Question

Dado que $\mathcal{O}$ es un octaedro regular, que $\mathcal{C}$ es el cubo cuyos vértices son los centros de las caras de $\mathcal{O},$ y que la razón del volumen de $\mathcal{O}$ al de $\mathcal{C}$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

Given that $\mathcal{O}$ is a regular octahedron, that $\mathcal{C}$ is the cube whose vertices are the centers of the faces of $\mathcal{O},$ and that the ratio of the volume of $\mathcal{O}$ to that of $\mathcal{C}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 11

Conceptos:Geometría 3D volumen geometría analítica

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Coloca los vértices del octaedro en $(\pm 1, 0, 0),$ $(0, \pm 1, 0),$ $(0, 0, \pm 1)$ y míralo como dos pirámides de base cuadrada.

Place the octahedron’s vertices at $(\pm 1, 0, 0),$ $(0, \pm 1, 0),$ $(0, 0, \pm 1)$ and view it as two square pyramids

Pista grande:

El centroide de cada cara es el promedio de sus tres vértices, así que los vértices del cubo son $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right).$

Each face centroid is the average of its three vertices, so the cube’s vertices are $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$

Solución:

Coloca los vértices del octaedro en $(\pm 1, 0, 0),$ $(0, \pm 1, 0),$ $(0, 0, \pm 1).$ Está formado por dos pirámides de base cuadrada unidas por el cuadrado con vértices $(\pm 1, 0, 0)$ y $(0, \pm 1, 0),$ cuya área es $2.$ Cada pirámide tiene altura $1,$ así que $V_{\mathcal{O}} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{4}{3}.$

Cada centroide de cara es el promedio de los tres vértices de esa cara, por ejemplo $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right),$ así que el cubo tiene vértices $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right).$ Su arista es $\frac{2}{3}$ y su volumen es $\frac{8}{27}.$

La razón es $\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{27}} = \frac{9}{2},$ así que $m + n = 9 + 2 = 11.$

Place the octahedron’s vertices at $(\pm 1, 0, 0),$ $(0, \pm 1, 0),$ $(0, 0, \pm 1).$ It is two square pyramids glued along the square with vertices $(\pm 1, 0, 0)$ and $(0, \pm 1, 0),$ which has area $2,$ and each pyramid has height $1,$ so $V_{\mathcal{O}} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{4}{3}.$

Each face centroid is the average of that face’s three vertices, e.g. $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right),$ so the cube has vertices $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right).$ Its edge is $\frac{2}{3}$ and its volume is $\frac{8}{27}.$

The ratio is $\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{27}} = \frac{9}{2},$ so $m + n = 9 + 2 = 11.$

2005 AIME II Problema 10

Respuesta: 11

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años