Question

Las soluciones del sistema de ecuaciones

\log_{225} x + \log_{64} y = 4

\log_x 225 - \log_y 64 = 1

son

(x_1, y_1)

y

(x_2, y_2).

Halle

\log_{30}\left(x_1 y_1 x_2 y_2\right).

The solutions to the system of equations

\log_{225} x + \log_{64} y = 4

\log_x 225 - \log_y 64 = 1

are

(x_1, y_1)

and

(x_2, y_2).

Find

\log_{30}\left(x_1 y_1 x_2 y_2\right).

Respuesta

Respuesta: 12

Conceptos:logaritmo Fórmulas de Vieta sustitución

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Ponga

p = \log_{225} x

y

q = \log_{64} y,

usando

\log_x 225 = \frac{1}{p}

y

\log_y 64 = \frac{1}{q}

Set

p = \log_{225} x

and

q = \log_{64} y,

using

\log_x 225 = \frac{1}{p}

and

\log_y 64 = \frac{1}{q}

Pista grande:

Solo necesita

p_1 + p_2

y

q_1 + q_2,

ya que

x_1 x_2 = 225^{p_1 + p_2};

obténgalos de

p^2 - 6p + 4 = 0

por Vieta

You only need

p_1 + p_2

and

q_1 + q_2,

since

x_1 x_2 = 225^{p_1 + p_2};

get them from

p^2 - 6p + 4 = 0

by Vieta

Solución:

Sea

p = \log_{225} x

y

q = \log_{64} y,

de modo que

\log_x 225 = \frac{1}{p}

y

\log_y 64 = \frac{1}{q}.

El sistema se convierte en

p + q = 4

y

\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = 1.

Sustituyendo

q = 4 - p

en la segunda ecuación y eliminando denominadores se obtiene

4 - 2p = p(4 - p),

es decir,

p^2 - 6p + 4 = 0.

Las dos soluciones del sistema corresponden a las dos raíces de esta cuadrática, así que por las fórmulas de Vieta

p_1 + p_2 = 6,

y entonces

q_1 + q_2 = 8 - 6 = 2.

Por tanto,

\begin{aligned} x_1 y_1 x_2 y_2 &= 225^{p_1 + p_2} \cdot 64^{q_1 + q_2} \\ &= 225^6 \cdot 64^2 \\ &= 15^{12} \cdot 2^{12} \\ &= 30^{12}, \end{aligned}

así que

\log_{30}\left(x_1 y_1 x_2 y_2\right) = 12.

Let

p = \log_{225} x

and

q = \log_{64} y,

so

\log_x 225 = \frac{1}{p}

and

\log_y 64 = \frac{1}{q}.

The system becomes

p + q = 4

and

\frac{1}{p} - \frac{1}{q} = 1.

Substituting

q = 4 - p

into the second equation and clearing denominators gives

4 - 2p = p(4 - p),

that is,

p^2 - 6p + 4 = 0.

The two solutions of the system correspond to the two roots of this quadratic, so by Vieta’s formulas

p_1 + p_2 = 6,

and then

q_1 + q_2 = 8 - 6 = 2.

Hence

\begin{aligned} x_1 y_1 x_2 y_2 &= 225^{p_1 + p_2} \cdot 64^{q_1 + q_2} \\ &= 225^6 \cdot 64^2 \\ &= 15^{12} \cdot 2^{12} \\ &= 30^{12}, \end{aligned}

so

\log_{30}\left(x_1 y_1 x_2 y_2\right) = 12.

2002 AIME I Problema 6

Respuesta: 12

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años