Question

Halla el número de polinomios cúbicos $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros en $\{-20, -19, -18, \ldots, 18, 19, 20\},$ tales que existe un único entero $m \ne 2$ con $p(m) = p(2).$

Find the number of cubic polynomials $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers in $\{-20, -19, -18, \ldots, 18, 19, 20\},$ such that there is a unique integer $m \ne 2$ with $p(m) = p(2).$

Respuesta

Solución:

Como $p(m) - p(2)$ no involucra a $c,$ cada par válido $(a, b)$ aporta $41$ polinomios. Factorizando, $\begin{aligned} p(x) - p(2) &= (x - 2) \\ &\quad {}\cdot \tiny \bigl(x^2 + (a+2)x + (2a + b + 4)\bigr), \end{aligned}$ así que necesitamos que el factor cuadrático $q(x)$ tenga exactamente una raíz entera distinta de $2.$ Si $q$ tiene alguna raíz entera, su otra raíz también es entera (su suma $-(a+2)$ es un entero); si $q$ no tiene raíz entera, entonces no existe ningún $m$ en absoluto. Así que o bien $q$ tiene raíces $2$ y $k$ con $k \ne 2,$ o una raíz doble $k \ne 2.$

Raíces $2$ y $k:$ las fórmulas de Vieta dan $a = -4 - k$ y $b = 4k + 4.$ La restricción $-20 \le b \le 20$ obliga a $-6 \le k \le 4$ (y entonces $a$ queda automáticamente dentro del rango), así que excluir $k = 2$ deja $10$ pares. Raíz doble $k:$ aquí $a = -2k - 2$ y $b = k^2 + 4k,$ y $b \le 20$ obliga a $-6 \le k \le 2,$ todos válidos para $a,$ así que excluir $k = 2$ deja $8$ pares.

Eso son $18$ pares $(a, b),$ por lo tanto $18 \cdot 41 = 738$ polinomios.

Since $p(m) - p(2)$ does not involve $c,$ each valid pair $(a, b)$ contributes $41$ polynomials. Factoring, $\begin{aligned} p(x) - p(2) &= (x - 2) \\ &\quad {}\cdot \tiny \bigl(x^2 + (a+2)x + (2a + b + 4)\bigr), \end{aligned}$ so we need the quadratic factor $q(x)$ to have exactly one integer root different from $2.$ If $q$ has any integer root, its other root is also an integer (their sum $-(a+2)$ is an integer); if $q$ has no integer root, then no $m$ exists at all. So either $q$ has roots $2$ and $k$ with $k \ne 2,$ or a double root $k \ne 2.$

Roots $2$ and $k:$ Vieta's formulas give $a = -4 - k$ and $b = 4k + 4.$ The constraint $-20 \le b \le 20$ forces $-6 \le k \le 4$ (and then $a$ is automatically in range), so excluding $k = 2$ leaves $10$ pairs. Double root $k:$ here $a = -2k - 2$ and $b = k^2 + 4k,$ and $b \le 20$ forces $-6 \le k \le 2,$ all valid for $a,$ so excluding $k = 2$ leaves $8$ pairs.

That is $18$ pairs $(a, b),$ hence $18 \cdot 41 = 738$ polynomials.

2023 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años