Soluciones del 2007 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuántos cuadrados perfectos positivos menores que $10^6$ son múltiplos de $24$ ?

How many positive perfect squares less than $10^6$ are multiples of $24?$

Respuesta

Conceptos:cuadrado perfecto factorización en primos múltiplo

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Como $24 = 2^3 \cdot 3,$ un cuadrado $N^2$ es múltiplo de $24$ exactamente cuando $N$ es múltiplo de $12:$ el factor $2^3$ obliga a que $N$ contenga $2^2,$ el factor $3$ obliga a que $N$ contenga $3,$ y recíprocamente $(12m)^2 = 144m^2$ siempre es múltiplo de $24.$ Además $N^2 \lt 10^6$ exactamente cuando $N \lt 1000.$

Los múltiplos de $12$ menores que $1000$ son $12, 24, \ldots, 996,$ y hay $\frac{996}{12} = 83$ de ellos.

Since $24 = 2^3 \cdot 3,$ a square $N^2$ is a multiple of $24$ exactly when $N$ is a multiple of $12:$ the factor $2^3$ forces $N$ to contain $2^2,$ the factor $3$ forces $N$ to contain $3,$ and conversely $(12m)^2 = 144m^2$ is always a multiple of $24.$ Also $N^2 \lt 10^6$ exactly when $N \lt 1000.$

The multiples of $12$ less than $1000$ are $12, 24, \ldots, 996,$ and there are $\frac{996}{12} = 83$ of them.

2.

Una cinta transportadora de $100$ pies de largo se mueve a una velocidad constante de $6$ pies por segundo. Al se sube al inicio de la cinta y se queda parado. Bob se sube al inicio de la cinta dos segundos después y avanza caminando por la cinta a una velocidad constante de $4$ pies por segundo. Dos segundos más tarde, Cy llega al inicio de la cinta y camina a paso vivo junto a la cinta a una velocidad constante de $8$ pies por segundo. En cierto momento, una de estas tres personas está exactamente a la mitad de camino entre las otras dos. En ese momento, halla la distancia en pies entre el inicio de la cinta y la persona del medio.

A $100$ foot long moving walkway moves at a constant rate of $6$ feet per second. Al steps onto the start of the walkway and stands. Bob steps onto the start of the walkway two seconds later and strolls forward along the walkway at a constant rate of $4$ feet per second. Two seconds after that, Cy reaches the start of the walkway and walks briskly forward beside the walkway at a constant rate of $8$ feet per second. At a certain time, one of these three persons is exactly halfway between the other two. At that time, find the distance in feet between the start of the walkway and the middle person.

Respuesta

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal análisis por casos

Nivel de dificultad: 2020

Solución:

Mide el tiempo $t$ en segundos desde que Al se sube. Al se queda parado sobre la cinta, así que está en $6t;$ Bob se mueve a $6 + 4 = 10$ pies por segundo, así que está en $10(t - 2);$ Cy camina junto a la cinta a $8$ pies por segundo, así que está en $8(t - 4).$ Los tres se están moviendo una vez que $t \ge 4.$

El doble de la posición de la persona del medio debe ser igual a la suma de las otras dos. Si Bob estuviera en el medio, $20(t-2) = 6t + 8(t-4)$ da $t = \frac{4}{3} \lt 4,$ imposible. Si Cy estuviera en el medio, $16(t-4) = 6t + 10(t-2)$ se reduce a $-64 = -20,$ sin solución. Si Al está en el medio, $12t = 10(t-2)$ $+ 8(t-4) = 18t - 52,$ así que $t = \frac{26}{3}.$

En ese momento Al está en $6 \cdot \frac{26}{3} = 52$ pies, mientras que Bob y Cy están en $\frac{200}{3}$ y $\frac{112}{3},$ cuyo promedio es en efecto $52.$ La persona del medio está a $52$ pies del inicio.

Measure time $t$ in seconds from when Al steps on. Al stands on the walkway, so he is at $6t;$ Bob moves at $6 + 4 = 10$ feet per second, so he is at $10(t - 2);$ Cy walks beside the walkway at $8$ feet per second, so he is at $8(t - 4).$ All three are moving once $t \ge 4.$

The middle person's position doubled must equal the sum of the other two. If Bob were in the middle, $20(t-2) = 6t + 8(t-4)$ gives $t = \frac{4}{3} \lt 4,$ impossible. If Cy were in the middle, $16(t-4) = 6t + 10(t-2)$ reduces to $-64 = -20,$ with no solution. If Al is in the middle, $12t = 10(t-2)$ $+ 8(t-4) = 18t - 52,$ so $t = \frac{26}{3}.$

At that moment Al is at $6 \cdot \frac{26}{3} = 52$ feet, while Bob and Cy are at $\frac{200}{3}$ and $\frac{112}{3},$ whose average is indeed $52.$ The middle person is $52$ feet from the start.

3.

El número complejo $z$ es igual a $9 + bi,$ donde $b$ es un número real positivo e $i^2 = -1.$ Dado que las partes imaginarias de $z^2$ y $z^3$ son iguales, halla $b.$

The complex number $z$ is equal to $9 + bi,$ where $b$ is a positive real number and $i^2 = -1.$ Given that the imaginary parts of $z^2$ and $z^3$ are equal, find $b.$

Respuesta

Conceptos:número complejo teorema del binomio

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Por el teorema del binomio, $z^2 = (81 - b^2) + 18bi$ y $z^3 = (729 - 27b^2)$ $+ (243b - b^3)i.$ Igualar las partes imaginarias da $18b = 243b - b^3.$

Como $b$ es positivo, podemos dividir entre $b,$ lo que deja $b^2 = 243 - 18 = 225,$ así que $b = 15.$

By the binomial theorem, $z^2 = (81 - b^2) + 18bi$ and $z^3 = (729 - 27b^2)$ $+ (243b - b^3)i.$ Setting the imaginary parts equal gives $18b = 243b - b^3.$

Since $b$ is positive we may divide by $b,$ leaving $b^2 = 243 - 18 = 225,$ so $b = 15.$

4.

Tres planetas giran alrededor de una estrella en órbitas circulares coplanares con la estrella en el centro. Todos los planetas giran en la misma dirección, cada uno a velocidad constante, y los periodos de sus órbitas son $60,$ $84,$ y $140$ años. Las posiciones de la estrella y los tres planetas son actualmente colineales. La próxima vez que serán colineales será dentro de $n$ años. Halla $n.$

Three planets revolve about a star in coplanar circular orbits with the star at the center. All planets revolve in the same direction, each at a constant speed, and the periods of their orbits are $60,$ $84,$ and $140$ years. The positions of the star and all three planets are currently collinear. They will next be collinear after $n$ years. Find $n.$

Respuesta

Conceptos:mínimo común múltiplo velocidad relativa

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

Los cuatro cuerpos están sobre una misma recta exactamente cuando cada par de planetas es colineal con la estrella, es decir, cuando las posiciones angulares de cada par difieren en un múltiplo de $180^\circ,$ media revolución. En $n$ años los planetas completan $\frac{n}{60},$ $\frac{n}{84},$ y $\frac{n}{140}$ revoluciones, así que las diferencias entre pares son $\begin{aligned} &\frac{n}{60} - \frac{n}{84} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{84} - \frac{n}{140} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{60} - \frac{n}{140} = \frac{n}{105}. \end{aligned}$

Necesitamos que $\frac{n}{210}$ y $\frac{n}{105}$ sean múltiplos de $\frac{1}{2}.$ La primera requiere que $n$ sea múltiplo de $105,$ y cualquier $n$ así hace que $\frac{n}{105}$ sea entero. La menor opción positiva es $n = 105.$

All four bodies lie on one line exactly when every pair of planets is collinear with the star, i.e. when each pair's angular positions differ by a multiple of $180^\circ$ — half a revolution. In $n$ years the planets complete $\frac{n}{60},$ $\frac{n}{84},$ and $\frac{n}{140}$ revolutions, so the pairwise differences are $\begin{aligned} &\frac{n}{60} - \frac{n}{84} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{84} - \frac{n}{140} = \frac{n}{210}, \\ &\frac{n}{60} - \frac{n}{140} = \frac{n}{105}. \end{aligned}$

We need $\frac{n}{210}$ and $\frac{n}{105}$ to be multiples of $\frac{1}{2}.$ The first requires $n$ to be a multiple of $105,$ and any such $n$ makes $\frac{n}{105}$ an integer. The smallest positive choice is $n = 105.$

5.

La fórmula para convertir una temperatura Fahrenheit $F$ a la temperatura Celsius correspondiente $C$ es $C = \frac{5}{9}(F - 32).$ Una temperatura Fahrenheit entera se convierte a Celsius y se redondea al entero más cercano; la temperatura Celsius entera resultante se convierte de nuevo a Fahrenheit y se redondea al entero más cercano. ¿Para cuántas temperaturas Fahrenheit enteras $T$ con $32 \le T \le 1000$ la temperatura original es igual a la temperatura final?

The formula for converting a Fahrenheit temperature $F$ to the corresponding Celsius temperature $C$ is $C = \frac{5}{9}(F - 32).$ An integer Fahrenheit temperature is converted to Celsius and rounded to the nearest integer; the resulting integer Celsius temperature is converted back to Fahrenheit and rounded to the nearest integer. For how many integer Fahrenheit temperatures $T$ with $32 \le T \le 1000$ does the original temperature equal the final temperature?

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo aritmética modular casos pequeños

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Sumar $9$ a $F$ suma exactamente $5$ a $\frac{5}{9}(F - 32),$ por tanto $5$ al valor Celsius redondeado, y por tanto $9$ al valor Fahrenheit final. Así que $T$ vuelve a sí mismo si y solo si $T + 9$ lo hace, y basta con comprobar nueve temperaturas consecutivas. Comprobando $32$ hasta $40:$ los valores finales son $32, 34, 34, 36, 36, 37, 37, 39, 39,$ así que exactamente las cinco temperaturas $32, 34, 36, 37, 39$ sobreviven.

El rango de $32$ a $994$ contiene $963 = 107 \cdot 9$ enteros, aportando $107 \cdot 5 = 535$ supervivientes. Los restantes $995, \ldots, 1000$ se comportan como $32, \ldots, 37,$ de los cuales $32, 34, 36, 37$ sobreviven, sumando $4$ más.

El total es $535 + 4 = 539.$

Adding $9$ to $F$ adds exactly $5$ to $\frac{5}{9}(F - 32),$ hence $5$ to the rounded Celsius value, hence $9$ to the final Fahrenheit value. So $T$ returns to itself if and only if $T + 9$ does, and it suffices to check nine consecutive temperatures. Checking $32$ through $40:$ the final values are $32, 34, 34, 36, 36, 37, 37, 39, 39,$ so exactly the five temperatures $32, 34, 36, 37, 39$ survive.

The range from $32$ through $994$ contains $963 = 107 \cdot 9$ integers, contributing $107 \cdot 5 = 535$ survivors. The remaining $995, \ldots, 1000$ behave like $32, \ldots, 37,$ of which $32, 34, 36, 37$ survive, adding $4$ more.

The total is $535 + 4 = 539.$

6.

Se coloca una rana en el origen de la recta numérica, y se mueve según la siguiente regla: en un movimiento dado, la rana avanza al punto más cercano con coordenada entera mayor que sea múltiplo de $3,$ o al punto más cercano con coordenada entera mayor que sea múltiplo de $13.$ Una secuencia de movimientos es una sucesión de coordenadas que corresponden a movimientos válidos, que empieza con $0,$ y termina con $39.$ Por ejemplo, $0, 3, 6, 13, 15, 26, 39$ es una secuencia de movimientos. ¿Cuántas secuencias de movimientos son posibles para la rana?

A frog is placed at the origin on the number line, and moves according to the following rule: in a given move, the frog advances to either the closest point with a greater integer coordinate that is a multiple of $3,$ or to the closest point with a greater integer coordinate that is a multiple of $13.$ A move sequence is a sequence of coordinates which correspond to valid moves, beginning with $0,$ and ending with $39.$ For example, $0, 3, 6, 13, 15, 26, 39$ is a move sequence. How many move sequences are possible for the frog?

Respuesta

Conceptos:principio de multiplicación análisis por casos

Nivel de dificultad: 2430

Solución:

Divide el trayecto en los puntos de referencia $13$ y $26.$ Desde $0$ la rana sube por los múltiplos de $3$ y puede saltar a $13$ desde cualquiera de $0, 3, 6, 9, 12,$ lo que da $5$ rutas de $0$ a $13;$ de igual modo hay $5$ rutas de $13$ a $26$ (saltar a $26$ desde $13, 15, 18, 21, 24$ ) y $5$ de $26$ a $39.$ Para saltarse por completo $13$ la rana debe elegir la opción de múltiplo de $3$ cada vez que pasa por $12 \to 15,$ y luego saltar a $26$ desde uno de $15, 18, 21, 24:$ $4$ rutas de $0$ a $26$ evitando $13.$ De manera similar hay $4$ rutas de $13$ a $39$ evitando $26,$ y $4$ de $0$ a $39$ evitando ambos.

Combinando los segmentos: pasando por ambos puntos de referencia, $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125;$ pasando solo por $13$ , $5 \cdot 4 = 20;$ pasando solo por $26$ , $4 \cdot 5 = 20;$ por ninguno, $4.$ El total es $125 + 20 + 20 + 4 = 169.$

Split the journey at the landmarks $13$ and $26.$ From $0$ the frog climbs the multiples of $3$ and may jump to $13$ from any of $0, 3, 6, 9, 12,$ giving $5$ routes from $0$ to $13;$ likewise there are $5$ routes from $13$ to $26$ (jump to $26$ from $13, 15, 18, 21, 24$ ) and $5$ from $26$ to $39.$ To skip $13$ entirely the frog must take the multiple-of- $3$ option every time through $12 \to 15,$ then jump to $26$ from one of $15, 18, 21, 24:$ $4$ routes from $0$ to $26$ avoiding $13.$ Similarly there are $4$ routes from $13$ to $39$ avoiding $26,$ and $4$ from $0$ to $39$ avoiding both.

Combining the segments: through both landmarks, $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125;$ through $13$ only, $5 \cdot 4 = 20;$ through $26$ only, $4 \cdot 5 = 20;$ through neither, $4.$ The total is $125 + 20 + 20 + 4 = 169.$

7.

Sea $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k \\ &\quad {}\cdot \left(\lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor\right). \end{aligned}$ Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$ (Aquí $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x,$ y $\lceil x \rceil$ denota el menor entero que es mayor o igual que $x.$ )

Let $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k \\ &\quad {}\cdot \left(\lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor\right). \end{aligned}$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$ (Here $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x,$ and $\lceil x \rceil$ denotes the least integer that is greater than or equal to $x.$ )

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo logaritmo potencia de 2 sumatoria

Nivel de dificultad: 2410

Solución:

La diferencia $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor$ es igual a $1$ cuando $x$ no es entero y a $0$ cuando sí lo es. Ahora bien, $\log_{\sqrt{2}} k$ es entero exactamente cuando $k = (\sqrt{2})^j$ para algún entero $j,$ y para que $k$ sea entero, $j$ debe ser par, es decir, $k$ debe ser una potencia de $2.$ Las potencias que son a lo sumo $1000$ son $2^0, 2^1, \ldots, 2^9 = 512.$

Por lo tanto $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k - \sum_{j=0}^{9} 2^j \\ &= \frac{1000 \cdot 1001}{2} - 1023 \\ &= 500500 - 1023 = 499477, \end{aligned}$ y el residuo al dividir entre $1000$ es $477.$

The difference $\lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor$ equals $1$ when $x$ is not an integer and $0$ when it is. Now $\log_{\sqrt{2}} k$ is an integer exactly when $k = (\sqrt{2})^j$ for some integer $j,$ and for $k$ to be an integer, $j$ must be even — that is, $k$ must be a power of $2.$ The powers at most $1000$ are $2^0, 2^1, \ldots, 2^9 = 512.$

Therefore $\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k - \sum_{j=0}^{9} 2^j \\ &= \frac{1000 \cdot 1001}{2} - 1023 \\ &= 500500 - 1023 = 499477, \end{aligned}$ and the remainder upon division by $1000$ is $477.$

8.

El polinomio $P(x)$ es cúbico. ¿Cuál es el mayor valor de $k$ para el cual los polinomios $Q_1(x) = x^2 + (k - 29)x - k$ y $Q_2(x) = 2x^2 + (2k - 43)x + k$ son ambos factores de $P(x)$ ?

The polynomial $P(x)$ is cubic. What is the largest value of $k$ for which the polynomials $Q_1(x) = x^2 + (k - 29)x - k$ and $Q_2(x) = 2x^2 + (2k - 43)x + k$ are both factors of $P(x)?$

Respuesta

Conceptos:polinomio cuadrática factorización

Nivel de dificultad: 2500

Solución:

Si $Q_1$ y $Q_2$ no tuvieran una raíz común, su producto, de grado $4$ , dividiría al cúbico $P(x),$ lo cual es imposible. Así que comparten una raíz $r,$ y $2Q_1(r) - Q_2(r) = 0.$ Al calcular, $2Q_1(x) - Q_2(x) = -15x - 3k,$ así que $r = -\frac{k}{5}.$

Sustituyendo en $Q_1(r) = 0$ da $\frac{k^2}{25} - (k - 29)\frac{k}{5} - k = 0;$ multiplicando por $25$ y simplificando resulta $-4k^2 + 120k = 0,$ así que $k = 0$ o $k = 30.$

Para $k = 30,$ $Q_1(x) = x^2 + x - 30$ $= (x + 6)(x - 5)$ y $Q_2(x) = 2x^2 + 17x + 30$ $= (x + 6)(2x + 5),$ y ambos dividen a $P(x) = (x + 6)(x - 5)(2x + 5).$ El mayor valor es $30.$

If $Q_1$ and $Q_2$ had no common root, their product — of degree $4$ — would divide the cubic $P(x),$ which is impossible. So they share a root $r,$ and $2Q_1(r) - Q_2(r) = 0.$ Computing, $2Q_1(x) - Q_2(x) = -15x - 3k,$ so $r = -\frac{k}{5}.$

Substituting into $Q_1(r) = 0$ gives $\frac{k^2}{25} - (k - 29)\frac{k}{5} - k = 0;$ multiplying by $25$ and simplifying yields $-4k^2 + 120k = 0,$ so $k = 0$ or $k = 30.$

For $k = 30,$ $Q_1(x) = x^2 + x - 30$ $= (x + 6)(x - 5)$ and $Q_2(x) = 2x^2 + 17x + 30$ $= (x + 6)(2x + 5),$ and both divide $P(x) = (x + 6)(x - 5)(2x + 5).$ The largest value is $30.$

9.

En el triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo recto en $C,$ $CA = 30$ y $CB = 16.$ Sus catetos $\overline{CA}$ y $\overline{CB}$ se prolongan más allá de $A$ y $B.$ Los puntos $O_1$ y $O_2$ están en el exterior del triángulo y son los centros de dos círculos con radios iguales. El círculo con centro $O_1$ es tangente a la hipotenusa y a la prolongación del cateto $CA,$ el círculo con centro $O_2$ es tangente a la hipotenusa y a la prolongación del cateto $CB,$ y los círculos son tangentes exteriores entre sí. La longitud del radio de cualquiera de los círculos puede expresarse como $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

In right triangle $ABC$ with right angle $C,$ $CA = 30$ and $CB = 16.$ Its legs $\overline{CA}$ and $\overline{CB}$ are extended beyond $A$ and $B.$ Points $O_1$ and $O_2$ lie in the exterior of the triangle and are the centers of two circles with equal radii. The circle with center $O_1$ is tangent to the hypotenuse and to the extension of leg $CA,$ the circle with center $O_2$ is tangent to the hypotenuse and to the extension of leg $CB,$ and the circles are externally tangent to each other. The length of the radius of either circle can be expressed as $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:circunferencias tangentes triángulo rectángulo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

La hipotenusa es $AB = \sqrt{30^2 + 16^2} = 34.$ Sean $T_1$ y $T_2$ los puntos donde los círculos tocan a $AB.$ Ambos centros están a distancia $r$ de la recta $AB$ en el lado opuesto al triángulo, así que $\overline{O_1 O_2}$ es paralelo a $AB$ y $T_1 T_2 = O_1 O_2 = 2r,$ ya que los círculos son tangentes exteriores. Por tanto $AB = AT_1 + 2r + T_2 B.$

El círculo $O_1$ está inscrito en el ángulo en $A$ entre el rayo $AB$ y la prolongación de $\overline{CA}$ más allá de $A,$ que mide $180^\circ - \angle A.$ Por tanto, su longitud de tangente desde $A$ es $AT_1 = r\big/\tan\left(90^\circ - \tfrac{A}{2}\right)$ $= r \tan\frac{A}{2}.$ Con $\sin A = \frac{16}{34}$ y $\cos A = \frac{30}{34},$ la fórmula del ángulo medio da $\tan\frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4},$ y de forma similar $\tan\frac{B}{2} = \frac{30}{34 + 16} = \frac{3}{5}.$

Así que $34 = \frac{r}{4} + 2r + \frac{3r}{5} = \frac{57r}{20},$ lo que da $r = \frac{680}{57}.$ Como $680 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$ y $57 = 3 \cdot 19$ no comparten ningún factor común, $p + q = 680 + 57 = 737.$

The hypotenuse is $AB = \sqrt{30^2 + 16^2} = 34.$ Let $T_1$ and $T_2$ be the points where the circles touch $AB.$ Both centers lie at distance $r$ from line $AB$ on the side away from the triangle, so $\overline{O_1 O_2}$ is parallel to $AB$ and $T_1 T_2 = O_1 O_2 = 2r,$ since the circles are externally tangent. Thus $AB = AT_1 + 2r + T_2 B.$

Circle $O_1$ is inscribed in the angle at $A$ between ray $AB$ and the extension of $\overline{CA}$ beyond $A,$ which measures $180^\circ - \angle A.$ Its tangent length from $A$ is therefore $AT_1 = r\big/\tan\left(90^\circ - \tfrac{A}{2}\right)$ $= r \tan\frac{A}{2}.$ With $\sin A = \frac{16}{34}$ and $\cos A = \frac{30}{34},$ the half-angle formula gives $\tan\frac{A}{2} = \frac{\sin A}{1 + \cos A} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4},$ and similarly $\tan\frac{B}{2} = \frac{30}{34 + 16} = \frac{3}{5}.$

So $34 = \frac{r}{4} + 2r + \frac{3r}{5} = \frac{57r}{20},$ giving $r = \frac{680}{57}.$ Since $680 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$ and $57 = 3 \cdot 19$ share no common factor, $p + q = 680 + 57 = 737.$

10.

En la cuadrícula $6 \times 4$ que se muestra, se van a sombrear $12$ de los $24$ cuadrados de modo que haya dos cuadrados sombreados en cada fila y tres cuadrados sombreados en cada columna. Sea $N$ el número de sombreados con esta propiedad. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

In the $6 \times 4$ grid shown, $12$ of the $24$ squares are to be shaded so that there are two shaded squares in each row and three shaded squares in each column. Let $N$ be the number of shadings with this property. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:arreglos con restricciones combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Sombrea tres de las seis filas en la columna $1:$ $\binom{6}{3} = 20$ formas. Sea $k$ el número de filas sombreadas en ambas columnas $1$ y $2;$ la columna $2$ puede entonces elegirse de $\binom{3}{k}\binom{3}{3-k}$ formas. Tras estas dos columnas, $k$ filas están completas con dos cuadrados sombreados, $6 - 2k$ filas tienen uno, y $k$ filas no tienen ninguno.

Las filas vacías deben sombrearse en ambas columnas $3$ y $4.$ La columna $3$ toma esas $k$ filas más $3 - k$ de las $6 - 2k$ filas con un solo sombreado, de $\binom{6-2k}{3-k}$ formas, y la columna $4$ queda entonces determinada: debe cubrir las filas vacías y exactamente las filas con un solo sombreado omitidas por la columna $3.$

Sumando, $\begin{aligned} N &= 20\sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} \\ &\quad {}\cdot \binom{3}{3-k} \\ &\quad {}\cdot \binom{6-2k}{3-k} \\ &= 20(20 + 54 + 18 + 1) \\ &= 1860, \end{aligned}$ así que el residuo es $860.$

Shade three of the six rows in column $1:$ $\binom{6}{3} = 20$ ways. Let $k$ be the number of rows shaded in both columns $1$ and $2;$ column $2$ can then be chosen in $\binom{3}{k}\binom{3}{3-k}$ ways. After these two columns, $k$ rows are complete with two shaded squares, $6 - 2k$ rows have one, and $k$ rows have none.

The empty rows must be shaded in both columns $3$ and $4.$ Column $3$ takes those $k$ rows plus $3 - k$ of the $6 - 2k$ singly-shaded rows, in $\binom{6-2k}{3-k}$ ways, and column $4$ is then forced: it must cover the empty rows and exactly the singly-shaded rows skipped by column $3.$

Summing, $\begin{aligned} N &= 20\sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} \\ &\quad {}\cdot \binom{3}{3-k} \\ &\quad {}\cdot \binom{6-2k}{3-k} \\ &= 20(20 + 54 + 18 + 1) \\ &= 1860, \end{aligned}$ so the remainder is $860.$

11.

Para cada entero positivo $p,$ sea $b(p)$ el único entero positivo $k$ tal que $|k - \sqrt{p}| \lt \frac{1}{2}.$ Por ejemplo, $b(6) = 2$ y $b(23) = 5.$ Si $S = \sum_{p=1}^{2007} b(p),$ halla el residuo cuando $S$ se divide entre $1000.$

For each positive integer $p,$ let $b(p)$ denote the unique positive integer $k$ such that $|k - \sqrt{p}| \lt \frac{1}{2}.$ For example, $b(6) = 2$ and $b(23) = 5.$ If $S = \sum_{p=1}^{2007} b(p),$ find the remainder when $S$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:funciones piso y techo suma de los primeros n cuadrados conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2610

Solución:

Para un entero positivo $k,$ la condición $|k - \sqrt{p}| \lt \frac{1}{2}$ significa $\left(k - \frac{1}{2}\right)^2 \lt p \lt \left(k + \frac{1}{2}\right)^2,$ lo que para enteros $p$ equivale exactamente a $k^2 - k + 1 \le p \le k^2 + k.$ Así que $b(p) = k$ para exactamente $2k$ valores de $p.$

Como $44^2 + 44 = 1980,$ los bloques $k = 1, \ldots, 44$ cubren exactamente $p \le 1980$ y aportan $\begin{aligned} \sum_{k=1}^{44} k \cdot 2k &= 2 \cdot \frac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6} \\ &= 58740. \end{aligned}$ Los $27$ valores restantes $p = 1981, \ldots, 2007$ tienen cada uno $b(p) = 45,$ sumando $27 \cdot 45 = 1215.$

Por tanto $S = 58740 + 1215 = 59955,$ y el residuo es $955.$

For a positive integer $k,$ the condition $|k - \sqrt{p}| \lt \frac{1}{2}$ means $\left(k - \frac{1}{2}\right)^2 \lt p \lt \left(k + \frac{1}{2}\right)^2,$ which for integers $p$ is exactly $k^2 - k + 1 \le p \le k^2 + k.$ So $b(p) = k$ for precisely $2k$ values of $p.$

Since $44^2 + 44 = 1980,$ the blocks $k = 1, \ldots, 44$ exactly cover $p \le 1980$ and contribute $\begin{aligned} \sum_{k=1}^{44} k \cdot 2k &= 2 \cdot \frac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6} \\ &= 58740. \end{aligned}$ The remaining $27$ values $p = 1981, \ldots, 2007$ each have $b(p) = 45,$ adding $27 \cdot 45 = 1215.$

Thus $S = 58740 + 1215 = 59955,$ and the remainder is $955.$

12.

En el triángulo isósceles $ABC,$ $A$ está ubicado en el origen y $B$ está ubicado en $(20, 0).$ El punto $C$ está en el primer cuadrante con $AC = BC$ y $\angle BAC = 75^\circ.$ Si $\triangle ABC$ se rota en sentido antihorario alrededor del punto $A$ hasta que la imagen de $C$ quede sobre el semieje $y$ positivo, el área de la región común al triángulo original y al triángulo rotado tiene la forma $p\sqrt{2} + q\sqrt{3} + r\sqrt{6} + s,$ donde $p,$ $q,$ $r,$ $s$ son enteros. Halla $\frac{p - q + r - s}{2}.$

In isosceles triangle $ABC,$ $A$ is located at the origin and $B$ is located at $(20, 0).$ Point $C$ is in the first quadrant with $AC = BC$ and $\angle BAC = 75^\circ.$ If $\triangle ABC$ is rotated counterclockwise about point $A$ until the image of $C$ lies on the positive $y$ -axis, the area of the region common to the original triangle and the rotated triangle is in the form $p\sqrt{2} + q\sqrt{3} + r\sqrt{6} + s,$ where $p,$ $q,$ $r,$ $s$ are integers. Find $\frac{p - q + r - s}{2}.$

Respuesta

Conceptos:transformación ley de los senos semejanza descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Como $AC$ forma un ángulo de $75^\circ$ con el semieje $x$ positivo, la rotación es de $15^\circ.$ Sean $B'$ y $C'$ las imágenes de $B$ y $C.$ Como $\angle B'AB = 15^\circ$ y $\angle ABC = 75^\circ,$ el segmento $AB'$ es perpendicular a $BC;$ sea $D$ su intersección, y sean $E = BC \cap B'C'$ y $F = AC \cap B'C'.$ La región común es el cuadrilátero $ADEF,$ cuya área es $[AB'F] - [EB'D].$

En el triángulo $AB'F,$ $\angle FAB' = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$ y $\angle AB'F = 75^\circ,$ así que $\angle AFB' = 45^\circ,$ y la ley de senos da $B'F = 20\sin 60^\circ/\sin 45^\circ$ $= 10\sqrt{6}.$ Con $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4},$ $\begin{aligned} [AB'F] &= \tfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10\sqrt{6}\,\sin 75^\circ \\ &= 50(3 + \sqrt{3}). \end{aligned}$

En el triángulo rectángulo $ABD,$ $AD = 20\cos 15^\circ$ y $BD = 20\sin 15^\circ,$ así que $[ABD] = 200\sin 15^\circ\cos 15^\circ$ $= 100\sin 30^\circ = 50,$ y $B'D = 20(1 - \cos 15^\circ).$ Los triángulos $EB'D$ y $ABD$ son semejantes (ángulos rectos en $D,$ y $\angle EB'D = \angle ABD = 75^\circ$ ), así que, usando $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4},$ $\begin{aligned} [EB'D] &= 50\left(\frac{1 - \cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}\right)^2 \\ &= 50 \\ &\quad {}\cdot \left(15 + 8\sqrt{3} - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2}\right). \end{aligned}$ Por lo tanto $\begin{aligned} [ADEF] &= 50(3 + \sqrt{3}) \\ &\quad {}- 50 \\ &{}\cdot (15 + 8\sqrt{3} - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2}) \\ &= 500\sqrt{2} - 350\sqrt{3} \\ &\quad {}+ 300\sqrt{6} - 600, \end{aligned}$ así que $(p, q, r, s)$ $= (500, -350, 300, -600)$ y $\frac{p - q + r - s}{2} = \frac{1750}{2} = 875.$

Since $AC$ makes a $75^\circ$ angle with the positive $x$ -axis, the rotation is by $15^\circ.$ Let $B'$ and $C'$ be the images of $B$ and $C.$ Because $\angle B'AB = 15^\circ$ and $\angle ABC = 75^\circ,$ segment $AB'$ is perpendicular to $BC;$ let $D$ be their intersection, and let $E = BC \cap B'C'$ and $F = AC \cap B'C'.$ The common region is the quadrilateral $ADEF,$ whose area is $[AB'F] - [EB'D].$

In triangle $AB'F,$ $\angle FAB' = 75^\circ - 15^\circ = 60^\circ$ and $\angle AB'F = 75^\circ,$ so $\angle AFB' = 45^\circ,$ and the law of sines gives $B'F = 20\sin 60^\circ/\sin 45^\circ$ $= 10\sqrt{6}.$ With $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4},$ $\begin{aligned} [AB'F] &= \tfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10\sqrt{6}\,\sin 75^\circ \\ &= 50(3 + \sqrt{3}). \end{aligned}$

In right triangle $ABD,$ $AD = 20\cos 15^\circ$ and $BD = 20\sin 15^\circ,$ so $[ABD] = 200\sin 15^\circ\cos 15^\circ$ $= 100\sin 30^\circ = 50,$ and $B'D = 20(1 - \cos 15^\circ).$ Triangles $EB'D$ and $ABD$ are similar (right angles at $D,$ and $\angle EB'D = \angle ABD = 75^\circ$ ), so, using $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4},$ $\begin{aligned} [EB'D] &= 50\left(\frac{1 - \cos 15^\circ}{\sin 15^\circ}\right)^2 \\ &= 50 \\ &\quad {}\cdot \left(15 + 8\sqrt{3} - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2}\right). \end{aligned}$ Therefore $\begin{aligned} [ADEF] &= 50(3 + \sqrt{3}) \\ &\quad {}- 50 \\ &{}\cdot (15 + 8\sqrt{3} - 6\sqrt{6} - 10\sqrt{2}) \\ &= 500\sqrt{2} - 350\sqrt{3} \\ &\quad {}+ 300\sqrt{6} - 600, \end{aligned}$ so $(p, q, r, s)$ $= (500, -350, 300, -600)$ and $\frac{p - q + r - s}{2} = \frac{1750}{2} = 875.$

13.

Una pirámide de base cuadrada con base $ABCD$ y vértice $E$ tiene ocho aristas de longitud $4.$ Un plano pasa por los puntos medios de $\overline{AE},$ $\overline{BC},$ y $\overline{CD}.$ La intersección del plano con la pirámide tiene un área que puede expresarse como $\sqrt{p}.$ Halla $p.$

A square pyramid with base $ABCD$ and vertex $E$ has eight edges of length $4.$ A plane passes through the midpoints of $\overline{AE},$ $\overline{BC},$ and $\overline{CD}.$ The plane's intersection with the pyramid has an area that can be expressed as $\sqrt{p}.$ Find $p.$

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D pirámide geometría analítica descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Coloca la base en $A = (0,0,0),$ $B = (4,0,0),$ $C = (4,4,0),$ $D = (0,4,0);$ el ápice es entonces $E = (2, 2, 2\sqrt{2}),$ ya que $2^2 + 2^2 + 8 = 16.$ Los puntos medios dados son $R = (1, 1, \sqrt{2}),$ $S = (4, 2, 0),$ y $T = (2, 4, 0),$ y los tres satisfacen $x + y + 2\sqrt{2}\,z = 6,$ la ecuación del plano de corte.

Parametrizando las aristas $\overline{BE}$ y $\overline{DE}$ se ve que el plano las corta en $U = \left(\frac{7}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ y $V = \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$ La sección transversal es el pentágono $RUSTV$ con $RU = RV = \sqrt{7},$ $US = VT = \sqrt{3},$ $ST = 2\sqrt{2},$ y diagonal $UV = 3\sqrt{2}.$

Divide el pentágono a lo largo de $\overline{UV}.$ El triángulo isósceles $RUV$ tiene altura $\sqrt{7 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ y área $\frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}.$ El trapecio isósceles $USTV$ tiene altura $\sqrt{3 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ y área $\frac{1}{2}(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2})\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}.$ El total es $4\sqrt{5} = \sqrt{80},$ así que $p = 80.$

Place the base at $A = (0,0,0),$ $B = (4,0,0),$ $C = (4,4,0),$ $D = (0,4,0);$ the apex is then $E = (2, 2, 2\sqrt{2}),$ since $2^2 + 2^2 + 8 = 16.$ The given midpoints are $R = (1, 1, \sqrt{2}),$ $S = (4, 2, 0),$ and $T = (2, 4, 0),$ and all three satisfy $x + y + 2\sqrt{2}\,z = 6,$ the equation of the cutting plane.

Parametrizing edges $\overline{BE}$ and $\overline{DE}$ shows the plane meets them at $U = \left(\frac{7}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ and $V = \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).$ The cross-section is the pentagon $RUSTV$ with $RU = RV = \sqrt{7},$ $US = VT = \sqrt{3},$ $ST = 2\sqrt{2},$ and diagonal $UV = 3\sqrt{2}.$

Split the pentagon along $\overline{UV}.$ Isosceles triangle $RUV$ has height $\sqrt{7 - \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ and area $\frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}.$ Isosceles trapezoid $USTV$ has height $\sqrt{3 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$ and area $\frac{1}{2}(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2})\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}.$ The total is $4\sqrt{5} = \sqrt{80},$ so $p = 80.$

14.

Sea una sucesión definida como sigue: $a_1 = 3,$ $a_2 = 3,$ y para $n \ge 2,$ $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007.$ Halla el mayor entero menor o igual que $\frac{a_{2007}^2 + a_{2006}^2}{a_{2007}a_{2006}}.$

Let a sequence be defined as follows: $a_1 = 3,$ $a_2 = 3,$ and for $n \ge 2,$ $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007.$ Find the largest integer less than or equal to $\frac{a_{2007}^2 + a_{2006}^2}{a_{2007}a_{2006}}.$

Respuesta

Conceptos:recursión invariante acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Para $n \ge 3,$ se cumplen tanto $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ como $a_n a_{n-2} = a_{n-1}^2 + 2007$ . Restando y reagrupando se obtiene $a_{n-1}(a_{n+1} + a_{n-1})$ $= a_n(a_n + a_{n-2}),$ así que $\frac{a_{n+1} + a_{n-1}}{a_n}$ tiene el mismo valor para todo $n \ge 2.$ Como $a_3 = \frac{3^2 + 2007}{3} = 672,$ ese valor es $\frac{672 + 3}{3} = 225,$ y la sucesión satisface $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1}.$

Multiplicando $a_{n+1} + a_{n-1} = 225a_n$ por $a_{n+1}$ y sustituyendo $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ resulta $a_{n+1}^2 + a_n^2 + 2007 = 225\,a_n a_{n+1},$ así que $\frac{a_{n+1}^2 + a_n^2}{a_{n+1}a_n} = 225 - \frac{2007}{a_n a_{n+1}}.$

La sucesión es creciente: $a_3 = 672 \gt a_2,$ y $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1} \gt a_n$ siempre que $a_n \gt a_{n-1}.$ Por tanto $a_{2006}a_{2007} \gt 672^2 \gt 2007,$ así que la fracción está estrictamente entre $224$ y $225,$ y la respuesta es $224.$

For $n \ge 3,$ both $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ and $a_n a_{n-2} = a_{n-1}^2 + 2007$ hold. Subtracting and regrouping gives $a_{n-1}(a_{n+1} + a_{n-1})$ $= a_n(a_n + a_{n-2}),$ so $\frac{a_{n+1} + a_{n-1}}{a_n}$ has the same value for every $n \ge 2.$ Since $a_3 = \frac{3^2 + 2007}{3} = 672,$ that value is $\frac{672 + 3}{3} = 225,$ and the sequence satisfies $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1}.$

Multiplying $a_{n+1} + a_{n-1} = 225a_n$ by $a_{n+1}$ and substituting $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007$ yields $a_{n+1}^2 + a_n^2 + 2007 = 225\,a_n a_{n+1},$ so $\frac{a_{n+1}^2 + a_n^2}{a_{n+1}a_n} = 225 - \frac{2007}{a_n a_{n+1}}.$

The sequence increases: $a_3 = 672 \gt a_2,$ and $a_{n+1} = 225a_n - a_{n-1} \gt a_n$ whenever $a_n \gt a_{n-1}.$ Hence $a_{2006}a_{2007} \gt 672^2 \gt 2007,$ so the fraction lies strictly between $224$ and $225,$ and the answer is $224.$

15.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero, y sean $D$ y $F$ puntos sobre los lados $BC$ y $AB,$ respectivamente, con $FA = 5$ y $CD = 2.$ El punto $E$ está sobre el lado $CA$ de modo que $\angle DEF = 60^\circ.$ El área del triángulo $DEF$ es $14\sqrt{3}.$ Los dos valores posibles de la longitud del lado $AB$ son $p \pm q\sqrt{r},$ donde $p$ y $q$ son racionales, y $r$ es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $r.$

Let $ABC$ be an equilateral triangle, and let $D$ and $F$ be points on sides $BC$ and $AB,$ respectively, with $FA = 5$ and $CD = 2.$ Point $E$ lies on side $CA$ such that $\angle DEF = 60^\circ.$ The area of triangle $DEF$ is $14\sqrt{3}.$ The two possible values of the length of side $AB$ are $p \pm q\sqrt{r},$ where $p$ and $q$ are rational, and $r$ is an integer not divisible by the square of a prime. Find $r.$

Respuesta

Conceptos:triángulo equilátero semejanza área del triángulo cuadrática

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Sea $s = AB$ y $t = AE.$ Usando los ángulos de $60^\circ$ en $A,$ $B,$ $C$ y la fórmula del área $\frac{1}{2}xy\sin 60^\circ:$ $[AEF] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5t,$ $[BFD] = \frac{\sqrt{3}}{4}(s-5)(s-2),$ y $[CDE] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2(s-t).$ Restando las tres de $[ABC] = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ y simplificando, $\begin{aligned} [DEF] &= \frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(5(s - t) + 2t - 10\bigr) \\ &= 14\sqrt{3}, \end{aligned}$ así que $5(s - t) + 2t = 66.$

En $E,$ los ángulos $\angle AEF$ y $\angle CED$ suman $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ,$ mientras que en el triángulo $AEF$ los ángulos $\angle AEF$ y $\angle AFE$ también suman $120^\circ.$ Por tanto $\angle AFE = \angle CED,$ y como $\angle A = \angle C = 60^\circ,$ los triángulos $AEF$ y $CDE$ son semejantes. Entonces $\frac{AE}{AF} = \frac{CD}{CE}$ da $\frac{t}{5} = \frac{2}{s - t},$ así que $t(s - t) = 10.$

Sustituyendo $s - t = \frac{10}{t}$ en $5(s - t) + 2t = 66$ da $\frac{50}{t} + 2t = 66,$ o sea $t^2 - 33t + 25 = 0,$ así que $t = \frac{33 \pm \sqrt{989}}{2}.$ De $\frac{25}{t} = 33 - t$ obtenemos $\frac{10}{t} = \frac{2}{5}(33 - t),$ así que $s = t + \frac{10}{t} = \frac{3t + 66}{5} = \frac{231 \pm 3\sqrt{989}}{10}.$ Ambos valores dan configuraciones válidas, así que $r = 989.$

Let $s = AB$ and $t = AE.$ Using the $60^\circ$ angles at $A,$ $B,$ $C$ and the area formula $\frac{1}{2}xy\sin 60^\circ:$ $[AEF] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5t,$ $[BFD] = \frac{\sqrt{3}}{4}(s-5)(s-2),$ and $[CDE] = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 2(s-t).$ Subtracting all three from $[ABC] = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ and simplifying, $\begin{aligned} [DEF] &= \frac{\sqrt{3}}{4}\bigl(5(s - t) + 2t - 10\bigr) \\ &= 14\sqrt{3}, \end{aligned}$ so $5(s - t) + 2t = 66.$

At $E,$ the angles $\angle AEF$ and $\angle CED$ sum to $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ,$ while in triangle $AEF$ the angles $\angle AEF$ and $\angle AFE$ also sum to $120^\circ.$ Hence $\angle AFE = \angle CED,$ and since $\angle A = \angle C = 60^\circ,$ triangles $AEF$ and $CDE$ are similar. Then $\frac{AE}{AF} = \frac{CD}{CE}$ gives $\frac{t}{5} = \frac{2}{s - t},$ so $t(s - t) = 10.$

Substituting $s - t = \frac{10}{t}$ into $5(s - t) + 2t = 66$ gives $\frac{50}{t} + 2t = 66,$ or $t^2 - 33t + 25 = 0,$ so $t = \frac{33 \pm \sqrt{989}}{2}.$ From $\frac{25}{t} = 33 - t$ we get $\frac{10}{t} = \frac{2}{5}(33 - t),$ so $s = t + \frac{10}{t} = \frac{3t + 66}{5} = \frac{231 \pm 3\sqrt{989}}{10}.$ Both values yield valid configurations, so $r = 989.$