Question

Un círculo de radio $1$ se coloca al azar en un rectángulo $ABCD$ de $15$ por $36$ de modo que el círculo queda completamente dentro del rectángulo. Dado que la probabilidad de que el círculo no toque la diagonal $\overline{AC}$ es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A circle of radius $1$ is randomly placed in a $15$ -by- $36$ rectangle $ABCD$ so that the circle lies completely within the rectangle. Given that the probability that the circle will not touch diagonal $\overline{AC}$ is $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloca $A = (0, 0),$ $B = (36, 0),$ $C = (36, 15).$ Para que el círculo quede dentro del rectángulo, su centro debe estar en el rectángulo $[1, 35] \times [1, 14],$ de área $34 \cdot 13 = 442,$ y el centro se distribuye uniformemente allí. La diagonal $\overline{AC}$ está sobre la recta $5x - 12y = 0,$ y el círculo la evita exactamente cuando la distancia del centro $\frac{|5x - 12y|}{13}$ supera $1,$ es decir, $|5x - 12y| \gt 13.$

La recta $5x - 12y = 13$ corta a $y = 1$ en $x = 5$ y a $x = 35$ en $y = \frac{27}{2},$ así que debajo de la diagonal la región favorable es el triángulo rectángulo con vértices $(5, 1),$ $(35, 1),$ $(35, \tfrac{27}{2}),$ con catetos $30$ y $\frac{25}{2}$ y área $\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{25}{2} = \frac{375}{2}.$ Al girar $180^\circ$ alrededor del centro del rectángulo $(18, \tfrac{15}{2}),$ que está sobre la diagonal, el rectángulo interior y la diagonal se aplican en sí mismos, así que la región por encima de la diagonal tiene la misma área.

La probabilidad es $\frac{375}{442},$ y como $442 = 2 \cdot 13 \cdot 17$ no comparte ningún factor con $375 = 3 \cdot 5^3,$ obtenemos $m + n = 375 + 442 = 817.$

Place $A = (0, 0),$ $B = (36, 0),$ $C = (36, 15).$ For the circle to lie in the rectangle, its center must lie in the rectangle $[1, 35] \times [1, 14],$ of area $34 \cdot 13 = 442,$ and the center is uniformly distributed there. The diagonal $\overline{AC}$ lies on the line $5x - 12y = 0,$ and the circle misses it exactly when the center's distance $\frac{|5x - 12y|}{13}$ exceeds $1,$ that is, $|5x - 12y| \gt 13.$

The line $5x - 12y = 13$ meets $y = 1$ at $x = 5$ and $x = 35$ at $y = \frac{27}{2},$ so below the diagonal the favorable region is the right triangle with vertices $(5, 1),$ $(35, 1),$ $(35, \tfrac{27}{2}),$ with legs $30$ and $\frac{25}{2}$ and area $\frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{25}{2} = \frac{375}{2}.$ Rotating $180^\circ$ about the rectangle's center $(18, \tfrac{15}{2}),$ which lies on the diagonal, maps the inner rectangle and the diagonal to themselves, so the region above the diagonal has the same area.

The probability is $\frac{375}{442},$ and since $442 = 2 \cdot 13 \cdot 17$ shares no factor with $375 = 3 \cdot 5^3,$ we get $m + n = 375 + 442 = 817.$

2004 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años