Question

Partiendo de $(0,0),$ un objeto se mueve en el plano cartesiano mediante pasos de longitud uno. Cada paso va a la izquierda, a la derecha, hacia arriba o hacia abajo, con las cuatro opciones igualmente probables. Sea $p$ la probabilidad de que el objeto llegue a $(2,2)$ en seis pasos o menos. Dado que $p$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos, halla $m+n.$

Starting at $(0,0),$ an object moves in the coordinate plane via a sequence of steps, each of length one. Each step is left, right, up, or down, all four equally likely. Let $p$ be the probability that the object reaches $(2,2)$ in six or fewer steps. Given that $p$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 67

Conceptos:camino aleatorio conteo básico probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

El objetivo puede alcanzarse por primera vez únicamente después de $4$ o $6$ pasos

The target can first be reached only after $4$ or $6$ steps

Pista grande:

De los caminos de seis pasos que terminan en el objetivo, resta los que ya llegaron en el paso $4$

From the six-step paths ending at the target, subtract those that already arrived at step $4$

Solución:

Hay $\binom42=6$ caminos de cuatro pasos hasta $(2,2).$ Hay $60+60=120$ caminos de seis pasos que terminan allí: el par opuesto adicional consiste en un paso a la izquierda y otro a la derecha, o en uno hacia abajo y otro hacia arriba. De ellos, $6\cdot4=24$ alcanzan por primera vez el objetivo en el paso $4$ y luego hacen un regreso de dos pasos. Por lo tanto, $p=\frac6{4^4}+\frac{120-24}{4^6}=\frac3{64}.$ Así, $m+n=3+64=67.$

There are $\binom42=6$ four-step paths to $(2,2).$ There are $60+60=120$ six-step paths ending there: the extra opposite pair is either left-right or down-up. Of these, $6\cdot4=24$ first reach the target at step $4$ and then make a two-step return. Therefore $p=\frac6{4^4}+\frac{120-24}{4^6}=\frac3{64}.$ Thus $m+n=3+64=67.$

1995 AIME Problema 3

Respuesta: 67

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 3 en otros años