Respuesta: 13

Solución:

La condición dice que $\binom{n}{6} = 6\binom{n}{3}$. Dividiendo los coeficientes binomiales, $$\begin{aligned} \frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}} &= \frac{(n-3)(n-4)(n-5)}{6 \cdot 5 \cdot 4} \\ &= 6, \end{aligned}$$ así que $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ $= 10 \cdot 9 \cdot 8$.

Como el producto $(n-3)(n-4)(n-5)$ es creciente en $n$, la única solución es $n - 3 = 10$, es decir, $n = 13$.

Respuesta: 79

Solución:

Llena la bolsa del primer huésped de a un panecillo por vez. El primer panecillo puede ser cualquiera; el segundo debe evitar los $2$ panecillos restantes del tipo del primero, con probabilidad de éxito $\frac{6}{8}$; y el tercero debe ser uno de los $3$ panecillos del tipo faltante entre los $7$ restantes. Así que la primera bolsa tiene uno de cada tipo con probabilidad $\frac{6}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{28}$.

Dado eso, quedan seis panecillos, dos de cada tipo, y el mismo argumento da $\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{5}$ para la segunda bolsa. La tercera bolsa queda entonces automáticamente con uno de cada tipo. La probabilidad es $\frac{9}{28} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{70}$, así que $m + n = 9 + 70 = 79$.

Respuesta: 802

Solución:

Sea la serie original con primer término $a$ y razón $r$, de modo que $\frac{a}{1-r} = 2005$. La serie de los cuadrados es geométrica con primer término $a^2$ y razón $r^2$, así que $$\begin{aligned} \frac{a^2}{1-r^2} &= \frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 2005 \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 10 \cdot 2005, \end{aligned}$$ lo cual da $\frac{a}{1+r} = 10$.

Dividiendo las dos ecuaciones, $\frac{1+r}{1-r} = \frac{2005}{10}$, así que $2(1+r) = 401(1-r)$, lo que da $403r = 399$ y $r = \frac{399}{403}$. Como $399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$ y $403 = 13 \cdot 31$, la fracción está en su forma más simple, y $m + n = 399 + 403 = 802$.

Respuesta: 435

Solución:

A partir de las factorizaciones $10^{10} = 2^{10} 5^{10}$, $15^7 = 3^7 5^7$, y $18^{11} = 2^{11} 3^{22}$, las cantidades de divisores son $11 \cdot 11 = 121$, $8 \cdot 8 = 64$, y $12 \cdot 23 = 276$.

Los divisores comunes a dos de los números son exactamente los divisores de su máximo común divisor: $\gcd(10^{10}, 15^7) = 5^7$ tiene $8$ divisores, $\gcd(10^{10}, 18^{11}) = 2^{10}$ tiene $11$, y $\gcd(15^7, 18^{11}) = 3^7$ tiene $8$. Solo $1$ divide a los tres números.

Por inclusión-exclusión, la cantidad es $121 + 64 + 276$ $- 8 - 11 - 8 + 1$ $= 435$.

Respuesta: 54

Solución:

Sea $x = \log_a b$. Como $\log_b a = \frac{1}{x}$, la ecuación se vuelve $x + \frac{6}{x} = 5$, es decir, $x^2 - 5x + 6 = 0$, así que $x = 2$ o $x = 3$. Eso significa que $b = a^2$ o $b = a^3$.

Para $b = a^2 \le 2005$ necesitamos $2 \le a \le 44$ (ya que $44^2 = 1936$ y $45^2 = 2025$), lo que da $43$ pares. Para $b = a^3 \le 2005$ necesitamos $2 \le a \le 12$ (ya que $12^3 = 1728$ y $13^3 = 2197$), lo que da $11$ pares.

En total hay $43 + 11 = 54$ pares ordenados.

Respuesta: 392

Solución:

El nuevo montón, leído de abajo hacia arriba, es $n+1,\ 1,\ n+2,\ 2,\ \ldots,\ 2n,\ n$. Así que las cartas del montón $B$ ocupan las posiciones pares desde arriba en orden inverso, y las cartas del montón $A$ ocupan las posiciones impares en orden inverso: una carta en la posición original $i \le n$ (montón $A$) se mueve a la posición $2(n - i) + 1$, mientras que una carta en la posición $i \gt n$ (montón $B$) se mueve a la posición $2(2n - i) + 2$.

Como $131$ es impar, la carta $131$ puede conservar su posición solo si proviene del montón $A$, así que $131 = 2(n - 131) + 1$, lo que da $n = 196$. En efecto $131 \le 196$, y el montón es mágico porque la carta $262$ del montón $B$ también queda fija: $2(2n - 262) + 2 = 262$. El montón tiene $2n = 392$ cartas.

Respuesta: 125

Solución:

Sea $y = \sqrt[16]{5}$. Multiplicar el numerador y el denominador por $y - 1$ hace que el denominador se telescope por diferencias de cuadrados repetidas: $$\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4(y-1)}{(y^8+1)(y^4+1)(y^2+1)(y+1)(y-1)} \\ &= \frac{4(y-1)}{y^{16} - 1} \\ &= \frac{4(y-1)}{4} \\ &= y - 1. \end{aligned}$$

Por lo tanto $x + 1 = y = 5^{1/16}$, y $(x+1)^{48} = 5^{48/16} = 5^3 = 125$.

Respuesta: 405

Solución:

Sean $P_1$, $P_2$, $P_3$ los centros de los círculos y $R$ el radio de $\mathcal{C}_3$. La tangencia exterior da $P_1P_2 = 4 + 10 = 14$, y la tangencia interior da $P_3P_1 = R - 4$ y $P_3P_2 = R - 10$. Como los centros son colineales, $(R - 4) + (R - 10) = 14$, así que $R = 14$ y $P_3$ está sobre $\overline{P_1P_2}$ con $P_3P_1 = 10$ y $P_3P_2 = 4$.

Traza las perpendiculares $P_1X$, $P_2Y$, $P_3Z$ a la cuerda, de modo que $P_1X = 4$, $P_2Y = 10$, y $Z$ es el punto medio de la cuerda. La distancia desde un punto que se mueve a lo largo de la recta $P_1P_2$ hasta la recta tangente cambia linealmente, y $P_3$ está a $\frac{10}{14}$ del camino de $P_1$ a $P_2$, así que $$P_3Z = 4 + \frac{10}{14}(10 - 4) = \frac{58}{7}.$$

La semicuerda es $\sqrt{14^2 - \left(\frac{58}{7}\right)^2}$ $= \frac{\sqrt{9604 - 3364}}{7}$ $= \frac{4\sqrt{390}}{7}$, así que la cuerda tiene longitud $\frac{8\sqrt{390}}{7}$. Como $390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ es libre de cuadrados y $\gcd(8, 7) = 1$, la respuesta es $m + n + p = 8 + 390 + 7 = 405$.

Respuesta: 250

Solución:

Como $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i \sin t)$ y $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt)$, el teorema de de Moivre (aplicado al ángulo $-t$) da $$\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= i^n(\cos t - i\sin t)^n \\ &= i^n(\cos nt - i \sin nt). \end{aligned}$$

Así que la ecuación se cumple para todo real $t$ exactamente cuando $i^n = i$, es decir, cuando $n \equiv 1 \pmod 4$. Los valores $n = 1, 5, 9, \ldots, 997$ dan exactamente $250$ enteros positivos hasta $1000$.

Respuesta: 11

Solución:

Coloca los vértices del octaedro en $(\pm 1, 0, 0)$, $(0, \pm 1, 0)$, $(0, 0, \pm 1)$. Es dos pirámides de base cuadrada pegadas a lo largo del cuadrado con vértices $(\pm 1, 0, 0)$ y $(0, \pm 1, 0)$, que tiene área $2$, y cada pirámide tiene altura $1$, así que $$V_{\mathcal{O}} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{4}{3}.$$

Cada centroide de cara es el promedio de los tres vértices de esa cara, por ejemplo $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$, así que el cubo tiene vértices $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$. Su arista es $\frac{2}{3}$ y su volumen es $\frac{8}{27}$.

La razón es $\frac{4/3}{8/27} = \frac{9}{2}$, así que $m + n = 9 + 2 = 11$.

Respuesta: 889

Solución:

Multiplicar la recurrencia por $a_k$ da $a_{k+1} a_k = a_k a_{k-1} - 3$, así que los productos $b_k = a_k a_{k-1}$ forman una sucesión aritmética con diferencia común $-3$. Como $b_1 = 72 \cdot 37 = 2664 = 3 \cdot 888$, obtenemos $$\begin{aligned} b_k &= 2664 - 3(k - 1) \\ &= 3(889 - k). \end{aligned}$$

Así que $b_k \gt 0$ para $k \le 888$, de modo que ningún término antes de $a_{889}$ puede anularse (y la recurrencia nunca divide por cero), mientras que $b_{889} = a_{889} a_{888} = 0$ con $a_{888} \ne 0$. Por lo tanto $a_{889} = 0$, y $m = 889$.

Respuesta: 307

Solución:

Sea $G$ el punto medio de $\overline{AB}$, de modo que $OG \perp AB$ y $OG = 450$. Con $\alpha = \angle EOG$ y $\beta = \angle FOG$ a ambos lados del rayo $OG$, tenemos $EG = 450\tan\alpha$, $FG = 450\tan\beta$, y $\alpha + \beta = 45^\circ$. De $EG + FG = EF = 400$, obtenemos $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}$.

La fórmula de la tangente de la suma da $$1 = \tan 45^\circ = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta},$$ así que $\tan\alpha\tan\beta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Por lo tanto $\tan\alpha$ y $\tan\beta$ son las raíces de $9t^2 - 8t + 1 = 0$, a saber $\frac{4 \pm \sqrt{7}}{9}$.

Como $AE = 450 - EG$ y $BF = 450 - FG$, la condición $AE \lt BF$ significa $EG \gt FG$, así que $\tan\beta = \frac{4 - \sqrt{7}}{9}$. Entonces $BF = 450 - 450 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{9}$ $= 250 + 50\sqrt{7}$, y $p + q + r = 250 + 50 + 7 = 307$.