Question

Sea $ABC$ un triángulo con lados $3,$ $4,$ y $5,$ y sea $DEFG$ un rectángulo de $6$ por $7$ . Se traza un segmento que divide el triángulo $ABC$ en un triángulo $U_1$ y un trapecio $V_1,$ y se traza otro segmento que divide el rectángulo $DEFG$ en un triángulo $U_2$ y un trapecio $V_2$ de modo que $U_1$ es semejante a $U_2$ y $V_1$ es semejante a $V_2.$ El valor mínimo del área de $U_1$ puede escribirse en la forma $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $ABC$ be a triangle with sides $3,$ $4,$ and $5,$ and $DEFG$ be a $6$ -by- $7$ rectangle. A segment is drawn to divide triangle $ABC$ into a triangle $U_1$ and a trapezoid $V_1,$ and another segment is drawn to divide rectangle $DEFG$ into a triangle $U_2$ and a trapezoid $V_2$ such that $U_1$ is similar to $U_2$ and $V_1$ is similar to $V_2.$ The minimum value of the area of $U_1$ can be written in the form $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Un segmento corta el rectángulo en un triángulo y un trapecio solo si va de un vértice a un punto de un lado no adyacente, así que $U_2$ es un triángulo rectángulo cuyos catetos están sobre dos lados del rectángulo, siendo un cateto un lado completo ( $6$ o $7$ ). Como $U_1 \sim U_2,$ el corte en el triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$ $ABC$ también debe producir un triángulo rectángulo, así que es paralelo a un cateto, y entonces $U_1 \sim ABC.$ Por lo tanto $U_2$ también es un triángulo $3$ - $4$ - $5$ : sus catetos son $6$ y $\frac{9}{2}$ (lado completo $6$ ) o $7$ y $\frac{21}{4}$ (lado completo $7$ ); las otras orientaciones necesitan catetos $8$ o $\frac{28}{3},$ que no caben.

En ambos casos el trapecio $V_2$ tiene dos ángulos rectos y un ángulo agudo entre el corte y su base más larga con tangente $\frac{6}{9/2} = \frac{7}{21/4} = \frac{4}{3}.$ En el triángulo $ABC,$ un corte paralelo al cateto de longitud $3$ le da a $V_1$ un ángulo agudo con tangente $\frac{4}{3},$ que coincide, mientras que un corte paralelo al cateto de longitud $4$ da tangente $\frac{3}{4},$ que no puede coincidir. Así que el corte es paralelo al lado de longitud $3,$ y las bases paralelas de $V_1$ son el segmento cortado $s$ y el lado de longitud $3.$

La semejanza de los trapecios obliga a que $s : 3$ sea igual a la razón de las bases de $V_2,$ que es $\frac{7 - 9/2}{7} = \frac{5}{14}$ en el primer caso y $\frac{6 - 21/4}{6} = \frac{1}{8}$ en el segundo. Entonces $[U_1] = \left(\frac{s}{3}\right)^2 [ABC],$ lo que da $\left(\frac{5}{14}\right)^2 \cdot 6 = \frac{75}{98}$ o $\left(\frac{1}{8}\right)^2 \cdot 6 = \frac{3}{32}.$ El mínimo es $\frac{3}{32},$ así que $m + n = 3 + 32 = 35.$

A segment cuts the rectangle into a triangle and a trapezoid only if it runs from a vertex to a point on a nonadjacent side, so $U_2$ is a right triangle whose legs lie along two sides of the rectangle, one leg being a full side ( $6$ or $7$ ). Since $U_1 \sim U_2,$ the cut in the $3$ - $4$ - $5$ right triangle $ABC$ must also produce a right triangle, so it is parallel to a leg, and then $U_1 \sim ABC.$ Hence $U_2$ is a $3$ - $4$ - $5$ triangle too: its legs are $6$ and $\frac{9}{2}$ (full side $6$ ) or $7$ and $\frac{21}{4}$ (full side $7$ ); the other orientations need legs $8$ or $\frac{28}{3},$ which do not fit.

In both cases the trapezoid $V_2$ has two right angles and an acute angle between the cut and its longer base with tangent $\frac{6}{9/2} = \frac{7}{21/4} = \frac{4}{3}.$ In triangle $ABC,$ a cut parallel to the leg of length $3$ gives $V_1$ an acute angle with tangent $\frac{4}{3},$ matching, while a cut parallel to the leg of length $4$ gives tangent $\frac{3}{4},$ which cannot match. So the cut is parallel to the side of length $3,$ and the parallel bases of $V_1$ are the cut segment $s$ and the side of length $3.$

Similarity of the trapezoids forces $s : 3$ to equal the ratio of the bases of $V_2,$ which is $\frac{7 - 9/2}{7} = \frac{5}{14}$ in the first case and $\frac{6 - 21/4}{6} = \frac{1}{8}$ in the second. Then $[U_1] = \left(\frac{s}{3}\right)^2 [ABC],$ giving $\left(\frac{5}{14}\right)^2 \cdot 6 = \frac{75}{98}$ or $\left(\frac{1}{8}\right)^2 \cdot 6 = \frac{3}{32}.$ The minimum is $\frac{3}{32},$ so $m + n = 3 + 32 = 35.$

2004 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años