Question

La parábola de ecuación

y = x^2 - 4

se rota

60^\circ

en sentido antihorario alrededor del origen. El único punto en el cuarto cuadrante donde la parábola original y su imagen se intersecan tiene coordenada

y

igual a

\frac{a - \sqrt{b}}{c},

donde

a,

b,

y

c

son enteros positivos, y

a

y

c

son primos entre sí. Halle

a + b + c.

The parabola with equation

y = x^2 - 4

is rotated

60^\circ

counterclockwise around the origin. The unique point in the fourth quadrant where the original parabola and its image intersect has

y

-coordinate

\frac{a - \sqrt{b}}{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers, and

a

and

c

are relatively prime. Find

a + b + c.

Respuesta

Respuesta: 62

Conceptos:parábola transformación simetría

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

P

está en ambas curvas exactamente cuando

P

y su rotación en

-60^\circ

están ambos sobre la parábola original, a igual distancia del origen

P

lies on both curves exactly when

P

and its rotation by

-60^\circ

both lie on the original parabola, at equal distance from the origin

Pista grande:

Intente que la imagen rotada sea el punto reflejado

(-x, y):

eso obliga a

y = -\sqrt{3}\,x,

que puede sustituir en la parábola

Try making the rotated image the mirror point

(-x, y):

that forces

y = -\sqrt{3}\,x,

which you can substitute into the parabola

Solución:

Un punto

P

está en la parábola imagen exactamente cuando su rotación en

-60^\circ,

a saber

Q = \left(\frac{x + \sqrt{3}y}{2},\ \frac{-\sqrt{3}x + y}{2}\right),

está en la parábola original. Así que necesitamos

P

y

Q

ambos sobre

y = x^2 - 4.

La parábola es simétrica bajo

x \mapsto -x,

así que buscamos

P = (x, y)

cuya imagen rotada sea el punto reflejado

Q = (-x, y).

Igualar las coordenadas

y

da

-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2} = y,

es decir

y = -\sqrt{3}\,x,

y entonces la coordenada

x

se cumple automáticamente:

\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}x) = -x.

Sustituir

y = -\sqrt{3}\,x

en

y = x^2 - 4

da

x^2 + \sqrt{3}\,x - 4 = 0,

cuya raíz positiva es

x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{19}}{2}.

Entonces

y = -\sqrt{3}\,x = \frac{3 - \sqrt{57}}{2} \lt 0,

así que este punto está en el cuarto cuadrante, sobre ambas curvas.

El problema garantiza que la intersección en el cuarto cuadrante es única, así que su coordenada

y

es

\frac{3 - \sqrt{57}}{2},

lo que da

a + b + c = 3 + 57 + 2 = 62.

A point

P

lies on the image parabola exactly when its rotation by

-60^\circ,

namely

Q = \left(\frac{x + \sqrt{3}y}{2},\ \frac{-\sqrt{3}x + y}{2}\right),

lies on the original parabola. So we need

P

and

Q

both on

y = x^2 - 4.

The parabola is symmetric in

x \mapsto -x,

so we look for

P = (x, y)

whose rotated image is the mirror point

Q = (-x, y).

Matching

y

-coordinates gives

-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{y}{2} = y,

i.e.

y = -\sqrt{3}\,x,

and then the

x

-coordinate works automatically:

\frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}(-\sqrt{3}x) = -x.

Substituting

y = -\sqrt{3}\,x

into

y = x^2 - 4

gives

x^2 + \sqrt{3}\,x - 4 = 0,

whose positive root is

x = \frac{-\sqrt{3} + \sqrt{19}}{2}.

Then

y = -\sqrt{3}\,x = \frac{3 - \sqrt{57}}{2} \lt 0,

so this point is in the fourth quadrant, on both curves.

The problem guarantees the fourth-quadrant intersection is unique, so its

y

-coordinate is

\frac{3 - \sqrt{57}}{2},

giving

a + b + c = 3 + 57 + 2 = 62.

2025 AIME I Problema 9

Respuesta: 62

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años