Question

Las soluciones del sistema de ecuaciones $\log_{225} x + \log_{64} y = 4$ $\log_x 225 - \log_y 64 = 1$ son $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2).$ Halle $\log_{30}\left(x_1 y_1 x_2 y_2\right).$

The solutions to the system of equations $\log_{225} x + \log_{64} y = 4$ $\log_x 225 - \log_y 64 = 1$ are $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2).$ Find $\log_{30}\left(x_1 y_1 x_2 y_2\right).$

Respuesta

Solución:

Sea $p = \log_{225} x$ y $q = \log_{64} y,$ de modo que $\log_x 225 = \frac{1}{p}$ y $\log_y 64 = \frac{1}{q}.$ El sistema se convierte en $p + q = 4$ y $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = 1.$ Sustituyendo $q = 4 - p$ en la segunda ecuación y eliminando denominadores se obtiene $4 - 2p = p(4 - p),$ es decir, $p^2 - 6p + 4 = 0.$

Las dos soluciones del sistema corresponden a las dos raíces de esta cuadrática, así que por las fórmulas de Vieta $p_1 + p_2 = 6,$ y entonces $q_1 + q_2 = 8 - 6 = 2.$ Por tanto $\begin{aligned} x_1 y_1 x_2 y_2 &= 225^{p_1 + p_2} \cdot 64^{q_1 + q_2} \\ &= 225^6 \cdot 64^2 \\ &= 15^{12} \cdot 2^{12} \\ &= 30^{12}, \end{aligned}$ así que $\log_{30}\left(x_1 y_1 x_2 y_2\right) = 12.$

Let $p = \log_{225} x$ and $q = \log_{64} y,$ so $\log_x 225 = \frac{1}{p}$ and $\log_y 64 = \frac{1}{q}.$ The system becomes $p + q = 4$ and $\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = 1.$ Substituting $q = 4 - p$ into the second equation and clearing denominators gives $4 - 2p = p(4 - p),$ that is, $p^2 - 6p + 4 = 0.$

The two solutions of the system correspond to the two roots of this quadratic, so by Vieta's formulas $p_1 + p_2 = 6,$ and then $q_1 + q_2 = 8 - 6 = 2.$ Hence $\begin{aligned} x_1 y_1 x_2 y_2 &= 225^{p_1 + p_2} \cdot 64^{q_1 + q_2} \\ &= 225^6 \cdot 64^2 \\ &= 15^{12} \cdot 2^{12} \\ &= 30^{12}, \end{aligned}$ so $\log_{30}\left(x_1 y_1 x_2 y_2\right) = 12.$

2002 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años