Question

Las cartas de un montón de $2n$ cartas están numeradas consecutivamente de $1$ a $2n$ de arriba hacia abajo. Se quitan las $n$ cartas de arriba, se mantienen en orden y forman el montón $A$ . Las cartas restantes forman el montón $B$ . Ahora las cartas se reapilan en un solo montón tomando cartas alternadamente de las partes superiores del montón $B$ y del montón $A$ , respectivamente. En este proceso, la carta número $(n + 1)$ es la carta del fondo del nuevo montón, la carta número $1$ queda encima de esta, y así sucesivamente, hasta que se agotan los montones $A$ y $B$ . Si, tras el proceso de reapilado, al menos una carta de cada montón ocupa la misma posición que ocupaba en el montón original, se dice que el montón es mágico. Por ejemplo, ocho cartas forman un montón mágico porque las cartas número $3$ y número $6$ conservan sus posiciones originales. Halla la cantidad de cartas del montón mágico en el que la carta número $131$ conserva su posición original.

The cards in a stack of $2n$ cards are numbered consecutively from $1$ through $2n$ from top to bottom. The top $n$ cards are removed, kept in order, and form pile $A.$ The remaining cards form pile $B.$ The cards are now restacked into a single stack by taking cards alternately from the tops of pile $B$ and pile $A,$ respectively. In this process, card number $(n + 1)$ is the bottom card of the new stack, card number $1$ is on top of this card, and so on, until piles $A$ and $B$ are exhausted. If, after the restacking process, at least one card from each pile occupies the same position that it occupied in the original stack, the stack is called magical. For example, eight cards form a magical stack because cards number $3$ and number $6$ retain their original positions. Find the number of cards in the magical stack in which card number $131$ retains its original position.

Respuesta

Solución:

El nuevo montón, leído de abajo hacia arriba, es $n+1,\ 1,\ n+2,\ 2,\ \ldots,\ 2n,\ n$ . Así que las cartas del montón $B$ ocupan las posiciones pares desde arriba en orden inverso, y las cartas del montón $A$ ocupan las posiciones impares en orden inverso: una carta en la posición original $i \le n$ (montón $A$ ) se mueve a la posición $2(n - i) + 1$ , mientras que una carta en la posición $i \gt n$ (montón $B$ ) se mueve a la posición $2(2n - i) + 2$ .

Como $131$ es impar, la carta $131$ puede conservar su posición solo si proviene del montón $A$ , así que $131 = 2(n - 131) + 1$ , lo que da $n = 196$ . En efecto $131 \le 196$ , y el montón es mágico porque la carta $262$ del montón $B$ también queda fija: $2(2n - 262) + 2 = 262$ . El montón tiene $2n = 392$ cartas.

The new stack, read from the bottom up, is $n+1,\ 1,\ n+2,\ 2,\ \ldots,\ 2n,\ n.$ So pile $B$ 's cards occupy the even positions from the top in reverse order, and pile $A$ 's cards occupy the odd positions in reverse order: a card at original position $i \le n$ (pile $A$ ) moves to position $2(n - i) + 1,$ while a card at position $i \gt n$ (pile $B$ ) moves to position $2(2n - i) + 2.$

Since $131$ is odd, card $131$ can keep its position only if it comes from pile $A,$ so $131 = 2(n - 131) + 1,$ which gives $n = 196.$ Indeed $131 \le 196,$ and the stack is magical because card $262$ from pile $B$ also stays fixed: $2(2n - 262) + 2 = 262.$ The stack has $2n = 392$ cards.

2005 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años