1995 AIME — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

El cuadrado $S_1$ mide $1\times1.$ Para $i\geq1,$ los lados del cuadrado $S_{i+1}$ miden la mitad que los del cuadrado $S_i,$ dos lados adyacentes de $S_i$ son mediatrices de dos lados adyacentes de $S_{i+1},$ y los otros dos lados de $S_{i+1}$ son mediatrices de dos lados adyacentes de $S_{i+2}.$ El área total encerrada por al menos uno de $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $S_4,$ $S_5$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. Halla $m-n.$

Square $S_1$ is $1\times1.$ For $i\geq1,$ the lengths of the sides of square $S_{i+1}$ are half the lengths of the sides of square $S_i,$ two adjacent sides of square $S_i$ are perpendicular bisectors of two adjacent sides of square $S_{i+1},$ and the other two sides of square $S_{i+1}$ are the perpendicular bisectors of two adjacent sides of square $S_{i+2}.$ The total area enclosed by at least one of $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $S_4,$ $S_5$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m-n.$

Respuesta

Respuesta: 255

Conceptos:sucesión geométrica área inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Cada cuadrado tiene la cuarta parte del área del cuadrado anterior

Each square has one fourth the area of the preceding square

Pista grande:

Dos cuadrados consecutivos se superponen en la cuarta parte del menor, y los interiores de cuadrados no consecutivos no se superponen

Adjacent squares overlap in one fourth of the smaller square, and nonadjacent interiors do not overlap

Solución:

La suma de las áreas de los cinco cuadrados es $\begin{aligned}1+\frac14+\frac1{16}&+\frac1{64}+\frac1{256}\\&=\frac{1364}{1024}.\end{aligned}$ La disposición mediante mediatrices hace que la superposición de cada par consecutivo sea la cuarta parte del cuadrado menor. Estas cuatro superposiciones son disjuntas y tienen área total $\begin{aligned}\frac1{16}+\frac1{64}&+\frac1{256}+\frac1{1024}\\&=\frac{85}{1024}.\end{aligned}$ Por lo tanto, la unión tiene área $\frac{1364-85}{1024}=\frac{1279}{1024},$ y $m-n=1279-1024=255.$

The sum of the five square areas is $\begin{aligned}1+\frac14+\frac1{16}&+\frac1{64}+\frac1{256}\\&=\frac{1364}{1024}.\end{aligned}$ The perpendicular-bisector placement makes the overlap of each adjacent pair one fourth of the smaller square. These four overlaps are disjoint and have total area $\begin{aligned}\frac1{16}+\frac1{64}&+\frac1{256}+\frac1{1024}\\&=\frac{85}{1024}.\end{aligned}$ Thus the union has area $\frac{1364-85}{1024}=\frac{1279}{1024},$ and $m-n=1279-1024=255.$

2.

Halla las tres últimas cifras del producto de las raíces positivas de $\sqrt{1995}\,x^{\log_{1995}x}=x^2.$

Find the last three digits of the product of the positive roots of $\sqrt{1995}\,x^{\log_{1995}x}=x^2.$

Respuesta

Respuesta: 25

Conceptos:logaritmo cuadrática aritmética modular

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Define $y=\log_{1995}x,$ de modo que $x=1995^y$

Set $y=\log_{1995}x,$ so $x=1995^y$

Pista grande:

Compara los exponentes de $1995$ y luego usa la suma de los dos valores de $y$

Compare exponents of $1995$ , then use the sum of the two values of $y$

Solución:

Sea $y=\log_{1995}x,$ de modo que $x=1995^y.$ La ecuación se convierte en $1995^{\frac{1}{2}+y^2}=1995^{2y},$ y por tanto $(y-1)^2=\frac{1}{2}.$ Los dos valores de $y$ tienen suma $2,$ así que el producto de las raíces positivas correspondientes es $1995^2.$ Como $1995\equiv-5\pmod {1000},$ sus tres últimas cifras son $025.$ La respuesta AIME pedida es $25.$

Put $y=\log_{1995}x,$ so $x=1995^y.$ The equation becomes $1995^{\frac{1}{2}+y^2}=1995^{2y},$ and hence $(y-1)^2=\frac{1}{2}.$ The two values of $y$ have sum $2,$ so the product of the corresponding positive roots is $1995^2.$ Since $1995\equiv-5\pmod {1000},$ its last three digits are $025.$ The requested AIME answer is $25.$

3.

Partiendo de $(0,0),$ un objeto se mueve en el plano cartesiano mediante pasos de longitud uno. Cada paso va a la izquierda, a la derecha, hacia arriba o hacia abajo, con las cuatro opciones igualmente probables. Sea $p$ la probabilidad de que el objeto llegue a $(2,2)$ en seis pasos o menos. Dado que $p$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos, halla $m+n.$

Starting at $(0,0),$ an object moves in the coordinate plane via a sequence of steps, each of length one. Each step is left, right, up, or down, all four equally likely. Let $p$ be the probability that the object reaches $(2,2)$ in six or fewer steps. Given that $p$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 67

Conceptos:camino aleatorio conteo básico probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

El objetivo puede alcanzarse por primera vez únicamente después de $4$ o $6$ pasos

The target can first be reached only after $4$ or $6$ steps

Pista grande:

De los caminos de seis pasos que terminan en el objetivo, resta los que ya llegaron en el paso $4$

From the six-step paths ending at the target, subtract those that already arrived at step $4$

Solución:

Hay $\binom42=6$ caminos de cuatro pasos hasta $(2,2).$ Hay $60+60=120$ caminos de seis pasos que terminan allí: el par opuesto adicional consiste en un paso a la izquierda y otro a la derecha, o en uno hacia abajo y otro hacia arriba. De ellos, $6\cdot4=24$ alcanzan por primera vez el objetivo en el paso $4$ y luego hacen un regreso de dos pasos. Por lo tanto, $p=\frac6{4^4}+\frac{120-24}{4^6}=\frac3{64}.$ Así, $m+n=3+64=67.$

There are $\binom42=6$ four-step paths to $(2,2).$ There are $60+60=120$ six-step paths ending there: the extra opposite pair is either left-right or down-up. Of these, $6\cdot4=24$ first reach the target at step $4$ and then make a two-step return. Therefore $p=\frac6{4^4}+\frac{120-24}{4^6}=\frac3{64}.$ Thus $m+n=3+64=67.$

4.

Dos círculos de radios $3$ y $6$ son tangentes exteriormente entre sí y tangentes interiormente a un círculo de radio $9.$ El círculo de radio $9$ tiene una cuerda que es tangente exterior común a los otros dos círculos. Halla el cuadrado de la longitud de esta cuerda.

Circles of radius $3$ and $6$ are externally tangent to each other and are internally tangent to a circle of radius $9.$ The circle of radius $9$ has a chord that is a common external tangent of the other two circles. Find the square of the length of this chord.

Respuesta

Respuesta: 224

Conceptos:circunferencias tangentes cuerda geometría analítica

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Los tres centros son colineales porque sus distancias por pares son $6,$ $3,$ y $9$

The three circle centers are collinear because their pairwise distances are $6,$ $3,$ and $9$

Pista grande:

Usa las distancias dirigidas desde los dos centros menores hasta la tangente común para hallar su distancia al centro mayor

Use signed distances from the two smaller centers to the common tangent to find its distance from the large center

Solución:

Coloca el centro del círculo de radio $9$ en el origen y los centros menores en $(-6,0)$ y $(3,0).$ Escribe la tangente exterior común como $\mathbf n\cdot(x,y)=c,$ donde $\mathbf n$ es un vector normal unitario. Sus distancias dirigidas a los dos centros difieren en $6-3=3,$ por lo que $9n_x=3$ y $n_x=\frac{1}{3}.$ Usar la distancia $3$ desde $(-6,0)$ da $|c|=5.$ Así, la cuerda está a $5$ unidades del centro mayor y el cuadrado de su longitud es $4(9^2-5^2)=4\cdot56=224.$

Put the radius- $9$ circle at the origin and the smaller centers at $(-6,0)$ and $(3,0).$ Write the common external tangent as $\mathbf n\cdot(x,y)=c,$ where $\mathbf n$ is a unit normal. Its signed distances from the two centers differ by $6-3=3,$ so $9n_x=3$ and $n_x=\frac{1}{3}.$ Using the distance $3$ from $(-6,0)$ gives $|c|=5.$ Thus the chord lies $5$ units from the large center, and its squared length is $4(9^2-5^2)=4\cdot56=224.$

5.

Para ciertos valores reales de $a,$ $b,$ $c,$ y $d,$ la ecuación $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ tiene cuatro raíces no reales. El producto de dos de ellas es $13+i$ y la suma de las otras dos es $3+4i,$ donde $i=\sqrt{-1}.$ Halla $b.$

For certain real values of $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ the equation $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ has four non-real roots. The product of two of these roots is $13+i$ and the sum of the other two roots is $3+4i,$ where $i=\sqrt{-1}.$ Find $b.$

Respuesta

Respuesta: 51

Conceptos:número complejo Fórmulas de Vieta polinomio

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Como el polinomio tiene coeficientes reales, sus raíces no reales aparecen en pares conjugados

Because the polynomial has real coefficients, its non-real roots occur in conjugate pairs

Pista grande:

Agrupa los seis productos por pares en los productos internos de los dos grupos y los cuatro productos cruzados

Group the six pairwise products into the products within the two groups and the four cross-products

Solución:

Sean las dos primeras raíces $\alpha$ y $\beta.$ Como $\alpha\beta=13+i$ no es real, no son conjugadas, así que las otras raíces son $\overline\alpha$ y $\overline\beta.$ Por consiguiente, $\alpha+\beta=3-4i$ y $\overline\alpha\,\overline\beta=13-i.$ Por las fórmulas de Vieta, $\begin{aligned}b&=\alpha\beta+\overline\alpha\,\overline\beta\\&\quad+(3-4i)(3+4i)\\&=26+25=51.\end{aligned}$

Let the first two roots be $\alpha$ and $\beta.$ Since $\alpha\beta=13+i$ is not real, they are not conjugates, so the other roots are $\overline\alpha$ and $\overline\beta.$ Hence $\alpha+\beta=3-4i$ and $\overline\alpha\,\overline\beta=13-i.$ By Vieta’s formulas, $\begin{aligned}b&=\alpha\beta+\overline\alpha\,\overline\beta\\&\quad+(3-4i)(3+4i)\\&=26+25=51.\end{aligned}$

6.

Sea $n=2^{31}3^{19}.$ ¿Cuántos divisores enteros positivos de $n^2$ son menores que $n$ pero no dividen a $n$ ?

Let $n=2^{31}3^{19}.$ How many positive integer divisors of $n^2$ are less than $n$ but do not divide $n?$

Respuesta

Respuesta: 589

Conceptos:conteo de factores emparejamiento y agrupación factorización en primos

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Empareja cada divisor $d$ de $n^2$ con $\frac{n^2}{d}$

Pair each divisor $d$ of $n^2$ with $\frac{n^2}{d}$

Pista grande:

Entre los divisores menores que $n$ , resta los que ya dividen a $n$

Among the divisors below $n$ , subtract those that already divide $n$

Solución:

El número $n^2=2^{62}3^{38}$ tiene $63\cdot39=2457$ divisores. Emparejar $d$ con $\frac{n^2}{d}$ deja solo a $n$ sin pareja, así que $\frac{2457-1}{2}=1228$ divisores están por debajo de $n.$ El número $n$ tiene $32\cdot20=640$ divisores, de los cuales $639$ están por debajo de $n.$ Por lo tanto, la cantidad pedida es $1228-639=589.$

The number $n^2=2^{62}3^{38}$ has $63\cdot39=2457$ divisors. Pairing $d$ with $\frac{n^2}{d}$ leaves only $n$ unpaired, so $\frac{2457-1}{2}=1228$ divisors lie below $n.$ The number $n$ has $32\cdot20=640$ divisors, of which $639$ are below $n.$ Therefore the requested count is $1228-639=589.$

7.

Dado que $(1+\sin t)(1+\cos t)=\frac54$ y $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac mn-\sqrt k,\end{aligned}$ donde $k,$ $m,$ y $n$ son enteros positivos y $m$ y $n$ son coprimos, halla $k+m+n.$

Given that $(1+\sin t)(1+\cos t)=\frac54$ and $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac mn-\sqrt k,\end{aligned}$ where $k,$ $m,$ and $n$ are positive integers with $m$ and $n$ relatively prime, find $k+m+n.$

Respuesta

Respuesta: 27

Conceptos:identidad trigonométrica simetría (álgebra)radical

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Define $u=\sin t+\cos t$ y expresa $\sin t\cos t$ en términos de $u$

Set $u=\sin t+\cos t$ and express $\sin t\cos t$ in terms of $u$

Pista grande:

Los dos productos dados se convierten en la mitad de un cuadrado perfecto en $u$

Both given products become half of a perfect square in $u$

Solución:

Sea $u=\sin t+\cos t.$ Como $\sin t\cos t=\frac{u^2-1}{2},$ $\begin{aligned}(1+\sin t)&(1+\cos t)\\&=\frac{(u+1)^2}{2}=\frac54.\end{aligned}$ La elección de signo compatible da $u+1=\sqrt{\frac{5}{2}}.$ Por tanto, $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac{(1-u)^2}{2}\\&=\frac{13}{4}-\sqrt{10}.\end{aligned}$ Así, $k+m+n=10+13+4=27.$

Let $u=\sin t+\cos t.$ Since $\sin t\cos t=\frac{u^2-1}{2},$ $\begin{aligned}(1+\sin t)&(1+\cos t)\\&=\frac{(u+1)^2}{2}=\frac54.\end{aligned}$ The feasible sign gives $u+1=\sqrt{\frac{5}{2}}.$ Therefore $\begin{aligned}(1-\sin t)&(1-\cos t)\\&=\frac{(1-u)^2}{2}\\&=\frac{13}{4}-\sqrt{10}.\end{aligned}$ Thus $k+m+n=10+13+4=27.$

8.

¿Para cuántos pares ordenados de enteros positivos $(x,y),$ con $y<x\leq100,$ son enteros tanto $\frac{x}{y}$ como $\frac{x+1}{y+1}$ ?

For how many ordered pairs of positive integers $(x,y),$ with $y<x\leq100,$ are both $\frac{x}{y}$ and $\frac{x+1}{y+1}$ integers?

Respuesta

Respuesta: 85

Conceptos:divisibilidad funciones piso y techo conteo de pares

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Escribe $x=ay$ y reduce $x+1$ módulo $y+1$

Write $x=ay$ and reduce $x+1$ modulo $y+1$

Pista grande:

El cociente $a$ debe tener la forma $1+t(y+1)$ ; cuenta los valores positivos posibles de $t$

The quotient $a$ must have the form $1+t(y+1)$ ; count the possible positive values of $t$

Solución:

Escribe $x=ay.$ Módulo $y+1,$ tenemos $y\equiv-1,$ así que $x+1$ es divisible por $y+1$ exactamente cuando $a\equiv1\pmod {y+1}.$ Como $x>y,$ escribe $a=1+t(y+1)$ con $t\geq1.$ La cota $x\leq100$ se convierte en $t\leq\left\lfloor\frac{100-y}{y(y+1)}\right\rfloor.$ Solo contribuyen $1\leq y\leq9,$ lo que da $\begin{aligned}49+16+8&+4+3\\&+2+1+1+1\\&=85.\end{aligned}$

Write $x=ay.$ Modulo $y+1,$ we have $y\equiv-1,$ so $x+1$ is divisible by $y+1$ exactly when $a\equiv1\pmod {y+1}.$ Since $x>y,$ write $a=1+t(y+1)$ with $t\geq1.$ The bound $x\leq100$ becomes $t\leq\left\lfloor\frac{100-y}{y(y+1)}\right\rfloor.$ Only $1\leq y\leq9$ contribute, giving $\begin{aligned}49+16+8&+4+3\\&+2+1+1+1\\&=85.\end{aligned}$

9.

El triángulo $ABC$ es isósceles, con $AB=AC$ y altura $AM=11.$ Supón que hay un punto $D$ sobre $\overline{AM}$ con $AD=10$ y $\angle BDC=3\angle BAC.$ Entonces el perímetro de $\triangle ABC$ puede escribirse en la forma $a+\sqrt b,$ donde $a$ y $b$ son enteros. Halla $a+b.$

Triangle $ABC$ is isosceles, with $AB=AC$ and altitude $AM=11.$ Suppose that there is a point $D$ on $\overline{AM}$ with $AD=10$ and $\angle BDC=3\angle BAC.$ Then the perimeter of $\triangle ABC$ may be written in the form $a+\sqrt b,$ where $a$ and $b$ are integers. Find $a+b.$

Respuesta

Respuesta: 616

Conceptos:identidad trigonométrica triángulo isósceles trigonometría

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Sea $BM=x$ y sea $\alpha$ la mitad del ángulo del vértice

Let $BM=x$ and let half the apex angle be $\alpha$

Pista grande:

Usa $\tan\alpha=\frac{x}{11},$ $DM=1,$ y la fórmula del ángulo triple para la tangente

Use $\tan\alpha=\frac{x}{11},$ $DM=1,$ and the triple-angle formula for tangent

Solución:

Sean $BM=x$ y $\alpha=\angle BAM,$ de modo que $\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Como $DM=AM-AD=1,$ la simetría da $\angle BDC=2\arctan x,$ mientras que $\angle BAC=2\alpha.$ Por tanto, $\arctan x=3\alpha.$ Sea $t=\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Entonces $\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=11t,$ por lo que $t^2=\frac{1}{4}$ y $x=\frac{11}{2}.$ Así, $BC=11$ y $AB=\frac{11\sqrt5}{2},$ con lo cual el perímetro es $11+11\sqrt5=11+\sqrt{605}.$ Por consiguiente, $a+b=11+605=616.$

Let $BM=x$ and $\alpha=\angle BAM,$ so $\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Because $DM=AM-AD=1,$ symmetry gives $\angle BDC=2\arctan x,$ while $\angle BAC=2\alpha.$ Hence $\arctan x=3\alpha.$ Put $t=\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Then $\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=11t,$ so $t^2=\frac{1}{4}$ and $x=\frac{11}{2}.$ Thus $BC=11$ and $AB=\frac{11\sqrt5}{2},$ making the perimeter $11+11\sqrt5=11+\sqrt{605}.$ Therefore $a+b=11+605=616.$

10.

¿Cuál es el mayor entero positivo que no es la suma de un múltiplo entero positivo de $42$ y un entero compuesto positivo?

What is the largest positive integer that is not the sum of a positive integral multiple of $42$ and a positive composite integer?

Respuesta

Respuesta: 215

Conceptos:aritmética modular factor argumento extremal

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Para cada residuo módulo $42$ , halla el menor entero compuesto positivo de esa clase

For each residue modulo $42$ , find the smallest positive composite integer in that residue

Pista grande:

Una vez que un número de una clase residual es representable, todo número $42$ unidades mayor de esa clase también lo es

Once one number in a residue class is representable, every number $42$ larger in that class is representable

Solución:

Un número de la clase residual $r\pmod {42}$ es representable cuando excede al menor compuesto positivo de esa clase en un múltiplo positivo de $42.$ Si el residuo $r$ es compuesto, él mismo aporta ese primer valor. Para los residuos restantes, unos primeros compuestos adecuados son $\begin{aligned}&0:42,\ 1:85,\ 2:44,\\&3:45,\ 5:215,\ 7:49,\\&11:95,\ 13:55,\ 17:143,\\&19:145,\ 23:65,\ 29:155,\\&31:115,\ 37:121,\ 41:125.\end{aligned}$ La mayor entrada es $215,$ y $215-42,$ $215-84,$ $215-126,$ $215-168,$ y $215-210$ son todos primos. Por lo tanto, $215$ no es representable, mientras que todo entero mayor sí lo es.

A number in residue class $r\pmod {42}$ is representable once it exceeds the first positive composite in that class by a positive multiple of $42.$ Composite residues $r$ themselves supply that first value. For the remaining residues, suitable first composites are $\begin{aligned}&0:42,\ 1:85,\ 2:44,\\&3:45,\ 5:215,\ 7:49,\\&11:95,\ 13:55,\ 17:143,\\&19:145,\ 23:65,\ 29:155,\\&31:115,\ 37:121,\ 41:125.\end{aligned}$ The largest entry is $215,$ and $215-42,$ $215-84,$ $215-126,$ $215-168,$ and $215-210$ are all prime. Hence $215$ is not representable, while every larger integer is.

11.

Un prisma rectangular recto $P$ (es decir, un paralelepípedo rectangular) tiene aristas de longitudes enteras $a,$ $b,$ $c,$ con $a\leq b\leq c.$ Un plano paralelo a una cara de $P$ corta a $P$ en dos prismas, uno de los cuales es semejante a $P,$ y ambos tienen volumen no nulo. Dado que $b=1995,$ ¿para cuántas ternas ordenadas $(a,b,c)$ existe tal plano?

A right rectangular prism $P$ (i.e., a rectangular parallelepiped) has sides of integral length $a,$ $b,$ $c,$ with $a\leq b\leq c.$ A plane parallel to one of the faces of $P$ cuts $P$ into two prisms, one of which is similar to $P,$ and both of which have nonzero volume. Given that $b=1995,$ for how many ordered triples $(a,b,c)$ does such a plane exist?

Respuesta

Respuesta: 40

Conceptos:semejanza conteo de factores factorización

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Ordena las tres aristas del prisma menor y compáralas en orden con $a,$ $b,$ y $c$

Sort the three side lengths of the smaller prism and compare them in order with $a,$ $b,$ and $c$

Pista grande:

Las dos dimensiones que no cambian obligan a que $\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c}$

The two unchanged dimensions force $\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c}$

Solución:

Sean $x\leq y\leq z$ las aristas ordenadas del prisma menor semejante. Este comparte dos longitudes con $P,$ y sus tres aristas ordenadas son menores que las correspondientes de $P.$ La única correspondencia posible es $y=a$ y $z=b=1995.$ La semejanza da entonces $\frac{x}{a}=\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c},$ así que $ac=1995^2.$ Recíprocamente, cada par de factores $a<c$ produce un corte no degenerado. Como $1995=3\cdot5\cdot7\cdot19,$ su cuadrado tiene $3^4=81$ divisores. Al excluir el par central $a=c=1995$ y tomar un divisor de cada par restante se obtiene $\frac{81-1}{2}=40.$

Let the similar smaller prism have sorted sides $x\leq y\leq z.$ It shares two side lengths with $P,$ and all three of its sorted sides are smaller than the corresponding sides of $P.$ The only possible matching is $y=a$ and $z=b=1995.$ Similarity then gives $\frac{x}{a}=\frac{a}{1995}=\frac{1995}{c},$ so $ac=1995^2.$ Conversely every factor pair $a<c$ gives a nondegenerate cut. Since $1995=3\cdot5\cdot7\cdot19,$ its square has $3^4=81$ divisors. Excluding the central pair $a=c=1995$ and taking one divisor from each remaining pair gives $\frac{81-1}{2}=40.$

12.

La pirámide $OABCD$ tiene base cuadrada $ABCD,$ aristas congruentes $\overline{OA},$ $\overline{OB},$ $\overline{OC},$ y $\overline{OD},$ y $\angle AOB=45^\circ.$ Sea $\theta$ la medida del ángulo diedro formado por las caras $OAB$ y $OBC.$ Dado que $\cos\theta=m+\sqrt n,$ donde $m$ y $n$ son enteros, halla $m+n.$

Pyramid $OABCD$ has square base $ABCD,$ congruent edges $\overline{OA},$ $\overline{OB},$ $\overline{OC},$ and $\overline{OD},$ and $\angle AOB=45^\circ.$ Let $\theta$ be the measure of the dihedral angle formed by faces $OAB$ and $OBC.$ Given that $\cos\theta=m+\sqrt n,$ where $m$ and $n$ are integers, find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 5

Conceptos:Geometría 3D geometría analítica vector

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Coloca los vértices del cuadrado en $(\pm1,\pm1,0)$ y el vértice de la pirámide en $(0,0,h)$

Place the square’s vertices at $(\pm1,\pm1,0)$ and the apex at $(0,0,h)$

Pista grande:

Halla $h^2$ a partir de $\angle AOB,$ y luego toma el suplemento del ángulo entre normales adecuadas a las caras

Find $h^2$ from $\angle AOB,$ then take the supplement of the angle between suitable face normals

Solución:

Toma los vértices adyacentes de la base $A=(1,1,0),$ $B=(-1,1,0),$ $C=(-1,-1,0)$ y $O=(0,0,h).$ A partir de $\angle AOB=45^\circ,$ $\begin{aligned}\frac{h^2}{h^2+2}&=\frac1{\sqrt2},\\h^2&=2+2\sqrt2.\end{aligned}$ Se pueden tomar como normales a las dos caras $(0,2h,2)$ y $(-2h,0,2).$ El coseno de su ángulo agudo es $\frac{1}{h^2+1}=3-2\sqrt2.$ El ángulo diedro interior es su suplemento, así que $\cos\theta=2\sqrt2-3=-3+\sqrt8.$ Por lo tanto, $m+n=-3+8=5.$

Take adjacent base vertices $A=(1,1,0),$ $B=(-1,1,0),$ $C=(-1,-1,0)$ and $O=(0,0,h).$ From $\angle AOB=45^\circ,$ $\begin{aligned}\frac{h^2}{h^2+2}&=\frac1{\sqrt2},\\h^2&=2+2\sqrt2.\end{aligned}$ Normals to the two faces may be taken as $(0,2h,2)$ and $(-2h,0,2).$ Their acute angle has cosine $\frac{1}{h^2+1}=3-2\sqrt2.$ The interior dihedral angle is its supplement, so $\cos\theta=2\sqrt2-3=-3+\sqrt8.$ Thus $m+n=-3+8=5.$

13.

Sea $f(n)$ el entero más cercano a $\sqrt[4]{n}.$ Halla $\sum_{k=1}^{1995}\frac1{f(k)}.$

Let $f(n)$ be the integer closest to $\sqrt[4]{n}.$ Find $\sum_{k=1}^{1995}\frac1{f(k)}.$

Respuesta

Respuesta: 400

Conceptos:radical conteo de enteros en un rango suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Cuenta los enteros $n$ para los cuales $j-\tfrac12<\sqrt[4]n<j+\tfrac12$

Count the integers $n$ for which $j-\tfrac12<\sqrt[4]n<j+\tfrac12$

Pista grande:

El número de apariciones de $f(n)=j$ se simplifica a $4j^3+j$

The number of occurrences of $f(n)=j$ simplifies to $4j^3+j$

Solución:

Para $j\geq1,$ el número de enteros positivos $n$ para los cuales $f(n)=j$ es $\begin{aligned}\left(j+\frac12\right)^4&-\left(j-\frac12\right)^4\\&=4j^3+j.\end{aligned}$ Para $j=1,\ldots,6,$ estos representan $\sum_{j=1}^6(4j^3+j)=1785$ valores, y su contribución a la suma pedida es $\begin{aligned}\sum_{j=1}^6\frac{4j^3+j}{j}&=4\sum_{j=1}^6j^2+6\\&=370.\end{aligned}$ Los $1995-1785=210$ valores restantes tienen $f(n)=7,$ y aportan $30.$ El total es $400.$

For $j\geq1,$ the number of positive integers $n$ for which $f(n)=j$ is $\begin{aligned}\left(j+\frac12\right)^4&-\left(j-\frac12\right)^4\\&=4j^3+j.\end{aligned}$ For $j=1,\ldots,6,$ these account for $\sum_{j=1}^6(4j^3+j)=1785$ values, and their contribution to the requested sum is $\begin{aligned}\sum_{j=1}^6\frac{4j^3+j}{j}&=4\sum_{j=1}^6j^2+6\\&=370.\end{aligned}$ The remaining $1995-1785=210$ values have $f(n)=7,$ contributing $30.$ The total is $400.$

14.

En un círculo de radio $42,$ dos cuerdas de longitud $78$ se cortan en un punto cuya distancia al centro es $18.$ Las dos cuerdas dividen el interior del círculo en cuatro regiones. Dos de ellas están limitadas por segmentos de longitudes distintas, y el área de cualquiera puede expresarse de manera única como $m\pi-n\sqrt d,$ donde $m,$ $n,$ y $d$ son enteros positivos y $d$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m+n+d.$

In a circle of radius $42,$ two chords of length $78$ intersect at a point whose distance from the center is $18.$ The two chords divide the interior of the circle into four regions. Two of these regions are bordered by segments of unequal lengths, and the area of either of them can be expressed uniquely in the form $m\pi-n\sqrt d,$ where $m,$ $n,$ and $d$ are positive integers and $d$ is not divisible by the square of any prime. Find $m+n+d.$

Respuesta

Respuesta: 378

Conceptos:sector circular cuerda geometría analítica

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Cada cuerda está a $9\sqrt3$ del centro; determina las dos direcciones posibles de una recta que pase por el punto de intersección

Each chord is $9\sqrt3$ from the center, so determine the two possible line directions through the intersection point

Pista grande:

Los segmentos desiguales de las cuerdas miden $30$ y $48,$ y sus extremos subtienden $60^\circ$ en el centro

The unequal chord segments have lengths $30$ and $48,$ and their endpoints subtend $60^\circ$ at the center

Solución:

Coloca el centro en $O=(0,0)$ y la intersección en $P=(18,0).$ Una cuerda de longitud $78$ está a $9\sqrt3$ de $O,$ así que una recta por $P$ que contenga tal cuerda forma un ángulo de $60^\circ$ o $120^\circ$ con $OP.$ Resolver sobre cualquiera de las dos rectas da segmentos de longitudes $30$ y $48.$

Para cualquiera de las regiones limitadas por segmentos desiguales, los dos extremos del arco subtienden $60^\circ$ en $O.$ Su área es el sector menos $\triangle OAB$ más $\triangle PAB:$ $\begin{aligned}\frac{60}{360}\pi(42)^2&-\frac12(42)^2\sin60^\circ\\&+\frac12(30)(48)\sin60^\circ\\&=294\pi-81\sqrt3.\end{aligned}$ Por tanto, $m+n+d=378.$

Put the center at $O=(0,0)$ and the intersection at $P=(18,0).$ A length- $78$ chord is $9\sqrt3$ from $O,$ so a line through $P$ containing such a chord makes angle $60^\circ$ or $120^\circ$ with $OP.$ Solving along either line gives segment lengths $30$ and $48.$

For either region bordered by unequal segments, the two arc endpoints subtend $60^\circ$ at $O.$ Its area is the sector minus $\triangle OAB$ plus $\triangle PAB:$ $\begin{aligned}\frac{60}{360}\pi(42)^2&-\frac12(42)^2\sin60^\circ\\&+\frac12(30)(48)\sin60^\circ\\&=294\pi-81\sqrt3.\end{aligned}$ Hence $m+n+d=378.$

15.

Sea $p$ la probabilidad de que, al lanzar repetidamente una moneda equilibrada, aparezca una racha de $5$ caras antes que una racha de $2$ cruces. Dado que $p$ puede escribirse como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos, halla $m+n.$

Let $p$ be the probability that, in the process of repeatedly flipping a fair coin, one will encounter a run of $5$ heads before one encounters a run of $2$ tails. Given that $p$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m+n.$

Respuesta

Respuesta: 37

Conceptos:probabilidad recursiva simulación de procesos probabilidad básica

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Usa estados para $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ y $4$ caras consecutivas y otro estado para una sola cruz final

Use states for $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ and $4$ consecutive heads and one separate state for a single trailing tail

Pista grande:

Expresa la probabilidad de éxito de cada estado de racha de caras en términos del estado con una cruz final

Express every head-run state’s success probability in terms of the trailing-tail state

Solución:

Sea $q_i$ la probabilidad de éxito con $i$ caras consecutivas y sin una cruz final, y sea $t$ la probabilidad después de una cruz. Entonces $\begin{aligned}q_i&=\frac{q_{i+1}+t}{2}\quad(0\leq i<4),\\q_4&=\frac{1+t}{2},\\t&=\frac{q_1}{2}.\end{aligned}$ Al trabajar hacia atrás se obtiene $q_1=\frac{1+15t}{16}.$ Como $q_1=2t,$ resulta $t=\frac{1}{17}$ y $q_1=\frac{2}{17}.$ Por lo tanto, $p=q_0=\frac{q_1+t}{2}=\frac3{34},$ así que $m+n=3+34=37.$

Let $q_i$ be the success probability with $i$ consecutive heads and no trailing tail, and let $t$ be the probability after one tail. Then $\begin{aligned}q_i&=\frac{q_{i+1}+t}{2}\quad(0\leq i<4),\\q_4&=\frac{1+t}{2},\\t&=\frac{q_1}{2}.\end{aligned}$ Working backward gives $q_1=\frac{1+15t}{16}.$ Since $q_1=2t,$ we get $t=\frac{1}{17}$ and $q_1=\frac{2}{17}.$ Therefore $p=q_0=\frac{q_1+t}{2}=\frac3{34},$ so $m+n=3+34=37.$

Problemas del 1995 AIME

Respuesta: 255

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 25

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 67

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 224

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 51

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 589

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 27

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 85

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 616

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 215

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 40

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 5

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 400

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 378

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 37

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: