Question

Un estudiante aburrido recorre un pasillo que contiene una fila de casilleros cerrados, numerados del $1$ al $1024.$ Abre el casillero $1$ y, a partir de entonces, alterna entre saltarse y abrir cada casillero cerrado. Al llegar al final del pasillo, se da la vuelta y regresa. Abre el primer casillero cerrado que encuentra y luego vuelve a alternar entre saltarse y abrir cada casillero cerrado. Continúa recorriendo el pasillo de un lado a otro de esta manera hasta que todos los casilleros están abiertos. ¿Qué número tiene el último casillero que abre?

A bored student walks down a hall that contains a row of closed lockers, numbered $1$ to $1024.$ He opens locker $1,$ and then alternates between skipping and opening each closed locker thereafter. When he reaches the end of the hall, the student turns around and starts back. He opens the first closed locker he encounters, and then alternates between skipping and opening each closed locker thereafter. The student continues wandering back and forth in this manner until every locker is open. What is the number of the last locker he opens?

Respuesta

Respuesta: 342

Conceptos:simulación de procesos reconocimiento de patrones sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Después de cada recorrido, los casilleros aún cerrados forman una progresión aritmética

After each trip, the still-closed lockers form an arithmetic sequence

Pista grande:

Anota solo el primer término, la diferencia común y el número de términos después de cada recorrido

Record only the first term, common difference, and number of terms after each trip

Solución:

En cada recorrido, el estudiante abre el primero, el tercero, el quinto, y así sucesivamente entre los casilleros restantes en la dirección en que avanza. Al seguir la progresión aritmética de casilleros cerrados después de cada recorrido se obtiene:

recorrido	primero	diferencia	cantidad
$1$	$2$	$2$	$512$
$2$	$2$	$4$	$256$
$3$	$6$	$8$	$128$
$4$	$6$	$16$	$64$
$5$	$22$	$32$	$32$
$6$	$22$	$64$	$16$
$7$	$86$	$128$	$8$
$8$	$86$	$256$	$4$
$9$	$342$	$512$	$2$

Por lo tanto, solo los casilleros $342$ y $854$ permanecen cerrados después del noveno recorrido. En el décimo, comenzando desde la derecha, se abre el casillero $854$ y queda el $342.$ En consecuencia, el último casillero abierto es el $342.$

On every trip the student opens the first, third, fifth, and so on among the remaining lockers in his direction of travel. Tracking the closed arithmetic sequence after each trip gives:

trip	first	difference	count
$1$	$2$	$2$	$512$
$2$	$2$	$4$	$256$
$3$	$6$	$8$	$128$
$4$	$6$	$16$	$64$
$5$	$22$	$32$	$32$
$6$	$22$	$64$	$16$
$7$	$86$	$128$	$8$
$8$	$86$	$256$	$4$
$9$	$342$	$512$	$2$

Thus only lockers $342$ and $854$ remain after the ninth trip. On the tenth trip, starting from the right, locker $854$ is opened and $342$ remains. Therefore the last locker opened is $342.$

1996 AIME Problema 9

Respuesta: 342

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años