Question

Sea $(a, b, c)$ una solución real del sistema de ecuaciones $\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}$ El mayor valor posible de $a^3 + b^3 + c^3$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halle $m + n.$

Let $(a, b, c)$ be a real solution of the system of equations $\begin{aligned} x^3 - xyz &= 2, \\ y^3 - xyz &= 6, \\ z^3 - xyz &= 20. \end{aligned}$ The greatest possible value of $a^3 + b^3 + c^3$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sumar $xyz$ a cada ecuación da $x^3 = 2 + xyz,$ $y^3 = 6 + xyz,$ y $z^3 = 20 + xyz.$ Sea $P = xyz.$ Multiplicar las tres ecuaciones produce $\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}$ así que $28P^2 + 172P + 240 = 0,$ es decir, $7P^2 + 43P + 60 = 0,$ cuyas raíces son $P = -\frac{15}{7}$ y $P = -4.$ Cada raíz es alcanzable: las raíces cúbicas de $2 + P,$ $6 + P,$ $20 + P$ entonces sí tienen producto $P.$

Sumando las ecuaciones originales, $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,$ que se maximiza con la raíz mayor $P = -\frac{15}{7}:$ $a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.$ Por lo tanto, $m + n = 151 + 7 = 158.$

Adding $xyz$ to each equation gives $x^3 = 2 + xyz,$ $y^3 = 6 + xyz,$ and $z^3 = 20 + xyz.$ Let $P = xyz.$ Multiplying the three equations yields $\begin{aligned} P^3 &= (2 + P)(6 + P)(20 + P) \\ &= P^3 + 28P^2 + 172P + 240, \end{aligned}$ so $28P^2 + 172P + 240 = 0,$ i.e. $7P^2 + 43P + 60 = 0,$ whose roots are $P = -\frac{15}{7}$ and $P = -4.$ Each root is achievable: the cube roots of $2 + P,$ $6 + P,$ $20 + P$ then really do have product $P.$

Adding the original equations, $x^3 + y^3 + z^3 = 28 + 3P,$ which is maximized by the larger root $P = -\frac{15}{7}:$ $a^3 + b^3 + c^3 = 28 - \frac{45}{7} = \frac{151}{7}.$ Thus $m + n = 151 + 7 = 158.$

2010 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años