Question

El cuadrado $ABCD$ tiene lado $13,$ y los puntos $E$ y $F$ son exteriores al cuadrado tales que $BE = DF = 5$ y $AE = CF = 12.$ ¿Cuánto vale $EF^2$ ?

Square $ABCD$ has side length $13,$ and points $E$ and $F$ are exterior to the square such that $BE = DF = 5$ and $AE = CF = 12.$ Find $EF^2.$

Respuesta

Respuesta: 578

Conceptos:Terna pitagórica congruencia (geometría)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Como $5^2 + 12^2 = 13^2,$ los ángulos $AEB$ y $CFD$ son rectos.

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ angles $AEB$ and $CFD$ are right angles

Pista grande:

Prolonga $EA$ más allá de $A$ y $FD$ más allá de $D$ hasta que se corten en $G,$ y busca triángulos rectángulos congruentes con $AEB$ .

Extend $EA$ beyond $A$ and $FD$ beyond $D$ to meet at $G,$ and look for right triangles congruent to $AEB$

Solución:

Como $5^2 + 12^2 = 13^2,$ los triángulos $AEB$ y $CFD$ son rectángulos en $E$ y $F,$ y son congruentes (lados $5,$ $12,$ $13$ ). Prolonga $EA$ más allá de $A$ y $FD$ más allá de $D$ hasta que las dos rectas se corten en $G.$

Entonces $\begin{aligned} \angle GAD &= 90^\circ - \angle EAB \\ &= \angle ABE, \\ \angle GDA &= 90^\circ - \angle FDC \\ &= \angle DCF = \angle BAE. \end{aligned}$ Estos dos ángulos suman $90^\circ,$ así que $\angle AGD = 90^\circ,$ y el triángulo $AGD$ es congruente con $BEA$ (ángulos iguales e hipotenusa $AD = BA = 13$ ). Por lo tanto $GA = EB = 5$ y $GD = EA = 12.$

Por lo tanto $GE = GA + AE = 5 + 12 = 17$ y $GF = GD + DF = 12 + 5 = 17,$ con un ángulo recto entre ellos en $G,$ así que $EF^2 = 17^2 + 17^2 = 578.$

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ triangles $AEB$ and $CFD$ are right-angled at $E$ and $F,$ and they are congruent (sides $5,$ $12,$ $13$ ). Extend $EA$ beyond $A$ and $FD$ beyond $D$ until the two lines meet at $G.$

Then $\begin{aligned} \angle GAD &= 90^\circ - \angle EAB \\ &= \angle ABE, \\ \angle GDA &= 90^\circ - \angle FDC \\ &= \angle DCF = \angle BAE. \end{aligned}$ These two angles sum to $90^\circ,$ so $\angle AGD = 90^\circ,$ and triangle $AGD$ is congruent to $BEA$ (equal angles and hypotenuse $AD = BA = 13$ ). Hence $GA = EB = 5$ and $GD = EA = 12.$

Therefore $GE = GA + AE = 5 + 12 = 17$ and $GF = GD + DF = 12 + 5 = 17,$ with a right angle between them at $G,$ so $EF^2 = 17^2 + 17^2 = 578.$

2007 AIME II Problema 3

Respuesta: 578

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años