Question

Sean

z_1 = 18 + 83\mathrm{i},

z_2 = 18 + 39\mathrm{i},

y

z_3 = 78 + 99\mathrm{i},

donde

\mathrm{i} = \sqrt{-1}.

Sea

z

el único número complejo con las propiedades de que

\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}

es un número real y la parte imaginaria de

z

es la mayor posible. Halla la parte real de

z.

Let

z_1 = 18 + 83\mathrm{i},

z_2 = 18 + 39\mathrm{i},

and

z_3 = 78 + 99\mathrm{i},

where

\mathrm{i} = \sqrt{-1}.

Let

z

be the unique complex number with the properties that

\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}

is a real number and the imaginary part of

z

is the greatest possible. Find the real part of

z.

Respuesta

Respuesta: 56

Conceptos:número complejo ángulo inscrito mediatriz

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

El producto dado es una razón doble; es real exactamente cuando

z

está sobre la circunferencia que pasa por

z_1,

z_2,

y

z_3

The given product is a cross-ratio; it is real exactly when

z

lies on the circle through

z_1,

z_2,

and

z_3

Pista grande:

El punto de una circunferencia con mayor parte imaginaria se sitúa directamente sobre el centro, así que interseca dos mediatrices para hallar el centro

The point of a circle with greatest imaginary part sits directly above the center, so intersect two perpendicular bisectors to find the center

Solución:

El argumento de

\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}

es el ángulo

\angle z_2 z_1 z_3,

y el argumento de

\frac{z - z_2}{z - z_3}

es el ángulo entre

\overline{zz_2}

y

\overline{zz_3}.

Su producto es real exactamente cuando estos ángulos son iguales o suplementarios, lo que por el teorema del ángulo inscrito ocurre exactamente cuando

z_1,

z_2,

z_3,

y

z

son concíclicos. Así que

z

está sobre la circunferencia circunscrita de

z_1,

z_2,

y

z_3.

El segmento de

18 + 39\mathrm{i}

a

18 + 83\mathrm{i}

es vertical, así que su mediatriz es la recta horizontal

y = 61.

El segmento de

z_2 = 18 + 39\mathrm{i}

a

z_3 = 78 + 99\mathrm{i}

tiene pendiente

1

y punto medio

(48, 69),

así que su mediatriz es

y - 69 = -(x - 48).

Haciendo

y = 61

se obtiene

x = 56,

así que el centro es

56 + 61\mathrm{i}.

El punto de la circunferencia con parte imaginaria máxima está directamente sobre el centro, así que la parte real de

z

es

56.

The argument of

\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}

is the angle

\angle z_2 z_1 z_3,

and the argument of

\frac{z - z_2}{z - z_3}

is the angle between

\overline{zz_2}

and

\overline{zz_3}.

Their product is real exactly when these angles are equal or supplementary, which by the inscribed angle theorem happens exactly when

z_1,

z_2,

z_3,

and

z

are concyclic. So

z

lies on the circumcircle of

z_1,

z_2,

and

z_3.

The segment from

18 + 39\mathrm{i}

to

18 + 83\mathrm{i}

is vertical, so its perpendicular bisector is the horizontal line

y = 61.

The segment from

z_2 = 18 + 39\mathrm{i}

to

z_3 = 78 + 99\mathrm{i}

has slope

1

and midpoint

(48, 69),

so its perpendicular bisector is

y - 69 = -(x - 48).

Setting

y = 61

gives

x = 56,

so the center is

56 + 61\mathrm{i}.

The point of the circle with maximal imaginary part is directly above the center, so the real part of

z

is

56.

2017 AIME I Problema 10

Respuesta: 56

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años