2005 AIME II — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

3:00:00

1.

Un juego usa una baraja de $n$ cartas distintas, donde $n$ es un entero y $n \ge 6.$ La cantidad de conjuntos posibles de $6$ cartas que se pueden sacar de la baraja es $6$ veces la cantidad de conjuntos posibles de $3$ cartas que se pueden sacar. Halla $n.$

A game uses a deck of $n$ different cards, where $n$ is an integer and $n \ge 6.$ The number of possible sets of $6$ cards that can be drawn from the deck is $6$ times the number of possible sets of $3$ cards that can be drawn. Find $n.$

Respuesta

Respuesta: 13

Conceptos:combinaciones factorial

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Escribe la razón $\frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}}$ en factoriales; casi todo se cancela.

Write the ratio $\frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}}$ in factorials; almost everything cancels

Pista grande:

Resuelve $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ escribiendo $720 = 10 \cdot 9 \cdot 8.$

Solve $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ by writing $720 = 10 \cdot 9 \cdot 8$

Solución:

La condición dice que $\binom{n}{6} = 6\binom{n}{3}.$ Dividiendo los coeficientes binomiales, $\begin{aligned} \frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}} &= \frac{(n-3)(n-4)(n-5)}{6 \cdot 5 \cdot 4} \\ &= 6, \end{aligned}$ así que $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ $= 10 \cdot 9 \cdot 8.$

Como el producto $(n-3)(n-4)(n-5)$ es creciente en $n,$ la única solución es $n - 3 = 10,$ es decir, $n = 13.$

The condition says $\binom{n}{6} = 6\binom{n}{3}.$ Dividing the binomial coefficients, $\begin{aligned} \frac{\binom{n}{6}}{\binom{n}{3}} &= \frac{(n-3)(n-4)(n-5)}{6 \cdot 5 \cdot 4} \\ &= 6, \end{aligned}$ so $(n-3)(n-4)(n-5) = 720$ $= 10 \cdot 9 \cdot 8.$

Since the product $(n-3)(n-4)(n-5)$ is increasing in $n,$ the only solution is $n - 3 = 10,$ that is, $n = 13.$

2.

Un hotel empaquetó un desayuno para cada uno de tres huéspedes. Cada desayuno debía consistir en tres tipos de panecillos, uno de nuez, uno de queso y uno de fruta. La encargada envolvió cada uno de los nueve panecillos y, una vez envueltos, los panecillos eran indistinguibles entre sí. Luego colocó al azar tres panecillos en una bolsa para cada uno de los huéspedes. Dado que la probabilidad de que cada huésped reciba un panecillo de cada tipo es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

A hotel packed a breakfast for each of three guests. Each breakfast should have consisted of three types of rolls, one each of nut, cheese, and fruit rolls. The preparer wrapped each of the nine rolls, and, once they were wrapped, the rolls were indistinguishable from one another. She then randomly put three rolls in a bag for each of the guests. Given that the probability that each guest got one roll of each type is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 79

Conceptos:muestreo sin reemplazo probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Halla la probabilidad de que la bolsa del primer huésped contenga uno de cada tipo extrayendo los tres panecillos uno a uno.

Find the chance the first guest’s bag has one roll of each type by drawing its three rolls one at a time

Pista grande:

Suponiendo que la primera bolsa es correcta, la segunda se llena con los seis panecillos restantes, dos de cada tipo; el contenido de la tercera queda entonces determinado.

Given the first bag is good, the second bag draws from six rolls, two of each type; the third bag is then forced

Solución:

Llena la bolsa del primer huésped de a un panecillo por vez. El primer panecillo puede ser cualquiera; el segundo debe evitar los $2$ panecillos restantes del tipo del primero, con probabilidad de éxito $\frac{6}{8};$ y el tercero debe ser uno de los $3$ panecillos del tipo faltante entre los $7$ restantes. Así que la primera bolsa tiene uno de cada tipo con probabilidad $\frac{6}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{28}.$

En esas condiciones, quedan seis panecillos, dos de cada tipo, y el mismo argumento da $\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{5}$ para la segunda bolsa. La tercera bolsa contiene entonces automáticamente uno de cada tipo. La probabilidad es $\frac{9}{28} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{70},$ así que $m + n = 9 + 70 = 79.$

Fill the first guest’s bag one roll at a time. The first roll can be anything; the second must avoid the $2$ remaining rolls of the first roll’s type, succeeding with probability $\frac{6}{8};$ and the third must be one of the $3$ rolls of the missing type among the remaining $7.$ So the first bag has one roll of each type with probability $\frac{6}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{9}{28}.$

Given that, six rolls remain, two of each type, and the same argument gives $\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{2}{5}$ for the second bag. The third bag is then automatically one of each type. The probability is $\frac{9}{28} \cdot \frac{2}{5} = \frac{9}{70},$ so $m + n = 9 + 70 = 79.$

3.

Una serie geométrica infinita tiene suma $2005.$ Una nueva serie, obtenida al elevar al cuadrado cada término de la serie original, tiene suma igual a $10$ veces la suma de la serie original. La razón común de la serie original es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

An infinite geometric series has sum $2005.$ A new series, obtained by squaring each term of the original series, has sum $10$ times the sum of the original series. The common ratio of the original series is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 802

Conceptos:sucesión geométrica diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

La serie de los cuadrados también es geométrica, con primer término $a^2$ y razón $r^2.$

The squared series is also geometric, with first term $a^2$ and ratio $r^2$

Pista grande:

Factoriza $\frac{a^2}{1-r^2} = \frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r}$ para obtener $\frac{a}{1+r} = 10,$ y luego compara con $\frac{a}{1-r} = 2005.$

Factor $\frac{a^2}{1-r^2} = \frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r}$ to get $\frac{a}{1+r} = 10,$ then compare with $\frac{a}{1-r} = 2005$

Solución:

Sean $a$ y $r$ el primer término y la razón de la serie original, respectivamente, de modo que $\frac{a}{1-r} = 2005.$ La serie de los cuadrados es geométrica con primer término $a^2$ y razón $r^2,$ así que $\begin{aligned} \frac{a^2}{1-r^2} &= \frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 2005 \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 10 \cdot 2005, \end{aligned}$ lo cual da $\frac{a}{1+r} = 10.$

Dividiendo las dos ecuaciones, $\frac{1+r}{1-r} = \frac{2005}{10},$ así que $2(1+r) = 401(1-r),$ lo que da $403r = 399$ y $r = \frac{399}{403}.$ Como $399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$ y $403 = 13 \cdot 31,$ la fracción está en su forma más simple, y $m + n = 399 + 403 = 802.$

Let the original series have first term $a$ and ratio $r,$ so $\frac{a}{1-r} = 2005.$ The squared series is geometric with first term $a^2$ and ratio $r^2,$ so $\begin{aligned} \frac{a^2}{1-r^2} &= \frac{a}{1-r} \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 2005 \cdot \frac{a}{1+r} \\ &= 10 \cdot 2005, \end{aligned}$ which gives $\frac{a}{1+r} = 10.$

Dividing the two equations, $\frac{1+r}{1-r} = \frac{2005}{10},$ so $2(1+r) = 401(1-r),$ giving $403r = 399$ and $r = \frac{399}{403}.$ Since $399 = 3 \cdot 7 \cdot 19$ and $403 = 13 \cdot 31,$ the fraction is in lowest terms, and $m + n = 399 + 403 = 802.$

4.

Halla la cantidad de enteros positivos que son divisores de al menos uno de $10^{10},$ $15^7,$ $18^{11}.$

Find the number of positive integers that are divisors of at least one of $10^{10},$ $15^7,$ $18^{11}.$

Respuesta

Respuesta: 435

Conceptos:conteo de factores inclusión-exclusión máximo común divisor

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Cuenta los divisores de cada número a partir de su factorización en primos y luego corrige el conteo repetido.

Count the divisors of each number from its prime factorization, then fix the overcounting

Pista grande:

Los divisores comunes de dos de los números son exactamente los divisores de su máximo común divisor, por ejemplo $\gcd(10^{10}, 15^7) = 5^7.$

The common divisors of two of the numbers are exactly the divisors of their gcd, e.g. $\gcd(10^{10}, 15^7) = 5^7$

Solución:

A partir de las factorizaciones $10^{10} = 2^{10} 5^{10},$ $15^7 = 3^7 5^7$ y $18^{11} = 2^{11} 3^{22},$ las cantidades de divisores son $11 \cdot 11 = 121,$ $8 \cdot 8 = 64$ y $12 \cdot 23 = 276.$

Los divisores comunes a dos de los números son exactamente los divisores de su máximo común divisor: $\gcd(10^{10}, 15^7) = 5^7$ tiene $8$ divisores, $\gcd(10^{10}, 18^{11}) = 2^{10}$ tiene $11$ y $\gcd(15^7, 18^{11}) = 3^7$ tiene $8.$ Solo $1$ divide a los tres números.

Por inclusión-exclusión, la cantidad es $121 + 64 + 276$ $- 8 - 11 - 8 + 1$ $= 435.$

From the factorizations $10^{10} = 2^{10} 5^{10},$ $15^7 = 3^7 5^7,$ and $18^{11} = 2^{11} 3^{22},$ the divisor counts are $11 \cdot 11 = 121,$ $8 \cdot 8 = 64,$ and $12 \cdot 23 = 276.$

The divisors common to two of the numbers are exactly the divisors of their gcd: $\gcd(10^{10}, 15^7) = 5^7$ has $8$ divisors, $\gcd(10^{10}, 18^{11}) = 2^{10}$ has $11,$ and $\gcd(15^7, 18^{11}) = 3^7$ has $8.$ Only $1$ divides all three numbers.

By inclusion-exclusion, the count is $121 + 64 + 276$ $- 8 - 11 - 8 + 1$ $= 435.$

5.

Determina la cantidad de pares ordenados $(a, b)$ de enteros tales que $\log_a b + 6\log_b a = 5,$ $2 \le a \le 2005$ y $2 \le b \le 2005.$

Determine the number of ordered pairs $(a, b)$ of integers such that $\log_a b + 6\log_b a = 5,$ $2 \le a \le 2005,$ and $2 \le b \le 2005.$

Respuesta

Respuesta: 54

Conceptos:logaritmo cuadrática conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pon $x = \log_a b;$ como $\log_b a = \frac{1}{x},$ la ecuación se vuelve $x + \frac{6}{x} = 5.$

Set $x = \log_a b;$ since $\log_b a = \frac{1}{x},$ the equation becomes $x + \frac{6}{x} = 5$

Pista grande:

Los dos casos son $b = a^2$ y $b = a^3;$ cuenta cuántos $a \ge 2$ mantienen $b \le 2005$ en cada caso.

The two cases are $b = a^2$ and $b = a^3;$ count how many $a \ge 2$ keep $b \le 2005$ in each

Solución:

Sea $x = \log_a b.$ Como $\log_b a = \frac{1}{x},$ la ecuación se vuelve $x + \frac{6}{x} = 5,$ es decir, $x^2 - 5x + 6 = 0,$ así que $x = 2$ o $x = 3.$ Eso significa que $b = a^2$ o $b = a^3.$

Para $b = a^2 \le 2005$ necesitamos $2 \le a \le 44$ (ya que $44^2 = 1936$ y $45^2 = 2025$ ), lo que da $43$ pares. Para $b = a^3 \le 2005$ necesitamos $2 \le a \le 12$ (ya que $12^3 = 1728$ y $13^3 = 2197$ ), lo que da $11$ pares.

En total hay $43 + 11 = 54$ pares ordenados.

Let $x = \log_a b.$ Since $\log_b a = \frac{1}{x},$ the equation becomes $x + \frac{6}{x} = 5,$ i.e. $x^2 - 5x + 6 = 0,$ so $x = 2$ or $x = 3.$ That means $b = a^2$ or $b = a^3.$

For $b = a^2 \le 2005$ we need $2 \le a \le 44$ (since $44^2 = 1936$ and $45^2 = 2025$ ), giving $43$ pairs. For $b = a^3 \le 2005$ we need $2 \le a \le 12$ (since $12^3 = 1728$ and $13^3 = 2197$ ), giving $11$ pairs.

In total there are $43 + 11 = 54$ ordered pairs.

6.

Las cartas de un montón de $2n$ cartas están numeradas consecutivamente de $1$ a $2n$ de arriba hacia abajo. Se quitan las $n$ cartas de arriba, se mantienen en orden y forman el montón $A.$ Las cartas restantes forman el montón $B.$ Ahora las cartas se reapilan en un solo montón tomando cartas alternadamente de las partes superiores del montón $B$ y del montón $A,$ respectivamente. En este proceso, la carta número $(n + 1)$ es la carta del fondo del nuevo montón, la carta número $1$ queda encima de esta, y así sucesivamente, hasta que se agotan los montones $A$ y $B.$ Si, tras el proceso de reapilado, al menos una carta de cada montón ocupa la misma posición que ocupaba en el montón original, se dice que el montón es mágico. Por ejemplo, ocho cartas forman un montón mágico porque las cartas número $3$ y número $6$ conservan sus posiciones originales. Halla la cantidad de cartas del montón mágico en el que la carta número $131$ conserva su posición original.

The cards in a stack of $2n$ cards are numbered consecutively from $1$ through $2n$ from top to bottom. The top $n$ cards are removed, kept in order, and form pile $A.$ The remaining cards form pile $B.$ The cards are now restacked into a single stack by taking cards alternately from the tops of pile $B$ and pile $A,$ respectively. In this process, card number $(n + 1)$ is the bottom card of the new stack, card number $1$ is on top of this card, and so on, until piles $A$ and $B$ are exhausted. If, after the restacking process, at least one card from each pile occupies the same position that it occupied in the original stack, the stack is called magical. For example, eight cards form a magical stack because cards number $3$ and number $6$ retain their original positions. Find the number of cards in the magical stack in which card number $131$ retains its original position.

Respuesta

Respuesta: 392

Conceptos:permutaciones paridad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Tras reapilar, las cartas del montón $A$ ocupan las posiciones impares desde arriba en orden inverso, y las del montón $B$ ocupan las posiciones pares.

After restacking, pile $A$ ’s cards fill the odd positions from the top in reverse order, and pile $B$ ’s fill the even positions

Pista grande:

La carta $131$ debe provenir del montón $A,$ y una carta del montón $A$ en la posición $i$ va a parar a la posición $2(n-i)+1.$

Card $131$ must come from pile $A,$ and a pile- $A$ card at position $i$ lands at position $2(n-i)+1$

Solución:

El nuevo montón, leído de abajo hacia arriba, es $n+1,\ 1,\ n+2,\ 2,\ \ldots,\ 2n,\ n.$ Así que las cartas del montón $B$ ocupan las posiciones pares desde arriba en orden inverso, y las cartas del montón $A$ ocupan las posiciones impares en orden inverso: una carta en la posición original $i \le n$ (montón $A$ ) se mueve a la posición $2(n - i) + 1,$ mientras que una carta en la posición $i \gt n$ (montón $B$ ) se mueve a la posición $2(2n - i) + 2.$

Como $131$ es impar, la carta $131$ puede conservar su posición solo si proviene del montón $A,$ así que $131 = 2(n - 131) + 1,$ lo que da $n = 196.$ En efecto $131 \le 196,$ y el montón es mágico porque la carta $262$ del montón $B$ también queda fija: $2(2n - 262) + 2 = 262.$ El montón tiene $2n = 392$ cartas.

The new stack, read from the bottom up, is $n+1,\ 1,\ n+2,\ 2,\ \ldots,\ 2n,\ n.$ So pile $B$ ’s cards occupy the even positions from the top in reverse order, and pile $A$ ’s cards occupy the odd positions in reverse order: a card at original position $i \le n$ (pile $A$ ) moves to position $2(n - i) + 1,$ while a card at position $i \gt n$ (pile $B$ ) moves to position $2(2n - i) + 2.$

Since $131$ is odd, card $131$ can keep its position only if it comes from pile $A,$ so $131 = 2(n - 131) + 1,$ which gives $n = 196.$ Indeed $131 \le 196,$ and the stack is magical because card $262$ from pile $B$ also stays fixed: $2(2n - 262) + 2 = 262.$ The stack has $2n = 392$ cards.

7.

Sea $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}. \end{aligned}$ Halla $(x + 1)^{48}.$

Let $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt[4]{5} + 1)(\sqrt[8]{5} + 1)(\sqrt[16]{5} + 1)}. \end{aligned}$ Find $(x + 1)^{48}.$

Respuesta

Respuesta: 125

Conceptos:telescópica diferencia de cuadrados radical

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pon $y = \sqrt[16]{5}$ y multiplica el numerador y el denominador por $y - 1.$

Let $y = \sqrt[16]{5}$ and multiply the numerator and denominator by $y - 1$

Pista grande:

La aplicación repetida de la diferencia de cuadrados simplifica el denominador a $y^{16} - 1 = 4.$

Repeated difference of squares collapses the denominator to $y^{16} - 1 = 4$

Solución:

Sea $y = \sqrt[16]{5}.$ Al multiplicar el numerador y el denominador por $y - 1,$ las aplicaciones sucesivas de la diferencia de cuadrados producen cancelación telescópica en el denominador: $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4(y-1)}{(y^8+1)(y^4+1)(y^2+1)(y+1)(y-1)} \\ &= \frac{4(y-1)}{y^{16} - 1} \\ &= \frac{4(y-1)}{4} \\ &= y - 1. \end{aligned}$

Por lo tanto $x + 1 = y = 5^{\frac{1}{16}},$ y $(x+1)^{48} = 5^{\frac{48}{16}} = 5^3 = 125.$

Let $y = \sqrt[16]{5}.$ Multiplying the numerator and denominator by $y - 1$ telescopes the denominator by repeated difference of squares: $\begin{aligned} x &= \scriptsize \frac{4(y-1)}{(y^8+1)(y^4+1)(y^2+1)(y+1)(y-1)} \\ &= \frac{4(y-1)}{y^{16} - 1} \\ &= \frac{4(y-1)}{4} \\ &= y - 1. \end{aligned}$

Hence $x + 1 = y = 5^{\frac{1}{16}},$ and $(x+1)^{48} = 5^{\frac{48}{16}} = 5^3 = 125.$

8.

Los círculos $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son tangentes exteriormente y ambos son tangentes interiormente al círculo $\mathcal{C}_3.$ Los radios de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ son $4$ y $10,$ respectivamente, y los centros de los tres círculos son colineales. Una cuerda de $\mathcal{C}_3$ es también una tangente exterior común de $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2.$ Dado que la longitud de la cuerda es $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ donde $m,$ $n$ y $p$ son enteros positivos, $m$ y $p$ son primos entre sí y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $m + n + p.$

Circles $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ are externally tangent, and they are both internally tangent to circle $\mathcal{C}_3.$ The radii of $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2$ are $4$ and $10,$ respectively, and the centers of the three circles are all collinear. A chord of $\mathcal{C}_3$ is also a common external tangent of $\mathcal{C}_1$ and $\mathcal{C}_2.$ Given that the length of the chord is $\frac{m\sqrt{n}}{p},$ where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers, $m$ and $p$ are relatively prime, and $n$ is not divisible by the square of any prime, find $m + n + p.$

Respuesta

Respuesta: 405

Conceptos:circunferencias tangentes cuerda Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

La tangencia obliga a que $\mathcal{C}_3$ tenga radio $14,$ con su centro sobre el segmento que une los otros dos centros, a $10$ del centro de $\mathcal{C}_1.$

Tangency forces $\mathcal{C}_3$ to have radius $14,$ with its center on the segment joining the other two centers, $10$ from $\mathcal{C}_1$ ’s center

Pista grande:

Las distancias desde los centros colineales a la recta tangente varían linealmente: la del medio es $4 + \frac{10}{14}(10 - 4).$ Luego usa el triángulo rectángulo formado por la mitad de la cuerda.

Distances from the collinear centers to the tangent line vary linearly: the middle one is $4 + \frac{10}{14}(10 - 4).$ Then use the half-chord right triangle.

Solución:

Sean $P_1,$ $P_2$ y $P_3$ los centros de los círculos, y sea $R$ el radio de $\mathcal{C}_3.$ La tangencia exterior da $P_1P_2 = 4 + 10 = 14,$ y la tangencia interior da $P_3P_1 = R - 4$ y $P_3P_2 = R - 10.$ Como los centros son colineales, $(R - 4) + (R - 10) = 14,$ así que $R = 14$ y $P_3$ está sobre $\overline{P_1P_2}$ con $P_3P_1 = 10$ y $P_3P_2 = 4.$

Traza las perpendiculares $P_1X,$ $P_2Y$ y $P_3Z$ a la cuerda, de modo que $P_1X = 4,$ $P_2Y = 10$ y $Z$ es el punto medio de la cuerda. La distancia hasta la recta tangente varía linealmente al desplazarse por $P_1P_2,$ y $P_3$ está a $\frac{10}{14}$ del trayecto desde $P_1$ hasta $P_2,$ así que $P_3Z = 4 + \frac{10}{14}(10 - 4) = \frac{58}{7}.$

La semicuerda es $\sqrt{14^2 - \left(\frac{58}{7}\right)^2}$ $= \frac{\sqrt{9604 - 3364}}{7}$ $= \frac{4\sqrt{390}}{7},$ así que la cuerda tiene longitud $\frac{8\sqrt{390}}{7}.$ Como $390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ es libre de cuadrados y $\gcd(8, 7) = 1,$ la respuesta es $m + n + p = 8 + 390 + 7 = 405.$

Let $P_1,$ $P_2,$ $P_3$ be the centers of the circles and $R$ the radius of $\mathcal{C}_3.$ External tangency gives $P_1P_2 = 4 + 10 = 14,$ and internal tangency gives $P_3P_1 = R - 4$ and $P_3P_2 = R - 10.$ Since the centers are collinear, $(R - 4) + (R - 10) = 14,$ so $R = 14$ and $P_3$ lies on $\overline{P_1P_2}$ with $P_3P_1 = 10$ and $P_3P_2 = 4.$

Drop perpendiculars $P_1X,$ $P_2Y,$ $P_3Z$ to the chord, so $P_1X = 4,$ $P_2Y = 10,$ and $Z$ is the midpoint of the chord. The distance from a point moving along line $P_1P_2$ to the tangent line changes linearly, and $P_3$ is $\frac{10}{14}$ of the way from $P_1$ to $P_2,$ so $P_3Z = 4 + \frac{10}{14}(10 - 4) = \frac{58}{7}.$

The half-chord is $\sqrt{14^2 - \left(\frac{58}{7}\right)^2}$ $= \frac{\sqrt{9604 - 3364}}{7}$ $= \frac{4\sqrt{390}}{7},$ so the chord has length $\frac{8\sqrt{390}}{7}.$ Since $390 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13$ is squarefree and $\gcd(8, 7) = 1,$ the answer is $m + n + p = 8 + 390 + 7 = 405.$

9.

¿Para cuántos enteros positivos $n$ menores o iguales que $1000$ se cumple $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= \sin nt + i \cos nt \end{aligned}$ para todo real $t$ ?

For how many positive integers $n$ less than or equal to $1000$ is $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= \sin nt + i \cos nt \end{aligned}$ true for all real $t?$

Respuesta

Respuesta: 250

Conceptos:Teorema de De Moivre número complejo identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Escribe $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i\sin t)$ y $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt).$

Write $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i\sin t)$ and $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt)$

Pista grande:

Por el teorema de De Moivre, la ecuación se reduce a $i^n = i,$ así que $n$ debe ser $1$ más que un múltiplo de $4.$

By de Moivre the equation reduces to $i^n = i,$ so $n$ must be $1$ more than a multiple of $4$

Solución:

Como $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i \sin t)$ y $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt),$ el teorema de De Moivre (aplicado al ángulo $-t$ ) da $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= i^n(\cos t - i\sin t)^n \\ &= i^n(\cos nt - i \sin nt). \end{aligned}$

Así que la ecuación se cumple para todo real $t$ exactamente cuando $i^n = i,$ es decir, cuando $n \equiv 1 \pmod 4.$ Los valores $n = 1, 5, 9, \ldots, 997$ dan exactamente $250$ enteros positivos hasta $1000.$

Since $\sin t + i\cos t = i(\cos t - i \sin t)$ and $\sin nt + i\cos nt$ $= i(\cos nt - i\sin nt),$ de Moivre’s theorem (applied to angle $-t$ ) gives $\begin{aligned} &(\sin t + i \cos t)^n \\ &= i^n(\cos t - i\sin t)^n \\ &= i^n(\cos nt - i \sin nt). \end{aligned}$

So the equation holds for all real $t$ exactly when $i^n = i,$ that is, when $n \equiv 1 \pmod 4.$ The values $n = 1, 5, 9, \ldots, 997$ give exactly $250$ positive integers up to $1000.$

10.

Dado que $\mathcal{O}$ es un octaedro regular, que $\mathcal{C}$ es el cubo cuyos vértices son los centros de las caras de $\mathcal{O},$ y que la razón del volumen de $\mathcal{O}$ al de $\mathcal{C}$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halla $m + n.$

Given that $\mathcal{O}$ is a regular octahedron, that $\mathcal{C}$ is the cube whose vertices are the centers of the faces of $\mathcal{O},$ and that the ratio of the volume of $\mathcal{O}$ to that of $\mathcal{C}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Respuesta: 11

Conceptos:Geometría 3D volumen geometría analítica

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Coloca los vértices del octaedro en $(\pm 1, 0, 0),$ $(0, \pm 1, 0),$ $(0, 0, \pm 1)$ y míralo como dos pirámides de base cuadrada.

Place the octahedron’s vertices at $(\pm 1, 0, 0),$ $(0, \pm 1, 0),$ $(0, 0, \pm 1)$ and view it as two square pyramids

Pista grande:

El centroide de cada cara es el promedio de sus tres vértices, así que los vértices del cubo son $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right).$

Each face centroid is the average of its three vertices, so the cube’s vertices are $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right)$

Solución:

Coloca los vértices del octaedro en $(\pm 1, 0, 0),$ $(0, \pm 1, 0),$ $(0, 0, \pm 1).$ Está formado por dos pirámides de base cuadrada unidas por el cuadrado con vértices $(\pm 1, 0, 0)$ y $(0, \pm 1, 0),$ cuya área es $2.$ Cada pirámide tiene altura $1,$ así que $V_{\mathcal{O}} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{4}{3}.$

Cada centroide de cara es el promedio de los tres vértices de esa cara, por ejemplo $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right),$ así que el cubo tiene vértices $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right).$ Su arista es $\frac{2}{3}$ y su volumen es $\frac{8}{27}.$

La razón es $\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{27}} = \frac{9}{2},$ así que $m + n = 9 + 2 = 11.$

Place the octahedron’s vertices at $(\pm 1, 0, 0),$ $(0, \pm 1, 0),$ $(0, 0, \pm 1).$ It is two square pyramids glued along the square with vertices $(\pm 1, 0, 0)$ and $(0, \pm 1, 0),$ which has area $2,$ and each pyramid has height $1,$ so $V_{\mathcal{O}} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 1 = \frac{4}{3}.$

Each face centroid is the average of that face’s three vertices, e.g. $\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right),$ so the cube has vertices $\left(\pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{3}\right).$ Its edge is $\frac{2}{3}$ and its volume is $\frac{8}{27}.$

The ratio is $\frac{\frac{4}{3}}{\frac{8}{27}} = \frac{9}{2},$ so $m + n = 9 + 2 = 11.$

11.

Sea $m$ un entero positivo y sea $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_m$ una sucesión de números reales tal que $a_0 = 37,$ $a_1 = 72,$ $a_m = 0$ y $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k}$ para $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $m - 1.$ Halla $m.$

Let $m$ be a positive integer, and let $a_0,$ $a_1,$ $\ldots,$ $a_m$ be a sequence of real numbers such that $a_0 = 37,$ $a_1 = 72,$ $a_m = 0,$ and $a_{k+1} = a_{k-1} - \frac{3}{a_k}$ for $k = 1,$ $2,$ $\ldots,$ $m - 1.$ Find $m.$

Respuesta

Respuesta: 889

Conceptos:recursión sucesión aritmética manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Multiplica la recurrencia por $a_k$ para ver que los productos $a_k a_{k-1}$ disminuyen en $3$ a cada paso.

Multiply the recurrence by $a_k$ to see that the products $a_k a_{k-1}$ drop by $3$ at each step

Pista grande:

$a_1 a_0 = 2664 = 3 \cdot 888,$ y $a_m = 0$ exactamente cuando el producto $a_m a_{m-1}$ llega a $0.$

$a_1 a_0 = 2664 = 3 \cdot 888,$ and $a_m = 0$ exactly when the product $a_m a_{m-1}$ reaches $0$

Solución:

Multiplicar la recurrencia por $a_k$ da $a_{k+1} a_k = a_k a_{k-1} - 3,$ así que los productos $b_k = a_k a_{k-1}$ forman una sucesión aritmética con diferencia común $-3.$ Como $b_1 = 72 \cdot 37 = 2664 = 3 \cdot 888,$ obtenemos $\begin{aligned} b_k &= 2664 - 3(k - 1) \\ &= 3(889 - k). \end{aligned}$

Así que $b_k \gt 0$ para $k \le 888,$ de modo que ningún término antes de $a_{889}$ puede anularse (y la recurrencia nunca divide por cero), mientras que $b_{889} = a_{889} a_{888} = 0$ con $a_{888} \ne 0.$ Por lo tanto $a_{889} = 0,$ y $m = 889.$

Multiplying the recurrence by $a_k$ gives $a_{k+1} a_k = a_k a_{k-1} - 3,$ so the products $b_k = a_k a_{k-1}$ form an arithmetic sequence with common difference $-3.$ Since $b_1 = 72 \cdot 37 = 2664 = 3 \cdot 888,$ we get $\begin{aligned} b_k &= 2664 - 3(k - 1) \\ &= 3(889 - k). \end{aligned}$

Thus $b_k \gt 0$ for $k \le 888,$ so no term before $a_{889}$ can vanish (and the recurrence never divides by zero), while $b_{889} = a_{889} a_{888} = 0$ with $a_{888} \ne 0.$ Hence $a_{889} = 0,$ and $m = 889.$

12.

El cuadrado $ABCD$ tiene centro $O,$ $AB = 900,$ $E$ y $F$ están sobre $\overline{AB}$ con $AE \lt BF$ y $E$ entre $A$ y $F,$ $m\angle EOF = 45^\circ,$ y $EF = 400.$ Dado que $BF = p + q\sqrt{r},$ donde $p,$ $q$ y $r$ son enteros positivos y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo, halla $p + q + r.$

Square $ABCD$ has center $O,$ $AB = 900,$ $E$ and $F$ are on $\overline{AB}$ with $AE \lt BF$ and $E$ between $A$ and $F,$ $m\angle EOF = 45^\circ,$ and $EF = 400.$ Given that $BF = p + q\sqrt{r},$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive integers and $r$ is not divisible by the square of any prime, find $p + q + r.$

Respuesta

Respuesta: 307

Conceptos:identidad trigonométrica Fórmulas de Vieta cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Sea $G$ el punto medio de $\overline{AB};$ entonces $OG = 450,$ y el rayo $OG$ descompone el ángulo de $45^\circ$ como $\alpha + \beta.$

Let $G$ be the midpoint of $\overline{AB};$ then $OG = 450,$ and ray $OG$ splits the $45^\circ$ angle into $\alpha + \beta$

Pista grande:

A partir de $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}$ y $\tan(\alpha + \beta) = 1,$ obtén $\tan\alpha\tan\beta = \frac{1}{9};$ luego resuelve una ecuación cuadrática.

From $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}$ and $\tan(\alpha + \beta) = 1,$ get $\tan\alpha\tan\beta = \frac{1}{9};$ then solve a quadratic

Solución:

Sea $G$ el punto medio de $\overline{AB},$ de modo que $OG \perp AB$ y $OG = 450.$ Con $\alpha = \angle EOG$ y $\beta = \angle FOG$ a ambos lados del rayo $OG,$ tenemos $EG = 450\tan\alpha,$ $FG = 450\tan\beta,$ y $\alpha + \beta = 45^\circ.$ De $EG + FG = EF = 400,$ obtenemos $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}.$

La fórmula de la tangente de la suma da $1 = \tan 45^\circ = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta},$ así que $\tan\alpha\tan\beta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}.$ Por lo tanto $\tan\alpha$ y $\tan\beta$ son las raíces de $9t^2 - 8t + 1 = 0,$ a saber $\frac{4 \pm \sqrt{7}}{9}.$

Como $AE = 450 - EG$ y $BF = 450 - FG,$ la condición $AE \lt BF$ significa $EG \gt FG,$ así que $\tan\beta = \frac{4 - \sqrt{7}}{9}.$ Entonces $BF = 450 - 450 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{9}$ $= 250 + 50\sqrt{7},$ y $p + q + r = 250 + 50 + 7 = 307.$

Let $G$ be the midpoint of $\overline{AB},$ so $OG \perp AB$ and $OG = 450.$ With $\alpha = \angle EOG$ and $\beta = \angle FOG$ on either side of ray $OG,$ we have $EG = 450\tan\alpha,$ $FG = 450\tan\beta,$ and $\alpha + \beta = 45^\circ.$ From $EG + FG = EF = 400,$ we get $\tan\alpha + \tan\beta = \frac{8}{9}.$

The tangent addition formula gives $1 = \tan 45^\circ = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta},$ so $\tan\alpha\tan\beta = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}.$ Hence $\tan\alpha$ and $\tan\beta$ are the roots of $9t^2 - 8t + 1 = 0,$ namely $\frac{4 \pm \sqrt{7}}{9}.$

Since $AE = 450 - EG$ and $BF = 450 - FG,$ the condition $AE \lt BF$ means $EG \gt FG,$ so $\tan\beta = \frac{4 - \sqrt{7}}{9}.$ Then $BF = 450 - 450 \cdot \frac{4 - \sqrt{7}}{9}$ $= 250 + 50\sqrt{7},$ and $p + q + r = 250 + 50 + 7 = 307.$

13.

Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros que satisface $P(17) = 10$ y $P(24) = 17.$ Dado que la ecuación $P(n) = n + 3$ tiene dos soluciones enteras distintas $n_1$ y $n_2,$ halla el producto $n_1 \cdot n_2.$

Let $P(x)$ be a polynomial with integer coefficients that satisfies $P(17) = 10$ and $P(24) = 17.$ Given that the equation $P(n) = n + 3$ has two distinct integer solutions $n_1$ and $n_2,$ find the product $n_1 \cdot n_2.$

Respuesta

Respuesta: 418

Conceptos:polinomio divisibilidad factor

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Considera $S(x) = P(x) - x - 3,$ que vale $-10$ tanto en $x = 17$ como en $x = 24.$

Consider $S(x) = P(x) - x - 3,$ which equals $-10$ at both $x = 17$ and $x = 24$

Pista grande:

Si $S(n) = 0,$ entonces $(n-17)(n-24)$ divide a $10;$ esos dos factores son enteros que difieren en $7.$

If $S(n) = 0,$ then $(n-17)(n-24)$ divides $10;$ those two factors are integers differing by $7$

Solución:

Sea $S(x) = P(x) - x - 3,$ de modo que $S(17) = S(24) = -10.$ Como $S(x) + 10$ tiene coeficientes enteros y se anula en $17$ y $24,$ $\begin{aligned} S(x) &= -10 \\ &\quad {}+ (x - 17)(x - 24)Q(x) \end{aligned}$ para algún polinomio $Q$ con coeficientes enteros.

Si $P(n) = n + 3$ para un entero $n,$ entonces $(n-17)(n-24)Q(n) = 10,$ así que $(n-17)(n-24)$ divide a $10.$ Los factores $n - 17$ y $n - 24$ son enteros que difieren en $7$ cuyo producto divide a $10,$ así que son $\{2, -5\}$ o $\{5, -2\},$ lo que da $n = 19$ y $n = 22.$ Ambos valores se obtienen, por ejemplo, con $P(x) = x - 7$ $- (x-17)(x-24).$

Por lo tanto $n_1 \cdot n_2 = 19 \cdot 22 = 418.$

Let $S(x) = P(x) - x - 3,$ so $S(17) = S(24) = -10.$ Since $S(x) + 10$ has integer coefficients and vanishes at $17$ and $24,$ $\begin{aligned} S(x) &= -10 \\ &\quad {}+ (x - 17)(x - 24)Q(x) \end{aligned}$ for some polynomial $Q$ with integer coefficients.

If $P(n) = n + 3$ for an integer $n,$ then $(n-17)(n-24)Q(n) = 10,$ so $(n-17)(n-24)$ divides $10.$ The factors $n - 17$ and $n - 24$ are integers differing by $7$ whose product divides $10,$ so they are $\{2, -5\}$ or $\{5, -2\},$ giving $n = 19$ and $n = 22.$ Both occur, for example, for $P(x) = x - 7$ $- (x-17)(x-24).$

Hence $n_1 \cdot n_2 = 19 \cdot 22 = 418.$

14.

En el triángulo $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15$ y $CA = 14.$ El punto $D$ está sobre $\overline{BC}$ con $CD = 6.$ El punto $E$ está sobre $\overline{BC}$ tal que $\angle BAE \cong \angle CAD.$ Dado que $BE = \frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí, halla $q.$

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15,$ and $CA = 14.$ Point $D$ is on $\overline{BC}$ with $CD = 6.$ Point $E$ is on $\overline{BC}$ such that $\angle BAE \cong \angle CAD.$ Given that $BE = \frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers, find $q.$

Respuesta

Respuesta: 463

Conceptos:razón de áreas trigonometría razón y proporción

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Compara $\frac{BD}{DC}$ y $\frac{BE}{EC}$ escribiendo cada razón como un cociente de áreas calculadas con $\frac{1}{2}xy\sin\theta$ para triángulos con vértice $A.$

Compare $\frac{BD}{DC}$ and $\frac{BE}{EC}$ by writing each as a ratio of triangle areas $\frac{1}{2}xy\sin\theta$ at vertex $A$

Pista grande:

Los ángulos iguales se emparejan: al multiplicar las dos razones se obtiene $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}.$

The equal angles pair up: multiplying the two ratios gives $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}$

Solución:

Una ceviana $AD$ divide el lado opuesto en la razón $\begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD}, \end{aligned}$ y de forma análoga $\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}.$

Como $\angle BAE = \angle CAD,$ también tenemos $\angle BAD = \angle CAE$ (cada uno es ese ángulo común más $\angle EAD$ ), así que multiplicar las dos razones cancela todos los senos: $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}.$ Con $BD = 9,$ $DC = 6,$ $AB = 13$ y $AC = 14,$ esto da $\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}.$

Por lo tanto $BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}.$ Como $463$ es primo y no divide a $2535 = 3 \cdot 5 \cdot 13^2,$ la fracción está en su forma más simple, y $q = 463.$

A cevian $AD$ splits the opposite side in the ratio $\begin{aligned} \frac{BD}{DC} &= \frac{[ABD]}{[ACD]} \\ &= \small \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin\angle BAD}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \sin\angle CAD} \\ &= \frac{AB \sin\angle BAD}{AC \sin\angle CAD}, \end{aligned}$ and similarly $\frac{BE}{EC} = \frac{AB \sin\angle BAE}{AC \sin\angle CAE}.$

Since $\angle BAE = \angle CAD,$ we also have $\angle BAD = \angle CAE$ (each is that common angle plus $\angle EAD$ ), so multiplying the two ratios cancels all the sines: $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{BE}{EC} = \frac{AB^2}{AC^2}.$ With $BD = 9,$ $DC = 6,$ $AB = 13,$ and $AC = 14,$ this gives $\frac{BE}{EC} = \frac{13^2}{14^2} \cdot \frac{6}{9} = \frac{169}{294}.$

Hence $BE = 15 \cdot \frac{169}{169 + 294} = \frac{2535}{463}.$ Since $463$ is prime and does not divide $2535 = 3 \cdot 5 \cdot 13^2,$ the fraction is in lowest terms, and $q = 463.$

15.

Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ los círculos $x^2 + y^2 + 10x - 24y - 87 = 0$ y $x^2 + y^2 - 10x - 24y + 153 = 0,$ respectivamente. Sea $m$ el menor valor positivo de $a$ para el cual la recta $y = ax$ contiene el centro de un círculo que es tangente interiormente a $\omega_1$ y tangente exteriormente a $\omega_2.$ Dado que $m^2 = \frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí, halla $p + q.$

Let $\omega_1$ and $\omega_2$ denote the circles $x^2 + y^2 + 10x - 24y - 87 = 0$ and $x^2 + y^2 - 10x - 24y + 153 = 0,$ respectively. Let $m$ be the smallest positive value of $a$ for which the line $y = ax$ contains the center of a circle that is internally tangent to $\omega_1$ and externally tangent to $\omega_2.$ Given that $m^2 = \frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers, find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 169

Conceptos:elipse circunferencias tangentes completar el cuadrado cuadrática

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Completa el cuadrado: los círculos tienen centros $(-5, 12)$ y $(5, 12)$ con radios $16$ y $4.$ Suma las dos condiciones de distancia de tangencia.

Complete the square: the circles have centers $(-5, 12)$ and $(5, 12)$ with radii $16$ and $4.$ Add the two tangency distance conditions.

Pista grande:

Los centros describen una elipse con focos $(\pm 5, 12);$ sustituye $y = ax$ y exige que el discriminante sea no negativo.

The centers trace an ellipse with foci $(\pm 5, 12);$ substitute $y = ax$ and require the discriminant to be nonnegative

Solución:

Completar el cuadrado da $\omega_1\colon (x+5)^2 + (y-12)^2 = 256$ y $\omega_2\colon (x-5)^2 + (y-12)^2 = 16,$ con centros $F_1 = (-5, 12)$ y $F_2 = (5, 12)$ y radios $16$ y $4.$ Si un círculo con centro $P$ y radio $r$ es tangente interiormente a $\omega_1$ y tangente exteriormente a $\omega_2,$ entonces $PF_1 = 16 - r$ y $PF_2 = 4 + r,$ así que $PF_1 + PF_2 = 20.$

Por lo tanto $P$ está sobre la elipse con focos $F_1$ y $F_2$ y eje mayor $20:$ el semieje mayor es $10,$ la distancia del centro al foco es $5,$ así que el cuadrado del semieje menor es $100 - 25 = 75,$ lo que da $\frac{x^2}{100} + \frac{(y - 12)^2}{75} = 1,$ es decir, $3x^2 + 4y^2 - 96y + 576 = 300.$ Sustituir $y = ax$ da $(3 + 4a^2)x^2 - 96ax + 276 = 0.$

La recta $y = ax$ contiene un centro así exactamente cuando esta ecuación cuadrática tiene una raíz real, es decir, $(96a)^2 - 4 \cdot 276\,(3 + 4a^2) \ge 0,$ lo que se simplifica a $4800a^2 \ge 3312,$ así que $a^2 \ge \frac{69}{100}.$ El menor valor positivo de $a$ que cumple esto tiene $m^2 = \frac{69}{100},$ y $p + q = 69 + 100 = 169.$

Completing the square gives $\omega_1\colon (x+5)^2 + (y-12)^2 = 256$ and $\omega_2\colon (x-5)^2 + (y-12)^2 = 16,$ with centers $F_1 = (-5, 12)$ and $F_2 = (5, 12)$ and radii $16$ and $4.$ If a circle with center $P$ and radius $r$ is internally tangent to $\omega_1$ and externally tangent to $\omega_2,$ then $PF_1 = 16 - r$ and $PF_2 = 4 + r,$ so $PF_1 + PF_2 = 20.$

Thus $P$ lies on the ellipse with foci $F_1$ and $F_2$ and major axis $20:$ the semimajor axis is $10,$ the center-to-focus distance is $5,$ so the semiminor axis squared is $100 - 25 = 75,$ giving $\frac{x^2}{100} + \frac{(y - 12)^2}{75} = 1,$ i.e. $3x^2 + 4y^2 - 96y + 576 = 300.$ Substituting $y = ax$ yields $(3 + 4a^2)x^2 - 96ax + 276 = 0.$

The line $y = ax$ contains such a center exactly when this quadratic has a real root, i.e. $(96a)^2 - 4 \cdot 276\,(3 + 4a^2) \ge 0,$ which simplifies to $4800a^2 \ge 3312,$ so $a^2 \ge \frac{69}{100}.$ The smallest positive such $a$ has $m^2 = \frac{69}{100},$ and $p + q = 69 + 100 = 169.$

Problemas del 2005 AIME II

Respuesta: 13

Nivel de dificultad: 1890

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 79

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 802

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 435

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 54

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 392

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 125

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 405

Nivel de dificultad: 2710

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 250

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 11

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 889

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 307

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 418

Nivel de dificultad: 2760

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 463

Nivel de dificultad: 3060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: 169

Nivel de dificultad: 3160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución: