Question

La suma de los primeros $2011$ términos de una serie geométrica es $200.$ La suma de los primeros $4022$ términos de la misma serie es $380.$ Halla la suma de los primeros $6033$ términos de la serie.

The sum of the first $2011$ terms of a geometric series is $200.$ The sum of the first $4022$ terms of the same series is $380.$ Find the sum of the first $6033$ terms of the series.

Respuesta

Solución:

Agrupa la serie en bloques de $2011$ términos consecutivos. Cada término del segundo bloque es $r^{2011}$ veces el término correspondiente del primer bloque, así que las sumas de los bloques forman una sucesión geométrica con razón $r^{2011}.$ El primer bloque suma $200$ y el segundo bloque suma $380 - 200 = 180,$ así que $r^{2011} = \frac{180}{200} = \frac{9}{10}.$

El tercer bloque entonces suma $180 \cdot \frac{9}{10} = 162,$ así que la suma de los primeros $6033$ términos es $380 + 162 = 542.$

Group the series into blocks of $2011$ consecutive terms. Each term of the second block is $r^{2011}$ times the corresponding term of the first block, so the block sums form a geometric sequence with ratio $r^{2011}.$ The first block sums to $200$ and the second block sums to $380 - 200 = 180,$ so $r^{2011} = \frac{180}{200} = \frac{9}{10}.$

The third block then sums to $180 \cdot \frac{9}{10} = 162,$ so the sum of the first $6033$ terms is $380 + 162 = 542.$

2011 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años