Question

Dado que $\mathcal{O}$ es un octaedro regular, que $\mathcal{C}$ es el cubo cuyos vértices son los centros de las caras de $\mathcal{O}$ , y que la razón del volumen de $\mathcal{O}$ al de $\mathcal{C}$ es $\frac{m}{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n$ .

Given that $\mathcal{O}$ is a regular octahedron, that $\mathcal{C}$ is the cube whose vertices are the centers of the faces of $\mathcal{O},$ and that the ratio of the volume of $\mathcal{O}$ to that of $\mathcal{C}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Coloca los vértices del octaedro en $(\pm 1, 0, 0)$ , $(0, \pm 1, 0)$ , $(0, 0, \pm 1)$ . Es dos pirámides de base cuadrada pegadas a lo largo del cuadrado con vértices $(\pm 1, 0, 0)$ y $(0, \pm 1, 0)$ , que tiene área $2$ , y cada pirámide tiene altura $1$ , así que $V_{\mathcal{O}} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{4}{3}.$

Cada centroide de cara es el promedio de los tres vértices de esa cara, por ejemplo $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$ , así que el cubo tiene vértices $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$ . Su arista es $\frac{2}{3}$ y su volumen es $\frac{8}{27}$ .

La razón es $\frac{4/3}{8/27} = \frac{9}{2}$ , así que $m + n = 9 + 2 = 11$ .

Place the octahedron's vertices at $(\pm 1, 0, 0),$ $(0, \pm 1, 0),$ $(0, 0, \pm 1).$ It is two square pyramids glued along the square with vertices $(\pm 1, 0, 0)$ and $(0, \pm 1, 0),$ which has area $2,$ and each pyramid has height $1,$ so $V_{\mathcal{O}} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{4}{3}.$

Each face centroid is the average of that face's three vertices, e.g. $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right),$ so the cube has vertices $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right).$ Its edge is $\frac{2}{3}$ and its volume is $\frac{8}{27}.$

The ratio is $\frac{4/3}{8/27} = \frac{9}{2},$ so $m + n = 9 + 2 = 11.$

2005 AIME II Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años