Question

Considera los polinomios $P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$ y $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1.$ Dado que $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ y $z_4$ son las raíces de $Q(x) = 0,$ halla $P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4).$

Consider the polynomials $P(x) = x^6 - x^5 - x^3 - x^2 - x$ and $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1.$ Given that $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ and $z_4$ are the roots of $Q(x) = 0,$ find $P(z_1) + P(z_2) + P(z_3) + P(z_4).$

Respuesta

Solución:

La división de polinomios da $\begin{aligned} &P(x) = Q(x)\,(x^2 + 1) \\ &\quad {}+ x^2 - x + 1, \end{aligned}$ así que $P(z_i) = z_i^2 - z_i + 1$ para cada raíz $z_i$ de $Q.$

Por las fórmulas de Vieta para $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1,$ tenemos $\sum z_i = 1$ y $\sum_{i \lt j} z_i z_j = -1,$ así que $\sum z_i^2 = \left(\sum z_i\right)^2 - 2\sum_{i \lt j} z_i z_j$ $= 1 + 2 = 3.$ Por lo tanto $\sum_{i=1}^4 P(z_i) = 3 - 1 + 4 = 6.$

Polynomial division gives $\begin{aligned} &P(x) = Q(x)\,(x^2 + 1) \\ &\quad {}+ x^2 - x + 1, \end{aligned}$ so $P(z_i) = z_i^2 - z_i + 1$ for each root $z_i$ of $Q.$

By Vieta's formulas for $Q(x) = x^4 - x^3 - x^2 - 1,$ we have $\sum z_i = 1$ and $\sum_{i \lt j} z_i z_j = -1,$ so $\sum z_i^2 = \left(\sum z_i\right)^2 - 2\sum_{i \lt j} z_i z_j$ $= 1 + 2 = 3.$ Therefore $\sum_{i=1}^4 P(z_i) = 3 - 1 + 4 = 6.$

2003 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años