Question

Sean $z_1 = 18 + 83i,$ $z_2 = 18 + 39i,$ y $z_3 = 78 + 99i,$ donde $i = \sqrt{-1}.$ Sea $z$ el único número complejo con las propiedades de que $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}$ es un número real y la parte imaginaria de $z$ es la mayor posible. Halla la parte real de $z.$

Let $z_1 = 18 + 83i,$ $z_2 = 18 + 39i,$ and $z_3 = 78 + 99i,$ where $i = \sqrt{-1}.$ Let $z$ be the unique complex number with the properties that $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1} \cdot \frac{z - z_2}{z - z_3}$ is a real number and the imaginary part of $z$ is the greatest possible. Find the real part of $z.$

Respuesta

Solución:

El argumento de $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ es el ángulo $\angle z_2 z_1 z_3,$ y el argumento de $\frac{z - z_2}{z - z_3}$ es el ángulo entre $\overline{zz_2}$ y $\overline{zz_3}.$ Su producto es real exactamente cuando estos ángulos son iguales o suplementarios, lo que por el teorema del ángulo inscrito ocurre exactamente cuando $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ y $z$ son concíclicos. Así que $z$ está sobre la circunferencia circunscrita de $z_1, z_2, z_3.$

El segmento de $18 + 39i$ a $18 + 83i$ es vertical, así que su mediatriz es la recta horizontal $y = 61.$ El segmento de $z_2 = 18 + 39i$ a $z_3 = 78 + 99i$ tiene pendiente $1$ y punto medio $(48, 69),$ así que su mediatriz es $y - 69 = -(x - 48).$ Haciendo $y = 61$ se obtiene $x = 56,$ así que el centro es $56 + 61i.$

El punto de la circunferencia con parte imaginaria máxima está directamente sobre el centro, así que la parte real de $z$ es $56.$

The argument of $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ is the angle $\angle z_2 z_1 z_3,$ and the argument of $\frac{z - z_2}{z - z_3}$ is the angle between $\overline{zz_2}$ and $\overline{zz_3}.$ Their product is real exactly when these angles are equal or supplementary, which by the inscribed angle theorem happens exactly when $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ and $z$ are concyclic. So $z$ lies on the circumcircle of $z_1, z_2, z_3.$

The segment from $18 + 39i$ to $18 + 83i$ is vertical, so its perpendicular bisector is the horizontal line $y = 61.$ The segment from $z_2 = 18 + 39i$ to $z_3 = 78 + 99i$ has slope $1$ and midpoint $(48, 69),$ so its perpendicular bisector is $y - 69 = -(x - 48).$ Setting $y = 61$ gives $x = 56,$ so the center is $56 + 61i.$

The point of the circle with maximal imaginary part is directly above the center, so the real part of $z$ is $56.$

2017 AIME I Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años