Solución:

Entre las fracciones con numerador $1$ o $2,$ los vecinos más cercanos de $\frac{2}{7} \approx 0.2857$ son $\frac{1}{4} = 0.25$ por debajo (nótese que $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$) y $\frac{1}{3} \approx 0.3333$ por encima (nótese que $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$); ningún otro candidato queda entre ellos. Así que $\frac{2}{7}$ es la única fracción más cercana a $r$ exactamente cuando $r$ está más cerca de $\frac{2}{7}$ que de $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{3},$ es decir, cuando $r$ queda estrictamente entre los puntos medios $$\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{7}\right) &= \frac{15}{56} \\ &= 0.26785\ldots \end{aligned}$$ y $$\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7} + \frac{1}{3}\right) &= \frac{13}{42} \\ &= 0.30952\ldots. \end{aligned}$$

Los decimales de cuatro cifras en ese intervalo son $0.2679, 0.2680, \ldots, 0.3095,$ y hay $3095 - 2679 + 1 = 417$ de ellos.