Question

Se define que una cuádrupla ordenada de enteros

(a, b, c, d)

es interesante si

1 \le a \lt b \lt c \lt d \le 10

y

a + d \gt b + c.

¿Cuántas cuádruplas ordenadas interesantes hay?

Define an ordered quadruple of integers

(a, b, c, d)

to be interesting if

1 \le a \lt b \lt c \lt d \le 10

and

a + d \gt b + c.

How many interesting ordered quadruples are there?

Respuesta

Respuesta: 80

Conceptos:combinaciones biyección simetría

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

La condición

a + d \gt b + c

es lo mismo que

d - c \gt b - a

.

The condition

a + d \gt b + c

is the same as

d - c \gt b - a

Pista grande:

La aplicación

(a, b, c, d)

\small \mapsto (11 - d,\, 11 - c,\, 11 - b,\, 11 - a)

intercambia

d - c

con

b - a;

cuenta las cuádruplas con

d - c = b - a

y usa la simetría.

The map

(a, b, c, d)

\small \mapsto (11 - d,\, 11 - c,\, 11 - b,\, 11 - a)

swaps

d - c

with

b - a;

count the quadruples with

d - c = b - a

and use symmetry

Solución:

La condición

a + d \gt b + c

es equivalente a

d - c \gt b - a.

Hay en total

\binom{10}{4} = 210

cuádruplas, y la involución

(a, b, c, d)

\small \mapsto (11 - d,\, 11 - c,\, 11 - b,\, 11 - a)

intercambia los intervalos exteriores

b - a

y

d - c.

Así que las cuádruplas con

d - c \gt b - a

y las que tienen

d - c \lt b - a

son igual de numerosas, y la respuesta es

\frac{210 - T}{2},

donde

T

cuenta las cuádruplas con

d - c = b - a.

Si

b - a = d - c = k

y

c - b = j,

la cuádrupla queda determinada por

(a, j, k)

con

a, j, k \ge 1

y

a + 2k + j \le 10.

Para

k = 1,

2,

3,

y

4,

respectivamente, las cotas para

a + j

son

8,

6,

4,

y

2;

los números correspondientes de pares son

28,

15,

6,

y

1,

así que

T = 50.

Por lo tanto, el número de cuádruplas interesantes es

\frac{210 - 50}{2} = 80.

The condition

a + d \gt b + c

is equivalent to

d - c \gt b - a.

There are

\binom{10}{4} = 210

quadruples in all, and the involution

(a, b, c, d)

\small \mapsto (11 - d,\, 11 - c,\, 11 - b,\, 11 - a)

exchanges the outer gaps

b - a

and

d - c.

So the quadruples with

d - c \gt b - a

and those with

d - c \lt b - a

are equinumerous, and the answer is

\frac{210 - T}{2},

where

T

counts quadruples with

d - c = b - a.

If

b - a = d - c = k

and

c - b = j,

the quadruple is determined by

(a, j, k)

with

a, j, k \ge 1

and

a + 2k + j \le 10.

For

k = 1,

2,

3,

and

4,

respectively, the bounds on

a + j

are

8,

6,

4,

and

2;

the corresponding counts are

28,

15,

6,

and

1,

so

T = 50.

Therefore the number of interesting quadruples is

\frac{210 - 50}{2} = 80.

2011 AIME II Problema 6

Respuesta: 80

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 6 en otros años