Question

Un entero positivo $N$ tiene representación en base once $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ y representación en base ocho $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ representan dígitos (no necesariamente distintos). Halle el menor $N$ de este tipo expresado en base diez.

A positive integer $N$ has base-eleven representation $\underline{a}\,\underline{b}\,\underline{c}$ and base-eight representation $\underline{1}\,\underline{b}\,\underline{c}\,\underline{a},$ where $a,$ $b,$ and $c$ represent (not necessarily distinct) digits. Find the least such $N$ expressed in base ten.

Respuesta

Solución:

Igualar las dos representaciones en base diez da $121a + 11b + c$ $= 512 + 64b + 8c + a,$ lo que se simplifica a $120a = 512 + 53b + 7c.$ Todos $a,$ $b,$ $c$ son dígitos en base ocho, así que $0 \le a, b, c \le 7$ (y $a \ge 1$ ya que encabeza la representación en base once).

El lado derecho es al menos $512,$ así que $a \ge 5.$ Como $N = 121a + 11b + c$ crece con $a,$ pruebe $a = 5:$ entonces $53b + 7c = 88.$ Aquí $b = 0$ da $7c = 88,$ imposible, y $b \ge 2$ se pasa, así que $b = 1$ y $7c = 35,$ dando $c = 5.$

Por lo tanto $N = 121 \cdot 5 + 11 + 5 = 621,$ cuya representación en base ocho es $1155$ y en base once es $515,$ como se requiere. El menor $N$ de este tipo es $621.$

Equating the two representations in base ten gives $121a + 11b + c$ $= 512 + 64b + 8c + a,$ which simplifies to $120a = 512 + 53b + 7c.$ All of $a,$ $b,$ $c$ are base-eight digits, so $0 \le a, b, c \le 7$ (and $a \ge 1$ since it leads the base-eleven representation).

The right side is at least $512,$ so $a \ge 5.$ Since $N = 121a + 11b + c$ increases with $a,$ try $a = 5:$ then $53b + 7c = 88.$ Here $b = 0$ gives $7c = 88,$ impossible, and $b \ge 2$ overshoots, so $b = 1$ and $7c = 35,$ giving $c = 5.$

Thus $N = 121 \cdot 5 + 11 + 5 = 621,$ whose base-eight representation is $1155$ and base-eleven representation is $515,$ as required. The least such $N$ is $621.$

2020 AIME I Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años