed point.

Pista grande:

Con $i$ puntos fijos y $j$ elementos más que se envían directamente a ellos, los $5 - i - j$ elementos restantes deben tener su imagen entre esos $j;$ cuenta cada caso con coeficientes binomiales

With $i$ fixed points and $j$ further elements mapping straight to them, the remaining $5 - i - j$ elements must map to those $j;$ count each case with binomial coefficients

Solución:

Aplicar $f$ repetidamente a $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ muestra que la condición significa que $f(f(x))$ es un punto fijo de $f$ para todo $x.$ Así que los elementos se organizan en niveles: un conjunto no vacío de $i$ puntos fijos, luego $j$ elementos cuya imagen es un punto fijo (pero que no son fijos), y los $5 - i - j$ elementos restantes, cada uno de los cuales debe aplicarse a uno de los $j$ elementos intermedios.

Para $i$ y $j$ dados hay $\binom{5}{i}$ formas de elegir los puntos fijos, $\binom{5-i}{j}$ formas de elegir el nivel intermedio, $i^j$ formas de enviar el nivel intermedio a los puntos fijos, y $j^{\,5-i-j}$ formas de asignar las imágenes del resto. Sumar $\binom{5}{i}\binom{5-i}{j}\, i^j \, j^{\,5-i-j}$ sobre los pares válidos (todos con $i \ge 1,$ $j \ge 1,$ más el caso identidad $i = 5$ ) da $\begin{aligned} &20 + 120 + 60 + 5 \\ &\quad {}+ 60 + 240 + 80 \\ &\quad {}+ 60 + 90 + 20 + 1 = 756. \end{aligned}$

Applying $f$ to $f(f(x)) = f(f(f(x)))$ repeatedly shows the condition means that $f(f(x))$ is a fixed point of $f$ for every $x.$ So the elements organize into levels: a nonempty set of $i$ fixed points, then $j$ elements whose image is a fixed point (but which are not fixed), and the remaining $5 - i - j$ elements, each of which must map to one of the $j$ middle elements.

For given $i$ and $j$ there are $\binom{5}{i}$ choices of fixed points, $\binom{5-i}{j}$ choices of the middle level, $i^j$ maps from the middle level to the fixed points, and $j^{\,5-i-j}$ maps for the rest. Summing $\binom{5}{i}\binom{5-i}{j}\, i^j \, j^{\,5-i-j}$ over the valid pairs (all $i \ge 1,$ $j \ge 1,$ plus the identity case $i = 5$ ) gives $\begin{aligned} &20 + 120 + 60 + 5 \\ &\quad {}+ 60 + 240 + 80 \\ &\quad {}+ 60 + 90 + 20 + 1 = 756. \end{aligned}$

11.

Halla el número de permutaciones de $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6$ tales que para cada $k$ con $1 \le k \le 5,$ al menos uno de los primeros $k$ términos de la permutación es mayor que $k.$

Find the number of permutations of $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6$ such that for each $k$ with $1 \le k \le 5,$ at least one of the first $k$ terms of the permutation is greater than $k.$

Respuesta

Respuesta: 461

Conceptos:permutaciones conteo complementario conteo recursivo

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

La condición falla exactamente cuando algún prefijo de longitud $k \le 5$ es una permutación de $\{1, \ldots, k\}$

The condition fails exactly when some prefix of length $k \le 5$ is a permutation of $\{1, \ldots, k\}$

Pista grande:

Sea $c_k$ el número de permutaciones de $1, \ldots, k$ sin ningún prefijo de ese tipo más corto; entonces $\sum_k c_k (n-k)! = n!$ ya que cada permutación tiene uno más corto único

Let $c_k$ count permutations of $1, \ldots, k$ with no shorter such prefix; then $\sum_k c_k (n-k)! = n!$ since every permutation has a unique shortest one

Solución:

La condición falla exactamente cuando los primeros $k$ términos son una permutación de $\{1, \ldots, k\}$ para algún $k \le 5.$ Para una permutación de $1, \ldots, n,$ sea $k$ la menor longitud para la cual el prefijo es $\{1, \ldots, k\}$ (la longitud total $n$ siempre funciona), y sea $c_n$ el número de permutaciones cuyo menor $k$ de este tipo es $n.$ Queremos $c_6.$

Cada permutación de $1, \ldots, n$ se descompone de forma única como un prefijo mínimo de longitud $k$ ( $c_k$ opciones) seguido de cualquier ordenamiento de los $n - k$ valores restantes, así que $\sum_{k=1}^{n} c_k \,(n-k)! = n!.$ Partiendo de $c_1 = 1,$ esto da $c_2 = 1,$ $c_3 = 3,$ $c_4 = 13,$ $c_5 = 71,$ y $\begin{aligned} c_6 &= 720 \\ &\quad {}- \tiny(120 \cdot 1 + 24 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 13 + 1 \cdot 71) \\ &= 720 - 259 = 461. \end{aligned}$

The condition fails exactly when the first $k$ terms are a permutation of $\{1, \ldots, k\}$ for some $k \le 5.$ For a permutation of $1, \ldots, n,$ let $k$ be the smallest length for which the prefix is $\{1, \ldots, k\}$ (the full length $n$ always works), and let $c_n$ be the number of permutations whose smallest such $k$ is $n.$ We want $c_6.$

Every permutation of $1, \ldots, n$ decomposes uniquely as a minimal prefix of length $k$ ( $c_k$ choices) followed by any arrangement of the remaining $n - k$ values, so $\sum_{k=1}^{n} c_k \,(n-k)! = n!.$ Starting from $c_1 = 1,$ this gives $c_2 = 1,$ $c_3 = 3,$ $c_4 = 13,$ $c_5 = 71,$ and $\begin{aligned} c_6 &= 720 \\ &\quad {}- \tiny(120 \cdot 1 + 24 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 13 + 1 \cdot 71) \\ &= 720 - 259 = 461. \end{aligned}$

12.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $AB = CD = 10,$ $BC = 14,$ y $AD = 2\sqrt{65}.$ Supón que las diagonales de $ABCD$ se cortan en el punto $P,$ y que la suma de las áreas de los triángulos $APB$ y $CPD$ es igual a la suma de las áreas de los triángulos $BPC$ y $APD.$ Halla el área del cuadrilátero $ABCD.$

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $AB = CD = 10,$ $BC = 14,$ and $AD = 2\sqrt{65}.$ Assume that the diagonals of $ABCD$ intersect at point $P,$ and that the sum of the areas of triangles $APB$ and $CPD$ equals the sum of the areas of triangles $BPC$ and $APD.$ Find the area of quadrilateral $ABCD.$

Respuesta

Respuesta: 112

Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Escribe el área de cada triángulo como la mitad del producto de las longitudes de sus dos segmentos laterales por $\sin\theta,$ donde $\theta$ es un ángulo en $P;$ la condición de las áreas se factoriza como $(AP - CP)(DP - BP) = 0$

Write each triangle’s area as one-half the product of its two side segments and $\sin\theta,$ where $\theta$ is an angle at $P;$ the area condition factors as $(AP - CP)(DP - BP) = 0$

Pista grande:

Toma $AP = CP$ y aplica la ley de cosenos a los cuatro triángulos en $P;$ suma y resta por pares, usando que los ángulos en $P$ son suplementarios

Take $AP = CP$ and apply the law of cosines to all four triangles at $P;$ add and subtract in pairs, using that the angles at $P$ are supplementary

Solución:

Sean $a = AP,$ $b = BP,$ $c = CP,$ $d = DP,$ y sea $\theta = \angle CPD.$ Como $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta,$ la condición de áreas iguales $\frac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$ $= \frac{1}{2}(ad + bc)\sin\theta$ se simplifica a $(a - c)(d - b) = 0.$ Por simetría supón $a = c.$

La ley de cosenos en los triángulos $BPC$ y $APB$ (cuyos ángulos en $P$ son suplementarios) da $a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta = 196$ y $a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = 100,$ así que $a^2 + b^2 = 148$ y $ab\cos\theta = 24.$ De forma análoga los triángulos $APD$ y $CPD$ dan $a^2 + d^2 = 180$ y $ad\cos\theta = 40.$ Dividiendo, $\frac{d}{b} = \frac{5}{3},$ mientras que restando se obtiene $d^2 - b^2 = 32;$ por lo tanto $b = 3\sqrt{2},$ $d = 5\sqrt{2},$ $a^2 = 130,$ y $\cos^2\theta = \frac{24^2}{130 \cdot 18} = \frac{16}{65},$ así que $\sin\theta = \frac{7}{\sqrt{65}}.$

El área total es $\begin{aligned} \frac{1}{2}(a + c)(b + d) \\ &\quad {}\cdot \sin\theta \\ &= a(b + d)\sin\theta \\ &= \sqrt{130} \cdot 8\sqrt{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{7}{\sqrt{65}} \\ &= 112. \end{aligned}$

Let $a = AP,$ $b = BP,$ $c = CP,$ $d = DP,$ and let $\theta = \angle CPD.$ Since $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta,$ the equal-area condition $\frac{1}{2}(ab + cd)\sin\theta$ $= \frac{1}{2}(ad + bc)\sin\theta$ simplifies to $(a - c)(d - b) = 0.$ By symmetry assume $a = c.$

The law of cosines in triangles $BPC$ and $APB$ (whose angles at $P$ are supplementary) gives $a^2 + b^2 + 2ab\cos\theta = 196$ and $a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta = 100,$ so $a^2 + b^2 = 148$ and $ab\cos\theta = 24.$ Similarly triangles $APD$ and $CPD$ give $a^2 + d^2 = 180$ and $ad\cos\theta = 40.$ Dividing, $\frac{d}{b} = \frac{5}{3},$ while subtracting gives $d^2 - b^2 = 32;$ hence $b = 3\sqrt{2},$ $d = 5\sqrt{2},$ $a^2 = 130,$ and $\cos^2\theta = \frac{24^2}{130 \cdot 18} = \frac{16}{65},$ so $\sin\theta = \frac{7}{\sqrt{65}}.$

The total area is $\begin{aligned} \frac{1}{2}(a + c)(b + d) \\ &\quad {}\cdot \sin\theta \\ &= a(b + d)\sin\theta \\ &= \sqrt{130} \cdot 8\sqrt{2} \\ &\quad {}\cdot \frac{7}{\sqrt{65}} \\ &= 112. \end{aligned}$

13.

Misha lanza un dado estándar y equilibrado de seis caras hasta que obtiene $1$ - $2$ - $3$ en ese orden en tres lanzamientos consecutivos. La probabilidad de que lance el dado un número impar de veces es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Misha rolls a standard, fair six-sided die until she rolls $1$ - $2$ - $3$ in that order on three consecutive rolls. The probability that she will roll the die an odd number of times is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 647

Conceptos:probabilidad recursiva dados (probabilidad)paridad sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Sean $a,$ $b,$ $c$ las probabilidades de terminar en un número total impar de lanzamientos empezando de cero, empezando tras un $1,$ y empezando tras $1$ - $2;$ condiciona sobre el siguiente lanzamiento

Let $a,$ $b,$ $c$ be the probabilities of finishing in an odd total number of rolls starting fresh, starting after a $1,$ and starting after $1$ - $2;$ condition on the next roll

Pista grande:

Un lanzamiento suelto invierte la paridad, así que aparecen términos como $1 - a$ y $1 - b$ ; por ejemplo $a = \frac{1}{6}b + \frac{5}{6}(1 - a)$

A stray roll flips parity, so terms like $1 - a$ and $1 - b$ appear; for example $a = \frac{1}{6}b + \frac{5}{6}(1 - a)$

Solución:

Sea $a$ la probabilidad de que el número total de lanzamientos sea impar; sea $b$ esa probabilidad dado que el primer lanzamiento es un $1,$ y $c$ dado que los dos primeros lanzamientos son $1$ - $2$ (en cada caso contando todos los lanzamientos). Condiciona sobre el siguiente lanzamiento, notando que cada vez que el conteo se reinicia, los lanzamientos ya usados invierten la paridad requerida. Empezando de cero: un $1$ lleva al estado $b;$ cualquier otra cosa usa un lanzamiento, tras el cual se necesita una continuación par. Tras un $1:$ otro $1$ significa que el primer lanzamiento se desperdicia, y se necesita una continuación par del tipo $b$ ; un $2$ lleva a $c;$ cualquier otra cosa desperdicia ambos lanzamientos. Tras $1$ - $2:$ un $3$ termina en $3$ lanzamientos (impar); un $1$ reinicia en el estado $b$ con dos lanzamientos desperdiciados; cualquier otra cosa desperdicia los tres. Así $\begin{aligned} a &= \frac{1}{6}b + \frac{5}{6}(1 - a), \\ b &= \frac{1}{6}(1 - b) + \frac{1}{6}c + \frac{4}{6}a, \\ c &= \frac{1}{6}b + \frac{1}{6} + \frac{4}{6}(1 - a). \end{aligned}$

La primera ecuación da $b = 11a - 5;$ sustituir la tercera en la segunda produce $41b = 11 + 20a,$ así que $41(11a - 5) = 11 + 20a,$ lo que da $431a = 216$ y $a = \frac{216}{431}.$ Como $431$ es primo, $m + n = 216 + 431 = 647.$

Let $a$ be the probability that the total number of rolls is odd; let $b$ be that probability given that the first roll is a $1,$ and $c$ given that the first two rolls are $1$ - $2$ (in each case counting all rolls). Condition on the next roll, noting that whenever the count restarts, the rolls already used flip the required parity. Starting fresh: a $1$ leads to state $b;$ anything else uses one roll, after which an even continuation is needed. After a $1:$ another $1$ means the first roll is wasted, needing an even continuation of the $b$ -type; a $2$ leads to $c;$ anything else wastes both rolls. After $1$ - $2:$ a $3$ finishes in $3$ rolls (odd); a $1$ restarts at the $b$ -state with two wasted rolls; anything else wastes all three. Thus $\begin{aligned} a &= \frac{1}{6}b + \frac{5}{6}(1 - a), \\ b &= \frac{1}{6}(1 - b) + \frac{1}{6}c + \frac{4}{6}a, \\ c &= \frac{1}{6}b + \frac{1}{6} + \frac{4}{6}(1 - a). \end{aligned}$

The first equation gives $b = 11a - 5;$ substituting the third into the second yields $41b = 11 + 20a,$ so $41(11a - 5) = 11 + 20a,$ giving $431a = 216$ and $a = \frac{216}{431}.$ Since $431$ is prime, $m + n = 216 + 431 = 647.$

14.

La circunferencia inscrita $\omega$ del triángulo $ABC$ es tangente a $\overline{BC}$ en $X.$ Sea $Y \neq X$ la otra intersección de $\overline{AX}$ con $\omega.$ Los puntos $P$ y $Q$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente, de modo que $\overline{PQ}$ es tangente a $\omega$ en $Y.$ Supón que $AP = 3,$ $PB = 4,$ $AC = 8,$ y $AQ = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The incircle $\omega$ of triangle $ABC$ is tangent to $\overline{BC}$ at $X.$ Let $Y \neq X$ be the other intersection of $\overline{AX}$ with $\omega.$ Points $P$ and $Q$ lie on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, so that $\overline{PQ}$ is tangent to $\omega$ at $Y.$ Assume that $AP = 3,$ $PB = 4,$ $AC = 8,$ and $AQ = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 227

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio recta tangente ley de los senos persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Sea la circunferencia inscrita tangente a $AB$ en $Z$ y a $AC$ en $W.$ Los ángulos tangente-cuerda en $Y$ y $X$ muestran que $\angle AYP = \angle YXC;$ usa la ley de senos en los triángulos $APY$ y $ABX$

Let the incircle touch $AB$ at $Z$ and $AC$ at $W.$ Tangent-chord angles at $Y$ and $X$ show $\angle AYP = \angle YXC;$ use the law of sines in triangles $APY$ and $ABX$

Pista grande:

$AZ$ es la media armónica de $AP$ y $AB:$ $\frac{2}{AZ} = \frac{1}{AP} + \frac{1}{AB},$ y de forma similar $\frac{2}{AW} = \frac{1}{AQ} + \frac{1}{AC}$ con $AW = AZ$

$AZ$ is the harmonic mean of $AP$ and $AB:$ $\frac{2}{AZ} = \frac{1}{AP} + \frac{1}{AB},$ and likewise $\frac{2}{AW} = \frac{1}{AQ} + \frac{1}{AC}$ with $AW = AZ$

Solución:

Sea $\omega$ tangente a $\overline{AB}$ en $Z$ y a $\overline{AC}$ en $W,$ y pon $\alpha = \angle BAX$ y $\beta = \angle AXC.$ El ángulo tangente-cuerda entre $PQ$ y la cuerda $XY$ es igual al que hay entre $BC$ y $XY,$ así que $\angle QYX = \angle YXC = \beta,$ y los ángulos opuestos por el vértice dan $\angle AYP = \beta.$ En el triángulo $APY$ la ley de senos da $PY = AP\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ y por tangentes iguales $PZ = PY,$ así que $\frac{AZ}{AP} = 1 + \frac{PY}{AP} = 1 + \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$ En el triángulo $ABX,$ como $\angle AXB = 180^\circ - \beta,$ de forma análoga $BX = AB\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ y $BZ = BX$ da $\frac{AZ}{AB} = 1 - \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$

Sumando las dos relaciones, $\frac{AZ}{AP} + \frac{AZ}{AB} = 2,$ así que con $AP = 3$ y $AB = 7$ obtenemos $AZ\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\right) = 2,$ de donde $AZ = \frac{21}{5}.$ El mismo argumento sobre el lado $AC$ (usando $\angle XAC$ en los triángulos $AQY$ y $ACX$ ) da $\frac{AW}{AQ} + \frac{AW}{AC} = 2,$ y $AW = AZ = \frac{21}{5}$ por tangentes iguales desde $A.$ Por lo tanto $\frac{1}{AQ} = \frac{10}{21} - \frac{1}{8} = \frac{59}{168},$ así que $AQ = \frac{168}{59}$ y $m + n = 168 + 59 = 227.$

Let $\omega$ touch $\overline{AB}$ at $Z$ and $\overline{AC}$ at $W,$ and set $\alpha = \angle BAX$ and $\beta = \angle AXC.$ The tangent-chord angle between $PQ$ and chord $XY$ equals the one between $BC$ and $XY,$ so $\angle QYX = \angle YXC = \beta,$ and vertical angles give $\angle AYP = \beta.$ In triangle $APY$ the law of sines gives $PY = AP\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ and by equal tangents $PZ = PY,$ so $\frac{AZ}{AP} = 1 + \frac{PY}{AP} = 1 + \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$ In triangle $ABX,$ since $\angle AXB = 180^\circ - \beta,$ similarly $BX = AB\,\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},$ and $BZ = BX$ gives $\frac{AZ}{AB} = 1 - \frac{\sin\alpha}{\sin\beta}.$

Adding the two relations, $\frac{AZ}{AP} + \frac{AZ}{AB} = 2,$ so with $AP = 3$ and $AB = 7$ we get $AZ\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{7}\right) = 2,$ hence $AZ = \frac{21}{5}.$ The identical argument on side $AC$ (using $\angle XAC$ in triangles $AQY$ and $ACX$ ) gives $\frac{AW}{AQ} + \frac{AW}{AC} = 2,$ and $AW = AZ = \frac{21}{5}$ by equal tangents from $A.$ Therefore $\frac{1}{AQ} = \frac{10}{21} - \frac{1}{8} = \frac{59}{168},$ so $AQ = \frac{168}{59}$ and $m + n = 168 + 59 = 227.$

15.

Halla el número de funciones $f$ de $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ a los enteros tales que $f(0) = 0,$ $f(6) = 12,$ y $\begin{aligned} |x - y| &\le |f(x) - f(y)| \\ &\le 3|x - y| \end{aligned}$ para todo $x$ e $y$ en $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$

Find the number of functions $f$ from $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ to the integers such that $f(0) = 0,$ $f(6) = 12,$ and $\begin{aligned} |x - y| &\le |f(x) - f(y)| \\ &\le 3|x - y| \end{aligned}$ for all $x$ and $y$ in $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$

Respuesta

Respuesta: 185

Conceptos:particiones y composiciones permutaciones de multiconjuntos análisis por casos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Los valores consecutivos difieren en $1,$ $2,$ o $3$ en valor absoluto y las seis diferencias suman $12;$ demuestra que a lo sumo una diferencia puede ser negativa

Consecutive values differ by $1,$ $2,$ or $3$ in absolute value and the six differences sum to $12;$ show at most one difference can be negative

Pista grande:

Trata tres casos: sin descenso; un descenso en algún extremo; un descenso interior, que se ve forzado a ser $-1$ flanqueado por dos $+3$

Handle three cases: no decrease; a decrease at either end; an interior decrease, which is forced to be $-1$ flanked by two $+3$ s

Solución:

Sea $d_i = f(i) - f(i-1),$ de modo que cada $|d_i| \in \{1, 2, 3\}$ y $d_1 + \cdots + d_6 = 12.$ Si $k$ de las diferencias fueran negativas, la suma sería a lo sumo $3(6 - k) - k = 18 - 4k,$ así que $k \le 1.$ Si ninguna diferencia es negativa, las soluciones de $a + b + c = 6,$ $a + 2b + 3c = 12$ (con $a, b, c$ contando los $1$ , los $2$ y los $3$ ) son $(0,6,0),$ $(1,4,1),$ $(2,2,2),$ $(3,0,3),$ y todos esos ordenamientos satisfacen las condiciones para cada par, lo que da $\begin{aligned} &\binom{6}{0,6,0} + \binom{6}{1,4,1} \\ &\quad {}+ \binom{6}{2,2,2} + \binom{6}{3,0,3} \\ &= 1 + 30 + 90 + 20 = 141. \end{aligned}$

Si $d_1 \lt 0,$ entonces $|f(2)| \ge 2$ junto con $f(2) \le d_1 + 3$ obliga a $d_1 = -1$ y $d_2 = 3;$ las cuatro diferencias restantes son positivas y suman $10,$ lo que da $\binom{4}{1,0,3} + \binom{4}{0,2,2} = 4 + 6 = 10$ funciones, y el caso $d_6 \lt 0$ es simétrico: $20$ en total. Por último, si $d_{n+1} \lt 0$ para algún $n = 1, 2, 3, 4,$ las condiciones de pares $|f(n+1) - f(n-1)| \ge 2$ y $|f(n+2) - f(n)| \ge 2$ obligan a $d_{n+1} = -1$ y $d_n = d_{n+2} = 3.$ Las otras tres diferencias son positivas y suman $7,$ lo que se logra con dos $3$ y un $1$ o con un $3$ y dos $2,$ cada uno en $3$ órdenes: $6$ maneras para cada una de las $4$ posiciones, o $24$ funciones.

El total es $141 + 20 + 24 = 185.$

Let $d_i = f(i) - f(i-1),$ so each $|d_i| \in \{1, 2, 3\}$ and $d_1 + \cdots + d_6 = 12.$ If $k$ of the differences were negative, the sum would be at most $3(6 - k) - k = 18 - 4k,$ so $k \le 1.$ If no difference is negative, the solutions of $a + b + c = 6,$ $a + 2b + 3c = 12$ (with $a, b, c$ counting $1$ s, $2$ s, $3$ s) are $(0,6,0),$ $(1,4,1),$ $(2,2,2),$ $(3,0,3),$ and all such orderings satisfy every pair condition, giving $\begin{aligned} &\binom{6}{0,6,0} + \binom{6}{1,4,1} \\ &\quad {}+ \binom{6}{2,2,2} + \binom{6}{3,0,3} \\ &= 1 + 30 + 90 + 20 = 141. \end{aligned}$

If $d_1 \lt 0,$ then $|f(2)| \ge 2$ with $f(2) \le d_1 + 3$ forces $d_1 = -1$ and $d_2 = 3;$ the remaining four differences are positive and sum to $10,$ giving $\binom{4}{1,0,3} + \binom{4}{0,2,2} = 4 + 6 = 10$ functions, and the case $d_6 \lt 0$ is symmetric: $20$ in all. Finally, if $d_{n+1} \lt 0$ for some $n = 1, 2, 3, 4,$ the pair conditions $|f(n+1) - f(n-1)| \ge 2$ and $|f(n+2) - f(n)| \ge 2$ force $d_{n+1} = -1$ and $d_n = d_{n+2} = 3.$ The other three differences are positive and sum to $7,$ achievable as two $3$ s and a $1$ or a $3$ and two $2$ s, each in $3$ orders: $6$ ways for each of the $4$ positions, or $24$ functions.

The total is $141 + 20 + 24 = 185.$

Problemas del 2018 AIME II

Respuesta: 800

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 112

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 371

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 23

Nivel de dificultad: 2640

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 74

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 37

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 20

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 556

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 184

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 756

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 461

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 112

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 647

Nivel de dificultad: 3270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 227

Nivel de dificultad: 3500

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 185

Nivel de dificultad: 3370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: