Question

La parábola de ecuación $y = x^2 - 4$ se rota $60^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen. El único punto en el cuarto cuadrante donde la parábola original y su imagen se intersecan tiene coordenada $y$ igual a $\frac{a - \sqrt{b}}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $a$ y $c$ son primos entre sí. Halle $a + b + c.$

The parabola with equation $y = x^2 - 4$ is rotated $60^\circ$ counterclockwise around the origin. The unique point in the fourth quadrant where the original parabola and its image intersect has $y$ -coordinate $\frac{a - \sqrt{b}}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $a$ and $c$ are relatively prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Solución:

Un punto $P$ está en la parábola imagen exactamente cuando su rotación en $-60^\circ,$ a saber $Q = \small\left(\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}y,\ -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2}\right),$ está en la parábola original. Así que necesitamos $P$ y $Q$ ambos sobre $y = x^2 - 4.$ La parábola es simétrica bajo $x \mapsto -x,$ así que buscamos $P = (x, y)$ cuya imagen rotada sea el punto reflejado $Q = (-x, y).$

Igualar las coordenadas $y$ da $-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2} = y,$ es decir $y = -\sqrt{3}\,x,$ y entonces la coordenada $x$ se cumple automáticamente: $\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}x) = -x.$ Sustituir $y = -\sqrt{3}\,x$ en $y = x^2 - 4$ da $x^2 + \sqrt{3}\,x - 4 = 0,$ cuya raíz positiva es $x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{19}}{2}.$ Entonces $y = -\sqrt{3}\,x = \frac{3 - \sqrt{57}}{2} \lt 0,$ así que este punto está en el cuarto cuadrante, sobre ambas curvas.

El problema garantiza que la intersección en el cuarto cuadrante es única, así que su coordenada $y$ es $\frac{3 - \sqrt{57}}{2},$ lo que da $a + b + c = 3 + 57 + 2 = 62.$

A point $P$ lies on the image parabola exactly when its rotation by $-60^\circ,$ namely $Q = \small\left(\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}y,\ -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2}\right),$ lies on the original parabola. So we need $P$ and $Q$ both on $y = x^2 - 4.$ The parabola is symmetric in $x \mapsto -x,$ so we look for $P = (x, y)$ whose rotated image is the mirror point $Q = (-x, y).$

Matching $y$ -coordinates gives $-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2} = y,$ i.e. $y = -\sqrt{3}\,x,$ and then the $x$ -coordinate works automatically: $\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}x) = -x.$ Substituting $y = -\sqrt{3}\,x$ into $y = x^2 - 4$ gives $x^2 + \sqrt{3}\,x - 4 = 0,$ whose positive root is $x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{19}}{2}.$ Then $y = -\sqrt{3}\,x = \frac{3 - \sqrt{57}}{2} \lt 0,$ so this point is in the fourth quadrant, on both curves.

The problem guarantees the fourth-quadrant intersection is unique, so its $y$ -coordinate is $\frac{3 - \sqrt{57}}{2},$ giving $a + b + c = 3 + 57 + 2 = 62.$

2025 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años