Question

Harold, Tanya y Ulysses pintan una cerca de estacas muy larga.

• Harold empieza con la primera estaca y pinta cada $h$ -ésima estaca;

• Tanya empieza con la segunda estaca y pinta cada $t$ -ésima estaca; y

• Ulysses empieza con la tercera estaca y pinta cada $u$ -ésima estaca.

Llame al entero positivo $100h + 10t + u$ pintable cuando la terna $(h, t, u)$ de enteros positivos hace que cada estaca sea pintada exactamente una vez. Halle la suma de todos los enteros pintables.

Harold, Tanya, and Ulysses paint a very long picket fence.

• Harold starts with the first picket and paints every $h$ th picket;

• Tanya starts with the second picket and paints every $t$ th picket; and

• Ulysses starts with the third picket and paints every $u$ th picket.

Call the positive integer $100h + 10t + u$ paintable when the triple $(h, t, u)$ of positive integers results in every picket being painted exactly once. Find the sum of all the paintable integers.

Respuesta

Solución:

Las tres progresiones $\{1, 1 + h, \ldots\},$ $\{2, 2 + t, \ldots\},$ $\{3, 3 + u, \ldots\}$ deben particionar los enteros positivos. Si $h = 2,$ Harold pinta la estaca $3,$ que Ulysses también pinta, así que $h \ge 3.$ Si $h \ge 5,$ considere la estaca $4:$ la siguiente estaca de Harold es $1 + h \ge 6,$ y Ulysses no puede pintarla (eso requeriría $u = 1,$ repintando todo desde $3$ en adelante), así que debe hacerlo Tanya, forzando $t = 2.$ Entonces la estaca $5$ queda sin pintar a menos que $u = 2,$ pero entonces Tanya y Ulysses juntos cubren cada estaca desde $2$ en adelante, y la estaca $1 + h$ de Harold se pinta dos veces. Así que $h = 3$ o $h = 4.$

Si $h = 3,$ Harold pinta $1, 4, 7, \ldots.$ Ulysses no puede pintar la estaca $5$ (entonces $u = 2$ y repintaría $7$ ), así que lo hace Tanya: $t = 3,$ cubriendo $2, 5, 8, \ldots.$ Lo que queda es exactamente $3, 6, 9, \ldots,$ así que $u = 3,$ dando $333.$ Si $h = 4,$ Harold pinta $1, 5, 9, \ldots;$ la estaca $4$ fuerza de nuevo $t = 2,$ y las estacas restantes $3, 7, 11, \ldots$ fuerzan $u = 4,$ dando $424.$

La suma de los enteros pintables es $333 + 424 = 757.$

The three progressions $\{1, 1 + h, \ldots\},$ $\{2, 2 + t, \ldots\},$ $\{3, 3 + u, \ldots\}$ must partition the positive integers. If $h = 2,$ Harold paints picket $3,$ which Ulysses also paints, so $h \ge 3.$ If $h \ge 5,$ consider picket $4:$ Harold's next picket is $1 + h \ge 6,$ and Ulysses cannot paint it (that would need $u = 1,$ repainting everything from $3$ on), so Tanya must, forcing $t = 2.$ Then picket $5$ is unpainted unless $u = 2,$ but then Tanya and Ulysses together cover every picket from $2$ on, and Harold's picket $1 + h$ is painted twice. So $h = 3$ or $h = 4.$

If $h = 3,$ Harold paints $1, 4, 7, \ldots.$ Ulysses cannot paint picket $5$ (then $u = 2$ and he would repaint $7$ ), so Tanya does: $t = 3,$ covering $2, 5, 8, \ldots.$ What remains is exactly $3, 6, 9, \ldots,$ so $u = 3,$ giving $333.$ If $h = 4,$ Harold paints $1, 5, 9, \ldots;$ picket $4$ again forces $t = 2,$ and the leftover pickets $3, 7, 11, \ldots$ force $u = 4,$ giving $424.$

The sum of the paintable integers is $333 + 424 = 757.$

2002 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años