Question

En $\triangle ABC,$ $AB=425,$ $BC=450,$ y $AC=510.$ Se toma un punto interior $P$ y se trazan por $P$ segmentos paralelos a los lados del triángulo. Si estos tres segmentos tienen la misma longitud $d,$ halla $d.$

In $\triangle ABC,$ $AB=425,$ $BC=450,$ and $AC=510.$ An interior point $P$ is drawn, and segments are drawn through $P$ parallel to the sides of the triangle. If these three segments have equal length $d,$ find $d.$

Respuesta

Respuesta: 306

Conceptos:manipulación algebraica razón de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Normaliza las distancias perpendiculares de $P$ a los tres lados

Normalize the perpendicular distances from $P$ to the three sides

Pista grande:

Un corte paralelo a un lado tiene longitud igual a la de ese lado multiplicada por uno menos la distancia normalizada correspondiente

A cross-section parallel to a side has length equal to that side times one minus the corresponding normalized distance

Solución:

Escribe $a=BC=450,$ $b=CA=510,$ y $c=AB=425.$ Sean $x,$ $y$ y $z$ las distancias de $P$ a $BC,$ $CA,$ y $AB,$ respectivamente, cada una dividida por la altura correspondiente. La descomposición del área da $x+y+z=1.$

Por semejanza de triángulos, el segmento que pasa por $P$ y es paralelo a $BC$ tiene longitud $a(1-x),$ y análogamente las otras dos longitudes son $b(1-y)$ y $c(1-z).$ Como las tres son iguales a $d,$ $\begin{aligned} x&=1-\frac da,\\ y&=1-\frac db,\\ z&=1-\frac dc. \end{aligned}$ Su suma es $1,$ así que $d=\frac{2abc}{ab+bc+ca}.$ Al sustituir las tres longitudes de lado se obtiene $\begin{aligned} d&=\frac{195075000}{637500}\\ &=306. \end{aligned}$

Write $a=BC=450,$ $b=CA=510,$ and $c=AB=425.$ Let $x,$ $y,$ and $z$ be the distances from $P$ to $BC,$ $CA,$ and $AB,$ respectively, each divided by the corresponding altitude. Area decomposition gives $x+y+z=1.$

By similar triangles, the segment through $P$ parallel to $BC$ has length $a(1-x),$ and similarly the other two lengths are $b(1-y)$ and $c(1-z).$ Since all three equal $d,$ $\begin{aligned} x&=1-\frac da,\\ y&=1-\frac db,\\ z&=1-\frac dc. \end{aligned}$ Their sum is $1,$ so $d=\frac{2abc}{ab+bc+ca}.$ Substituting the three side lengths gives $\begin{aligned} d&=\frac{195075000}{637500}\\ &=306. \end{aligned}$

1986 AIME Problema 9

Respuesta: 306

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años