Question

Halla el número de polinomios cúbicos

p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,

donde

a,

b,

y

c

son enteros en

\{-20, -19, -18, \ldots, 18, 19, 20\},

tales que existe un único entero

m \ne 2

con

p(m) = p(2).

Find the number of cubic polynomials

p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,

where

a,

b,

and

c

are integers in

\{-20, -19, -18, \ldots, 18, 19, 20\},

such that there is a unique integer

m \ne 2

with

p(m) = p(2).

Respuesta

Respuesta: 738

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta análisis por casos

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

c

es irrelevante:

p(m)-p(2)=(m-2)q(m),

donde los tres términos del cuadrático

q(m)

son

m^2,

(a+2)m,

y

2a+b+4.

c

is irrelevant:

p(m)-p(2)=(m-2)q(m),

where the three terms of the quadratic

q(m)

are

m^2,

(a+2)m,

and

2a+b+4.

Pista grande:

Un polinomio cuadrático mónico con coeficientes enteros que tiene una raíz entera tiene dos, así que su conjunto de raíces debe ser

\{2, k\}

o una raíz doble

k,

con

k \ne 2.

A monic integer quadratic with one integer root has two, so its root set must be

\{2, k\}

or a double root

k,

with

k \ne 2.

Solución:

Como

p(m) - p(2)

no involucra a

c,

cada par válido

(a, b)

aporta

41

polinomios. Factorizando,

\begin{aligned} p(x)-p(2) &= (x-2)q(x), \\ q(x) &= x^2+(a+2)x \\ &\quad {}+(2a+b+4), \end{aligned}

así que necesitamos que el factor cuadrático

q(x)

tenga exactamente una raíz entera distinta de

2.

Si

q

tiene alguna raíz entera, su otra raíz también es entera (su suma

-(a+2)

es un entero); si

q

no tiene raíz entera, entonces no existe ningún

m

en absoluto. Así que o bien

q

tiene raíces

2

y

k

con

k \ne 2,

o una raíz doble

k \ne 2.

Raíces

2

y

k:

las fórmulas de Vieta dan

a = -4 - k

y

b = 4k + 4.

La restricción

-20 \le b \le 20

obliga a

-6 \le k \le 4

(y entonces

a

queda automáticamente dentro del rango), así que excluir

k = 2

deja

10

pares. Raíz doble

k:

aquí

a = -2k - 2

y

b = k^2 + 4k,

y

b \le 20

obliga a

-6 \le k \le 2,

todos válidos para

a,

así que excluir

k = 2

deja

8

pares.

Eso son

18

pares

(a, b),

por lo tanto

18 \cdot 41 = 738

polinomios.

Since

p(m) - p(2)

does not involve

c,

each valid pair

(a, b)

contributes

41

polynomials. Factoring,

\begin{aligned} p(x)-p(2) &= (x-2)q(x), \\ q(x) &= x^2+(a+2)x \\ &\quad {}+(2a+b+4), \end{aligned}

so we need the quadratic factor

q(x)

to have exactly one integer root different from

2.

If

q

has any integer root, its other root is also an integer (their sum

-(a+2)

is an integer); if

q

has no integer root, then no

m

exists at all. So either

q

has roots

2

and

k

with

k \ne 2,

or a double root

k \ne 2.

Roots

2

and

k:

Vieta’s formulas give

a = -4 - k

and

b = 4k + 4.

The constraint

-20 \le b \le 20

forces

-6 \le k \le 4

(and then

a

is automatically in range), so excluding

k = 2

leaves

10

pairs. Double root

k:

here

a = -2k - 2

and

b = k^2 + 4k,

and

b \le 20

forces

-6 \le k \le 2,

all valid for

a,

so excluding

k = 2

leaves

8

pairs.

That is

18

pairs

(a, b),

hence

18 \cdot 41 = 738

polynomials.

2023 AIME I Problema 9

Respuesta: 738

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años