Question

Una partícula móvil parte del punto $(4, 4)$ y se mueve hasta que toca por primera vez uno de los ejes coordenados. Cuando la partícula está en el punto $(a, b),$ se mueve al azar a uno de los puntos $(a - 1, b),$ $(a, b - 1),$ o $(a - 1, b - 1),$ cada uno con probabilidad $\frac{1}{3},$ independientemente de sus movimientos anteriores. La probabilidad de que toque los ejes coordenados en $(0, 0)$ es $\frac{m}{3^n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos, y $m$ no es divisible entre $3.$ Halle $m + n.$

A moving particle starts at the point $(4, 4)$ and moves until it hits one of the coordinate axes for the first time. When the particle is at the point $(a, b),$ it moves at random to one of the points $(a - 1, b),$ $(a, b - 1),$ or $(a - 1, b - 1),$ each with probability $\frac{1}{3},$ independently of its previous moves. The probability that it will hit the coordinate axes at $(0, 0)$ is $\frac{m}{3^n},$ where $m$ and $n$ are positive integers, and $m$ is not divisible by $3.$ Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Las coordenadas nunca aumentan, así que el primer punto de un eje alcanzado es $(0,0)$ exactamente cuando la partícula llega a $(1, 1)$ y luego da el paso diagonal. Todo camino de $(4,4)$ a $(1,1)$ evita automáticamente los ejes, ya que sus coordenadas permanecen al menos en $1.$

Un camino de $(4,4)$ a $(1,1)$ con $d$ pasos diagonales también tiene $3 - d$ pasos a la izquierda y $3 - d$ pasos hacia abajo, para $6 - d$ pasos en total, y hay $\frac{(6-d)!}{d!\,(3-d)!\,(3-d)!}$ ordenaciones: $20, 30, 12, 1$ para $d = 0, 1, 2, 3.$ Como un camino con $6 - d$ pasos tiene probabilidad $\left(\frac{1}{3}\right)^{6-d},$ la probabilidad de llegar a $(1,1)$ y luego pasar a $(0,0)$ es $\begin{aligned} &\frac{1}{3}\left(\frac{20}{3^6} + \frac{30}{3^5} + \frac{12}{3^4} + \frac{1}{3^3}\right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{20 + 90 + 108 + 27}{3^6} \\ &= \frac{245}{3^7}. \end{aligned}$

Como $245 = 5 \cdot 7^2$ no es divisible entre $3,$ obtenemos $m + n = 245 + 7 = 252.$

Coordinates never increase, so the first axis point reached is $(0,0)$ exactly when the particle reaches $(1, 1)$ and then takes the diagonal step. Every path from $(4,4)$ to $(1,1)$ automatically stays off the axes, since its coordinates remain at least $1.$

A path from $(4,4)$ to $(1,1)$ with $d$ diagonal steps also has $3 - d$ left steps and $3 - d$ down steps, for $6 - d$ steps in all, and there are $\frac{(6-d)!}{d!\,(3-d)!\,(3-d)!}$ orderings: $20, 30, 12, 1$ for $d = 0, 1, 2, 3.$ Since a path with $6 - d$ steps has probability $\left(\frac{1}{3}\right)^{6-d},$ the probability of reaching $(1,1)$ and then stepping to $(0,0)$ is $\begin{aligned} &\frac{1}{3}\left(\frac{20}{3^6} + \frac{30}{3^5} + \frac{12}{3^4} + \frac{1}{3^3}\right) \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{20 + 90 + 108 + 27}{3^6} \\ &= \frac{245}{3^7}. \end{aligned}$

Since $245 = 5 \cdot 7^2$ is not divisible by $3,$ we get $m + n = 245 + 7 = 252.$

2019 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años