Question

Halla el valor mínimo de $\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}$ para $0<x<\pi.$

Find the minimum value of $\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}$ for $0<x<\pi.$

Respuesta

Respuesta: 12

Conceptos:Desigualdad MA-MG trigonometría optimización

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Sea $t=x\sin x,$ que es positivo en el intervalo dado

Set $t=x\sin x,$ which is positive on the given interval

Pista grande:

Aplica AM-GM a $9t+\frac4t$ y comprueba que se puede alcanzar la igualdad

Apply AM-GM to $9t+\frac4t$ and verify that equality is attainable

Solución:

Sea $t=x\sin x>0.$ La expresión se convierte en $9t+\frac4t\geq2\sqrt{9t\cdot\frac4t}=12,$ con igualdad cuando $9t=\frac{4}{t},$ o $t=\frac{2}{3}.$ La función continua $x\sin x$ tiende a $0$ cuando $x$ tiende a $0$ , y vale $\frac{\pi}{2}>\frac{2}{3}$ en $x=\frac{\pi}{2}.$ Por tanto, toma el valor $\frac{2}{3}$ en algún punto de $(0,\frac{\pi}{2}),$ de modo que se alcanza la cota inferior $12$ .

Let $t=x\sin x>0.$ The expression becomes $9t+\frac4t\geq2\sqrt{9t\cdot\frac4t}=12,$ with equality when $9t=\frac{4}{t},$ or $t=\frac{2}{3}.$ The continuous function $x\sin x$ tends to $0$ as $x$ tends to $0$ and equals $\frac{\pi}{2}>\frac{2}{3}$ at $x=\frac{\pi}{2}.$ Thus it takes the value $\frac{2}{3}$ somewhere in $(0,\frac{\pi}{2}),$ so the lower bound $12$ is attained.

1983 AIME Problema 9

Respuesta: 12

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años