Question

Para cada par ordenado de números reales

(x, y)

que satisface

\begin{aligned} &\log_2(2x + y) \\ &= \log_4(x^2 + xy + 7y^2), \end{aligned}

existe un número real

K

tal que

\begin{aligned} &\log_3(3x + y) \\ &= \log_9(3x^2 + 4xy + Ky^2). \end{aligned}

Halle el producto de todos los posibles valores de

K.

For each ordered pair of real numbers

(x, y)

satisfying

\begin{aligned} &\log_2(2x + y) \\ &= \log_4(x^2 + xy + 7y^2), \end{aligned}

there is a real number

K

such that

\begin{aligned} &\log_3(3x + y) \\ &= \log_9(3x^2 + 4xy + Ky^2). \end{aligned}

Find the product of all possible values of

K.

Respuesta

Respuesta: 189

Conceptos:logaritmo factorización análisis por casos

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Como

\log_4 u = \log_2 \sqrt{u},

la primera ecuación dice

(2x + y)^2 = x^2 + xy + 7y^2

Since

\log_4 u = \log_2 \sqrt{u},

the first equation says

(2x + y)^2 = x^2 + xy + 7y^2

Pista grande:

Esa condición se factoriza como

(x - y)(x + 2y) = 0;

sustituya cada caso en la forma al cuadrado de la segunda ecuación para hallar

K

That condition factors as

(x - y)(x + 2y) = 0;

substitute each case into the squared form of the second equation to find

K

Solución:

Como

\log_4 u = \log_2 \sqrt{u},

la primera ecuación es equivalente a

(2x + y)^2 = x^2 + xy + 7y^2

junto con

2x + y \gt 0.

Al expandir se obtiene

3x^2 + 3xy - 6y^2 = 0,

que se factoriza como

3(x - y)(x + 2y) = 0.

Así

x = y

o

x = -2y,

con

(x, y) \ne (0, 0).

De manera similar, la segunda ecuación dice

(3x + y)^2 = 3x^2 + 4xy + Ky^2,

es decir

6x^2 + 2xy + y^2 = Ky^2.

Si

x = y

(tomando

x \gt 0

para que ambos logaritmos estén definidos), entonces

K = 6 + 2 + 1 = 9.

Si

x = -2y

(tomando

y \lt 0,

de modo que

2x + y = -3y \gt 0

y

3x + y = -5y \gt 0

), entonces

24y^2 - 4y^2 + y^2 = Ky^2,

así

K = 21.

Ambos casos ocurren, así que el producto de todos los valores posibles es

9 \cdot 21 = 189.

Because

\log_4 u = \log_2 \sqrt{u},

the first equation is equivalent to

(2x + y)^2 = x^2 + xy + 7y^2

together with

2x + y \gt 0.

Expanding gives

3x^2 + 3xy - 6y^2 = 0,

which factors as

3(x - y)(x + 2y) = 0.

So

x = y

or

x = -2y,

with

(x, y) \ne (0, 0).

Similarly the second equation says

(3x + y)^2 = 3x^2 + 4xy + Ky^2,

that is

6x^2 + 2xy + y^2 = Ky^2.

If

x = y

(taking

x \gt 0

so both logarithms are defined), then

K = 6 + 2 + 1 = 9.

If

x = -2y

(taking

y \lt 0,

so

2x + y = -3y \gt 0

and

3x + y = -5y \gt 0

), then

24y^2 - 4y^2 + y^2 = Ky^2,

so

K = 21.

Both cases occur, so the product of all possible values is

9 \cdot 21 = 189.

2018 AIME I Problema 5

Respuesta: 189

Nivel de dificultad: 2510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años