Question

Sean $x,$ $y,$ y $z$ números reales que satisfacen el sistema $\log_2(xyz - 3 + \log_5 x) = 5$ $\log_3(xyz - 3 + \log_5 y) = 4$ $\log_4(xyz - 3 + \log_5 z) = 4.$ Halla el valor de $|\log_5 x| + |\log_5 y| + |\log_5 z|.$

Let $x,$ $y,$ and $z$ be real numbers satisfying the system $\log_2(xyz - 3 + \log_5 x) = 5$ $\log_3(xyz - 3 + \log_5 y) = 4$ $\log_4(xyz - 3 + \log_5 z) = 4.$ Find the value of $|\log_5 x| + |\log_5 y| + |\log_5 z|.$

Respuesta

Solución:

Exponenciar cada ecuación da $xyz - 3 + \log_5 x = 2^5$ y análogamente para las demás, así que $xyz + \log_5 x = 35,$ $xyz + \log_5 y = 84,$ $xyz + \log_5 z = 259.$ Escribimos $x = 5^a,$ $y = 5^b,$ $z = 5^c,$ de modo que $xyz = 5^{a+b+c}.$

Sumar las tres ecuaciones da $3 \cdot 5^s + s = 378,$ donde $s = a + b + c.$ El lado izquierdo es estrictamente creciente en $s,$ y $s = 3$ funciona ya que $375 + 3 = 378,$ así que $s = 3$ y $5^s = 125.$

Entonces $a = 35 - 125 = -90,$ $b = 84 - 125 = -41,$ y $c = 259 - 125 = 134,$ así que $|a| + |b| + |c|$ $= 90 + 41 + 134$ $= 265.$

Exponentiating each equation gives $xyz - 3 + \log_5 x = 2^5$ and similarly for the others, so $xyz + \log_5 x = 35,$ $xyz + \log_5 y = 84,$ $xyz + \log_5 z = 259.$ Write $x = 5^a,$ $y = 5^b,$ $z = 5^c,$ so that $xyz = 5^{a+b+c}.$

Adding the three equations gives $3 \cdot 5^s + s = 378,$ where $s = a + b + c.$ The left side is strictly increasing in $s,$ and $s = 3$ works since $375 + 3 = 378,$ so $s = 3$ and $5^s = 125.$

Then $a = 35 - 125 = -90,$ $b = 84 - 125 = -41,$ and $c = 259 - 125 = 134,$ so $|a| + |b| + |c|$ $= 90 + 41 + 134$ $= 265.$

2016 AIME II Problema 3

Solución:

El Problema 3 en otros años