Question

¿Cuántos enteros positivos $N$ menores que $1000$ hay tales que la ecuación $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ tenga solución para $x$ ? (La notación $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x.$ )

How many positive integers $N$ less than $1000$ are there such that the equation $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ has a solution for $x?$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Solución:

Supón que $\lfloor x \rfloor = k$ para un entero positivo $k.$ Cuando $x$ recorre $[k, k+1),$ el valor $x^k$ crece de forma continua desde $k^k$ hacia $(k+1)^k,$ así que los enteros alcanzables $N$ son exactamente los que cumplen $k^k \le N \le (k+1)^k - 1:$ hay $(k+1)^k - k^k$ de ellos, y estos rangos son disjuntos para distintos $k.$ (Los valores de $x$ menores que $1$ no producen enteros positivos nuevos, ya que $x^0 = 1$ ya se alcanza.)

Para $k = 1, 2, 3, 4$ las cantidades son $2 - 1 = 1,$ $9 - 4 = 5,$ $64 - 27 = 37,$ y $625 - 256 = 369,$ y todo $N$ de este tipo es a lo sumo $624 \lt 1000.$ Para $k = 5$ el valor más pequeño es $5^5 = 3125 \gt 1000.$

El total es $1 + 5 + 37 + 369 = 412.$

Suppose $\lfloor x \rfloor = k$ for a positive integer $k.$ As $x$ runs over $[k, k+1),$ the value $x^k$ increases continuously from $k^k$ toward $(k+1)^k,$ so the attainable integers $N$ are exactly those with $k^k \le N \le (k+1)^k - 1:$ there are $(k+1)^k - k^k$ of them, and these ranges are disjoint for different $k.$ (Values of $x$ below $1$ produce no new positive integers, since $x^0 = 1$ is already attained.)

For $k = 1, 2, 3, 4$ the counts are $2 - 1 = 1,$ $9 - 4 = 5,$ $64 - 27 = 37,$ and $625 - 256 = 369,$ and every such $N$ is at most $624 \lt 1000.$ For $k = 5$ the smallest value is $5^5 = 3125 \gt 1000.$

The total is $1 + 5 + 37 + 369 = 412.$

2009 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años