Question

Dado que $z$ es un número complejo tal que $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ$ , halla el menor entero que es mayor que $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}}$ .

Given that $z$ is a complex number such that $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ,$ find the least integer that is greater than $z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}}.$

Respuesta

Solución:

De $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ$ obtenemos $z^2 - (2\cos 3^\circ) z + 1 = 0$ , así que $z = \cos 3^\circ \pm i \sin 3^\circ$ , un punto sobre la circunferencia unitaria. Por el teorema de de Moivre, $\begin{aligned} z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}} &= 2\cos(2000 \cdot 3^\circ) \\ &= 2\cos 6000^\circ. \end{aligned}$

Como $6000 = 16 \cdot 360 + 240$ , esto es igual a $2\cos 240^\circ = -1$ . El menor entero mayor que $-1$ es $0$ .

From $z + \frac{1}{z} = 2\cos 3^\circ$ we get $z^2 - (2\cos 3^\circ) z + 1 = 0,$ so $z = \cos 3^\circ \pm i \sin 3^\circ,$ a point on the unit circle. By de Moivre's theorem, $\begin{aligned} z^{2000} + \frac{1}{z^{2000}} &= 2\cos(2000 \cdot 3^\circ) \\ &= 2\cos 6000^\circ. \end{aligned}$

Since $6000 = 16 \cdot 360 + 240,$ this equals $2\cos 240^\circ = -1.$ The least integer greater than $-1$ is $0.$

2000 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años