Question

Halla el menor entero positivo cuyo cubo termina en $888.$

Find the smallest positive integer whose cube ends in $888.$

Respuesta

Respuesta: 192

Conceptos:aritmética modular dígito de las unidades cuadrática

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

La cifra de las unidades obliga a que el número tenga la forma $10a+2$

The units digit forces the number to have the form $10a+2$

Pista grande:

Reduce primero $(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}$ módulo $125$

Reduce $(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}$ first modulo $125$

Solución:

Escribe el número como $10a+2.$ Al desarrollar la congruencia requerida módulo $125$ y dividir entre $5$ se obtiene $20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}.$ Al reducir primero módulo $5$ se obtiene $a\equiv4\pmod5;$ al sustituir $a=4+5b$ se obtiene después $b\equiv3\pmod5.$ Así, $a\equiv19\pmod{25},$ y el menor candidato es $10(19)+2=192.$ Es par, así que su cubo también es $0\pmod8,$ y en efecto $192^3=7{,}077{,}888.$

Write the number as $10a+2.$ Expanding the required congruence modulo $125$ and dividing by $5$ gives $20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}.$ Reducing first modulo $5$ gives $a\equiv4\pmod5;$ substituting $a=4+5b$ then gives $b\equiv3\pmod5.$ Thus $a\equiv19\pmod{25},$ and the smallest candidate is $10(19)+2=192.$ It is even, so its cube is also $0\pmod8,$ and indeed $192^3=7{,}077{,}888.$

1988 AIME Problema 9

Respuesta: 192

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años