Question

Sean

x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{100}

números reales tales que

|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1

y

x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0.

Entre todas esas

100

-tuplas de números, el mayor valor que

x_{76} - x_{16}

puede alcanzar es

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

Let

x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_{100}

be real numbers such that

|x_1| + |x_2| + \cdots + |x_{100}| = 1

and

x_1 + x_2 + \cdots + x_{100} = 0.

Among all such

100

-tuples of numbers, the greatest value that

x_{76} - x_{16}

can achieve is

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 841

Conceptos:desigualdad valor absoluto optimización

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Las dos condiciones obligan a que los términos positivos sumen

\frac{1}{2}

y los términos negativos sumen

-\frac{1}{2}

The two conditions force the positive terms to sum to

\frac{1}{2}

and the negative terms to sum to

-\frac{1}{2}

Pista grande:

Si

x_{16}

fuera menor que

-\frac{1}{32},

los primeros

16

términos por sí solos sumarían menos que

-\frac{1}{2};

acota

x_{76}

de la misma forma usando los últimos

25

términos

If

x_{16}

were below

-\frac{1}{32},

the first

16

terms alone would sum below

-\frac{1}{2};

bound

x_{76}

the same way using the last

25

terms

Solución:

Como los términos suman

0

mientras que sus valores absolutos suman

1,

los términos positivos suman

\frac{1}{2}

y los términos negativos suman

-\frac{1}{2}.

Si

x_{16} \lt -\frac{1}{32},

entonces

x_1, \ldots, x_{16}

son todos menores que

-\frac{1}{32}

y sumarían menos que

-\frac{1}{2},

una contradicción; por lo tanto

x_{16} \ge -\frac{1}{32}.

De forma similar, si

x_{76} \gt \frac{1}{50}

entonces

x_{76}, \ldots, x_{100}

son

25

términos cada uno mayor que

\frac{1}{50},

que suman más que

\frac{1}{2};

por lo tanto

x_{76} \le \frac{1}{50}.

Por lo tanto

x_{76} - x_{16} \le \frac{1}{50} + \frac{1}{32}

= \frac{16 + 25}{800}

= \frac{41}{800},

y esto se logra tomando

x_1 = \cdots = x_{16} = -\frac{1}{32},

x_{17} = \cdots = x_{75} = 0,

y

x_{76} = \cdots = x_{100} = \frac{1}{50}.

Como

\gcd(41, 800) = 1,

la respuesta es

41 + 800 = 841.

Since the terms sum to

0

while their absolute values sum to

1,

the positive terms sum to

\frac{1}{2}

and the negative terms sum to

-\frac{1}{2}.

If

x_{16} \lt -\frac{1}{32},

then

x_1, \ldots, x_{16}

are all less than

-\frac{1}{32}

and would sum below

-\frac{1}{2},

a contradiction; hence

x_{16} \ge -\frac{1}{32}.

Similarly, if

x_{76} \gt \frac{1}{50}

then

x_{76}, \ldots, x_{100}

are

25

terms each exceeding

\frac{1}{50},

summing above

\frac{1}{2};

hence

x_{76} \le \frac{1}{50}.

Therefore

x_{76} - x_{16} \le \frac{1}{50} + \frac{1}{32}

= \frac{16 + 25}{800}

= \frac{41}{800},

and this is achieved by taking

x_1 = \cdots = x_{16} = -\frac{1}{32},

x_{17} = \cdots = x_{75} = 0,

and

x_{76} = \cdots = x_{100} = \frac{1}{50}.

Since

\gcd(41, 800) = 1,

the answer is

41 + 800 = 841.

2022 AIME II Problema 6

Respuesta: 841

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años