Question

El triángulo $ABC$ es isósceles, con $AB=AC$ y altura $AM=11.$ Supón que hay un punto $D$ sobre $\overline{AM}$ con $AD=10$ y $\angle BDC=3\angle BAC.$ Entonces el perímetro de $\triangle ABC$ puede escribirse en la forma $a+\sqrt b,$ donde $a$ y $b$ son enteros. Halla $a+b.$

Triangle $ABC$ is isosceles, with $AB=AC$ and altitude $AM=11.$ Suppose that there is a point $D$ on $\overline{AM}$ with $AD=10$ and $\angle BDC=3\angle BAC.$ Then the perimeter of $\triangle ABC$ may be written in the form $a+\sqrt b,$ where $a$ and $b$ are integers. Find $a+b.$

Respuesta

Respuesta: 616

Conceptos:identidad trigonométrica triángulo isósceles trigonometría

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Sea $BM=x$ y sea $\alpha$ la mitad del ángulo del vértice

Let $BM=x$ and let half the apex angle be $\alpha$

Pista grande:

Usa $\tan\alpha=\frac{x}{11},$ $DM=1,$ y la fórmula del ángulo triple para la tangente

Use $\tan\alpha=\frac{x}{11},$ $DM=1,$ and the triple-angle formula for tangent

Solución:

Sean $BM=x$ y $\alpha=\angle BAM,$ de modo que $\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Como $DM=AM-AD=1,$ la simetría da $\angle BDC=2\arctan x,$ mientras que $\angle BAC=2\alpha.$ Por tanto, $\arctan x=3\alpha.$ Sea $t=\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Entonces $\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=11t,$ por lo que $t^2=\frac{1}{4}$ y $x=\frac{11}{2}.$ Así, $BC=11$ y $AB=\frac{11\sqrt5}{2},$ con lo cual el perímetro es $11+11\sqrt5=11+\sqrt{605}.$ Por consiguiente, $a+b=11+605=616.$

Let $BM=x$ and $\alpha=\angle BAM,$ so $\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Because $DM=AM-AD=1,$ symmetry gives $\angle BDC=2\arctan x,$ while $\angle BAC=2\alpha.$ Hence $\arctan x=3\alpha.$ Put $t=\tan\alpha=\frac{x}{11}.$ Then $\frac{3t-t^3}{1-3t^2}=11t,$ so $t^2=\frac{1}{4}$ and $x=\frac{11}{2}.$ Thus $BC=11$ and $AB=\frac{11\sqrt5}{2},$ making the perimeter $11+11\sqrt5=11+\sqrt{605}.$ Therefore $a+b=11+605=616.$

1995 AIME Problema 9

Respuesta: 616

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años