Respuesta: 581

Pista pequeña:

Cuenta los subconjuntos distintos del conjunto completo localizando una silla vacía seguida, en sentido horario, por tres sillas del subconjunto

Pista grande:

Cada patrón formado por una silla no elegida seguida de tres elegidas deja $2^6$ opciones para las sillas restantes; resta los subconjuntos contados dos veces que contienen dos rachas separadas de tres o más

Solución:

El conjunto completo de $10$ sillas cumple; cuenta los demás localizando el inicio, en sentido horario, de cada racha máxima de al menos tres sillas elegidas adyacentes. Cualquier subconjunto de este tipo contiene un bloque de cuatro sillas consecutivas formado por una no elegida seguida de tres elegidas. Hay $10$ posiciones para este bloque, y las $6$ sillas restantes son libres, lo que da $10 \cdot 2^6 = 640.$

Esto cuenta una vez por cada racha máxima de longitud al menos $3.$ Dos rachas de este tipo requieren al menos $3 + 3$ sillas elegidas más dos huecos, así que tres rachas son imposibles, y los subconjuntos con exactamente dos rachas se cuentan dos veces. Para tener dos rachas, coloca dos bloques disjuntos, cada uno formado por una silla no elegida seguida de tres elegidas: $\frac{10 \cdot 3}{2} = 15$ maneras (el segundo bloque cabe en $3$ posiciones entre las $6$ sillas restantes), con las últimas $2$ sillas libres, para $15 \cdot 2^2 = 60$ subconjuntos.

El total es $1 + 640 - 60 = 581.$