Question

El número $r$ se puede expresar como un decimal de cuatro cifras $0.abcd,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ representan dígitos, cualquiera de los cuales podría ser cero. Se desea aproximar $r$ mediante una fracción cuyo numerador sea $1$ o $2$ y cuyo denominador sea un entero. La fracción de ese tipo más cercana a $r$ es $\frac{2}{7}.$ ¿Cuál es el número de valores posibles de $r$ ?

The number $r$ can be expressed as a four-place decimal $0.abcd,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ represent digits, any of which could be zero. It is desired to approximate $r$ by a fraction whose numerator is $1$ or $2$ and whose denominator is an integer. The closest such fraction to $r$ is $\frac{2}{7}.$ What is the number of possible values for $r?$

Respuesta

Respuesta: 417

Conceptos:fracción decimal conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Halla las fracciones con numerador $1$ o $2$ más cercanas a $\frac{2}{7}$ a cada lado

Find the fractions with numerator $1$ or $2$ closest to $\frac{2}{7}$ on each side

Pista grande:

$r$ debe estar más cerca de $\frac{2}{7}$ que de $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{3},$ así que está entre los puntos medios $\frac{15}{56}$ y $\frac{13}{42};$ cuenta los decimales de cuatro cifras en ese rango

$r$ must be closer to $\frac{2}{7}$ than to $\frac{1}{4}$ or $\frac{1}{3};$ count four-place decimals between $\frac{15}{56}$ and $\frac{13}{42}$

Solución:

Entre las fracciones con numerador $1$ o $2,$ los vecinos más cercanos de $\frac{2}{7} \approx 0.2857$ son $\frac{1}{4} = 0.25$ por debajo (nótese que $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ ) y $\frac{1}{3} \approx 0.3333$ por encima (nótese que $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ); ningún otro candidato queda entre ellos. Así que $\frac{2}{7}$ es la única fracción más cercana a $r$ exactamente cuando $r$ está más cerca de $\frac{2}{7}$ que de $\frac{1}{4}$ y $\frac{1}{3},$ es decir, cuando $r$ queda estrictamente entre los puntos medios $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{7}\right) &= \frac{15}{56} \\ &= 0.26785\ldots \end{aligned}$ y $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7} + \frac{1}{3}\right) &= \frac{13}{42} \\ &= 0.30952\ldots. \end{aligned}$

Los decimales de cuatro cifras en ese intervalo son $0.2679, 0.2680, \ldots, 0.3095,$ y hay $3095 - 2679 + 1 = 417$ de ellos.

Among fractions with numerator $1$ or $2,$ the closest neighbors of $\frac{2}{7} \approx 0.2857$ are $\frac{1}{4} = 0.25$ below (note $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ ) and $\frac{1}{3} \approx 0.3333$ above (note $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ ); no other candidate lies between them. So $\frac{2}{7}$ is the unique closest fraction to $r$ exactly when $r$ is closer to $\frac{2}{7}$ than to both $\frac{1}{4}$ and $\frac{1}{3},$ i.e. when $r$ lies strictly between the midpoints $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{7}\right) &= \frac{15}{56} \\ &= 0.26785\ldots \end{aligned}$ and $\begin{aligned} \frac{1}{2}\left(\frac{2}{7} + \frac{1}{3}\right) &= \frac{13}{42} \\ &= 0.30952\ldots. \end{aligned}$

The four-place decimals in that interval are $0.2679, 0.2680, \ldots, 0.3095,$ and there are $3095 - 2679 + 1 = 417$ of them.

1997 AIME Problema 5

Respuesta: 417

Nivel de dificultad: 2450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años