Question

Halla la suma de todos los enteros positivos $b \lt 1000$ tales que el entero $36_{b}$ en base $b$ es un cuadrado perfecto y el entero $27_{b}$ en base $b$ es un cubo perfecto.

Find the sum of all positive integers $b \lt 1000$ such that the base- $b$ integer $36_{b}$ is a perfect square and the base- $b$ integer $27_{b}$ is a perfect cube.

Respuesta

Solución:

Las condiciones dicen que $3b + 6$ es un cuadrado perfecto y que $2b + 7$ es un cubo perfecto. Como $2b + 7$ es impar y $b \lt 1000$ obliga a que $2b + 7 \lt 2007,$ el cubo debe ser uno de $1,$ $27,$ $125,$ $343,$ $729,$ $1331,$ lo que da $b = -3,$ $10,$ $59,$ $168,$ $361,$ $662.$

Los valores correspondientes de $3b + 6$ para los candidatos positivos son $36,$ $183,$ $510,$ $1089,$ $1992,$ y solo $36 = 6^2$ (para $b = 10$ ) y $1089 = 33^2$ (para $b = 361$ ) son cuadrados perfectos. La suma pedida es $10 + 361 = 371.$

The conditions say $3b + 6$ is a perfect square and $2b + 7$ is a perfect cube. Since $2b + 7$ is odd and $b \lt 1000$ forces $2b + 7 \lt 2007,$ the cube must be one of $1,$ $27,$ $125,$ $343,$ $729,$ $1331,$ giving $b = -3,$ $10,$ $59,$ $168,$ $361,$ $662.$

The corresponding values of $3b + 6$ for the positive candidates are $36,$ $183,$ $510,$ $1089,$ $1992,$ and only $36 = 6^2$ (for $b = 10$ ) and $1089 = 33^2$ (for $b = 361$ ) are perfect squares. The requested sum is $10 + 361 = 371.$

2018 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años