Question

En el triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo recto en $C,$ $CA = 30$ y $CB = 16.$ Sus catetos $\overline{CA}$ y $\overline{CB}$ se prolongan más allá de $A$ y $B.$ Los puntos $O_1$ y $O_2$ están en el exterior del triángulo y son los centros de dos círculos con radios iguales. El círculo con centro $O_1$ es tangente a la hipotenusa y a la prolongación del cateto $CA,$ el círculo con centro $O_2$ es tangente a la hipotenusa y a la prolongación del cateto $CB,$ y los círculos son tangentes exteriores entre sí. La longitud del radio de cualquiera de los círculos puede expresarse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

In right triangle $ABC$ with right angle $C,$ $CA = 30$ and $CB = 16.$ Its legs $\overline{CA}$ and $\overline{CB}$ are extended beyond $A$ and $B.$ Points $O_1$ and $O_2$ lie in the exterior of the triangle and are the centers of two circles with equal radii. The circle with center $O_1$ is tangent to the hypotenuse and to the extension of leg $CA,$ the circle with center $O_2$ is tangent to the hypotenuse and to the extension of leg $CB,$ and the circles are externally tangent to each other. The length of the radius of either circle can be expressed as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

La hipotenusa es $AB = \sqrt{30^2 + 16^2} = 34.$ Sean $T_1$ y $T_2$ los puntos donde los círculos tocan a $AB.$ Ambos centros están a distancia $r$ de la recta $AB$ en el lado opuesto al triángulo, así que $\overline{O_1 O_2}$ es paralelo a $AB$ y $T_1 T_2 = O_1 O_2 = 2r,$ ya que los círculos son tangentes exteriores. Por tanto $AB = AT_1 + 2r + T_2 B.$

El círculo $O_1$ está inscrito en el ángulo en $A$ entre el rayo $AB$ y la prolongación de $\overline{CA}$ más allá de $A,$ que mide $180^\circ - \angle A.$ Por tanto, su longitud de tangente desde $A$ es $AT_1 = r\big/\tan\left(90^\circ - \tfrac{A}{2}\right)$ $= r \tan\frac{A}{2}.$ Con $\sin A = \frac{16}{34}$ y $\cos A = \frac{30}{34},$ la fórmula del ángulo medio da $\tan\frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4},$ y de forma similar $\tan\frac{B}{2} = \frac{30}{34 + 16} = \frac{3}{5}.$

Así que $34 = \frac{r}{4} + 2r + \frac{3r}{5} = \frac{57r}{20},$ lo que da $r = \frac{680}{57}.$ Como $680 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$ y $57 = 3 \cdot 19$ no comparten ningún factor común, $p + q = 680 + 57 = 737.$

The hypotenuse is $AB = \sqrt{30^2 + 16^2} = 34.$ Let $T_1$ and $T_2$ be the points where the circles touch $AB.$ Both centers lie at distance $r$ from line $AB$ on the side away from the triangle, so $\overline{O_1 O_2}$ is parallel to $AB$ and $T_1 T_2 = O_1 O_2 = 2r,$ since the circles are externally tangent. Thus $AB = AT_1 + 2r + T_2 B.$

Circle $O_1$ is inscribed in the angle at $A$ between ray $AB$ and the extension of $\overline{CA}$ beyond $A,$ which measures $180^\circ - \angle A.$ Its tangent length from $A$ is therefore $AT_1 = r\big/\tan\left(90^\circ - \tfrac{A}{2}\right)$ $= r \tan\frac{A}{2}.$ With $\sin A = \frac{16}{34}$ and $\cos A = \frac{30}{34},$ the half-angle formula gives $\tan\frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4},$ and similarly $\tan\frac{B}{2} = \frac{30}{34 + 16} = \frac{3}{5}.$

So $34 = \frac{r}{4} + 2r + \frac{3r}{5} = \frac{57r}{20},$ giving $r = \frac{680}{57}.$ Since $680 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$ and $57 = 3 \cdot 19$ share no common factor, $p + q = 680 + 57 = 737.$

2007 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años