Question

¿Cuántos enteros positivos $N$ menores que $1000$ hay tales que la ecuación $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ tenga solución para $x$ ? (La notación $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero que es menor o igual que $x.$ )

How many positive integers $N$ less than $1000$ are there such that the equation $x^{\lfloor x \rfloor} = N$ has a solution for $x?$ (The notation $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer that is less than or equal to $x.$ )

Respuesta

Respuesta: 412

Conceptos:funciones piso y techo conteo de enteros en un rango análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Si $\lfloor x \rfloor = k,$ entonces cuando $x$ recorre $[k, k+1)$ el valor $x^k$ cubre exactamente los enteros desde $k^k$ hasta $(k+1)^k - 1.$

If $\lfloor x \rfloor = k,$ then as $x$ runs over $[k, k+1)$ the value $x^k$ covers exactly the integers from $k^k$ to $(k+1)^k - 1$

Pista grande:

Suma las cantidades $(k+1)^k - k^k$ para $k = 1,$ $2,$ $3,$ y $4;$ para $k = 5$ los valores ya superan $1000.$

Sum the counts $(k+1)^k - k^k$ for $k = 1,$ $2,$ $3,$ and $4;$ for $k = 5$ the values already exceed $1000$

Solución:

Supón que $\lfloor x \rfloor = k$ para un entero positivo $k.$ Cuando $x$ recorre $[k, k+1),$ el valor $x^k$ crece de forma continua desde $k^k$ hacia $(k+1)^k,$ así que los enteros alcanzables $N$ son exactamente los que cumplen $k^k \le N \le (k+1)^k - 1:$ hay $(k+1)^k - k^k$ de ellos, y estos rangos son disjuntos para distintos $k.$ Si $0 \lt x \lt 1,$ entonces $x^{\lfloor x \rfloor} = x^0 = 1,$ que ya se alcanza. Si $x \lt 0,$ entonces $\lfloor x \rfloor$ es negativo; un exponente impar da un valor negativo, mientras que un exponente par da un valor estrictamente entre $0$ y $1.$ Por tanto, ningún $x \lt 1$ produce un entero positivo nuevo.

Para $k = 1,$ $2,$ $3,$ y $4,$ las cantidades son $2 - 1 = 1,$ $9 - 4 = 5,$ $64 - 27 = 37,$ y $625 - 256 = 369,$ y todo $N$ de este tipo es a lo sumo $624 \lt 1000.$ Para $k = 5$ el valor más pequeño es $5^5 = 3125 \gt 1000.$

El total es $1 + 5 + 37 + 369 = 412.$

Suppose $\lfloor x \rfloor = k$ for a positive integer $k.$ As $x$ runs over $[k, k+1),$ the value $x^k$ increases continuously from $k^k$ toward $(k+1)^k,$ so the attainable integers $N$ are exactly those with $k^k \le N \le (k+1)^k - 1:$ there are $(k+1)^k - k^k$ of them, and these ranges are disjoint for different $k.$ If $0 \lt x \lt 1,$ then $x^{\lfloor x \rfloor} = x^0 = 1,$ which is already attained. If $x \lt 0,$ then $\lfloor x \rfloor$ is negative; an odd exponent gives a negative value, while an even exponent gives a value strictly between $0$ and $1.$ Thus no $x \lt 1$ produces a new positive integer.

For $k = 1,$ $2,$ $3,$ and $4,$ the counts are $2 - 1 = 1,$ $9 - 4 = 5,$ $64 - 27 = 37,$ and $625 - 256 = 369,$ and every such $N$ is at most $624 \lt 1000.$ For $k = 5$ the smallest value is $5^5 = 3125 \gt 1000.$

The total is $1 + 5 + 37 + 369 = 412.$

2009 AIME I Problema 6

Respuesta: 412

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años