Question

Sean $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{100}$ números reales tales que $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ y $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0.$ Entre todas esas $100$ -tuplas de números, el mayor valor que $x_{76} - x_{16}$ puede alcanzar es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{100}$ be real numbers such that $|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1$ and $x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0.$ Among all such $100$ -tuples of numbers, the greatest value that $x_{76} - x_{16}$ can achieve is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como los términos suman $0$ mientras que sus valores absolutos suman $1,$ los términos positivos suman $\frac{1}{2}$ y los términos negativos suman $-\frac{1}{2}.$ Si $x_{16} \lt -\frac{1}{32},$ entonces $x_1, \ldots, x_{16}$ son todos menores que $-\frac{1}{32}$ y sumarían menos que $-\frac{1}{2},$ una contradicción; por lo tanto $x_{16} \ge -\frac{1}{32}.$ De forma similar, si $x_{76} \gt \frac{1}{50}$ entonces $x_{76}, \ldots, x_{100}$ son $25$ términos cada uno mayor que $\frac{1}{50},$ que suman más que $\frac{1}{2};$ por lo tanto $x_{76} \le \frac{1}{50}.$

Por lo tanto $x_{76} - x_{16} \le \frac{1}{50} + \frac{1}{32}$ $= \frac{16 + 25}{800}$ $= \frac{41}{800},$ y esto se logra tomando $x_1 = \cdots = x_{16} = -\frac{1}{32},$ $x_{17} = \cdots = x_{75} = 0,$ y $x_{76} = \cdots = x_{100} = \frac{1}{50}.$

Como $\gcd(41, 800) = 1,$ la respuesta es $41 + 800 = 841.$

Since the terms sum to $0$ while their absolute values sum to $1,$ the positive terms sum to $\frac{1}{2}$ and the negative terms sum to $-\frac{1}{2}.$ If $x_{16} \lt -\frac{1}{32},$ then $x_1, \ldots, x_{16}$ are all less than $-\frac{1}{32}$ and would sum below $-\frac{1}{2},$ a contradiction; hence $x_{16} \ge -\frac{1}{32}.$ Similarly, if $x_{76} \gt \frac{1}{50}$ then $x_{76}, \ldots, x_{100}$ are $25$ terms each exceeding $\frac{1}{50},$ summing above $\frac{1}{2};$ hence $x_{76} \le \frac{1}{50}.$

Therefore $x_{76} - x_{16} \le \frac{1}{50} + \frac{1}{32}$ $= \frac{16 + 25}{800}$ $= \frac{41}{800},$ and this is achieved by taking $x_1 = \cdots = x_{16} = -\frac{1}{32},$ $x_{17} = \cdots = x_{75} = 0,$ and $x_{76} = \cdots = x_{100} = \frac{1}{50}.$

Since $\gcd(41, 800) = 1,$ the answer is $41 + 800 = 841.$

2022 AIME II Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años