Question

Cada cuadrado unitario de una cuadrícula de cuadrados unitarios de $3$ por $3$ se va a colorear de azul o de rojo. Para cada cuadrado, cada color es igualmente probable. La probabilidad de obtener una cuadrícula que no tenga un cuadrado rojo de $2$ por $2$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Each unit square of a $3$ -by- $3$ unit-square grid is to be colored either blue or red. For each square, either color is equally likely to be used. The probability of obtaining a grid that does not have a $2$ -by- $2$ red square is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Calcula la probabilidad de que la cuadrícula sí contenga un bloque totalmente rojo de $2$ por $2$ por inclusión-exclusión sobre las cuatro posiciones posibles. Un bloque fuerza $4$ celdas; dos bloques que comparten una arista fuerzan $6$ celdas ( $4$ de esos pares), mientras que los dos pares diagonales fuerzan $7;$ tres bloques cualesquiera fuerzan $8$ celdas, y los cuatro fuerzan las $9.$

Cada configuración de celdas rojas forzadas tiene probabilidad $\left(\frac{1}{2}\right)^{\text{cells}},$ así que la probabilidad de al menos un bloque rojo es $\begin{aligned} &4 \cdot \frac{1}{16} - \left(4 \cdot \frac{1}{64} + 2 \cdot \frac{1}{128}\right) \\ &\quad {}+ 4 \cdot \frac{1}{256} - \frac{1}{512} \\ &= \frac{128 - 40 + 8 - 1}{512} = \frac{95}{512}. \end{aligned}$

La probabilidad buscada es $1 - \frac{95}{512} = \frac{417}{512},$ y $417 = 3 \cdot 139$ es coprimo con $512,$ así que $m + n = 417 + 512 = 929.$

Compute the probability that the grid does contain an all-red $2$ -by- $2$ block by inclusion-exclusion over the four possible positions. One block forces $4$ cells; two blocks sharing an edge force $6$ cells ( $4$ such pairs), while the two diagonal pairs force $7;$ any three blocks force $8$ cells, and all four force all $9.$

Each configuration of forced red cells has probability $\left(\frac{1}{2}\right)^{\text{cells}},$ so the probability of at least one red block is $\begin{aligned} &4 \cdot \frac{1}{16} - \left(4 \cdot \frac{1}{64} + 2 \cdot \frac{1}{128}\right) \\ &\quad {}+ 4 \cdot \frac{1}{256} - \frac{1}{512} \\ &= \frac{128 - 40 + 8 - 1}{512} = \frac{95}{512}. \end{aligned}$

The desired probability is $1 - \frac{95}{512} = \frac{417}{512},$ and $417 = 3 \cdot 139$ is coprime to $512,$ so $m + n = 417 + 512 = 929.$

2001 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años