Question

En el trapecio $ABCD$ con $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ sea $BC = 1000$ y $AD = 2008.$ Sea $\angle A = 37^\circ,$ $\angle D = 53^\circ,$ y sean $M$ y $N$ los puntos medios de $\overline{BC}$ y $\overline{AD},$ respectivamente. Halla la longitud $MN.$

In trapezoid $ABCD$ with $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ let $BC = 1000$ and $AD = 2008.$ Let $\angle A = 37^\circ,$ $\angle D = 53^\circ,$ and $M$ and $N$ be the midpoints of $\overline{BC}$ and $\overline{AD},$ respectively. Find the length $MN.$

Respuesta

Solución:

Extiende los lados $\overline{AB}$ y $\overline{DC}$ hasta que se corten en un punto $E.$ Como $\angle A + \angle D = 37^\circ + 53^\circ = 90^\circ,$ el triángulo $EAD$ tiene un ángulo recto en $E.$ Como $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ el triángulo $EBC$ es la imagen del triángulo $EAD$ bajo una homotecia con centro en $E,$ así que el punto medio $M$ de $\overline{BC}$ se corresponde con el punto medio $N$ de $\overline{AD};$ en particular $E,$ $M,$ y $N$ son colineales.

La mediana a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa, así que $EN = \frac{2008}{2} = 1004$ y $EM = \frac{1000}{2} = 500.$ Por lo tanto $\begin{aligned} MN &= EN - EM \\ &= 1004 - 500 = 504. \end{aligned}$

Extend legs $\overline{AB}$ and $\overline{DC}$ until they meet at a point $E.$ Since $\angle A + \angle D = 37^\circ + 53^\circ = 90^\circ,$ triangle $EAD$ has a right angle at $E.$ Because $\overline{BC} \parallel \overline{AD},$ triangle $EBC$ is the image of triangle $EAD$ under a homothety centered at $E,$ so the midpoint $M$ of $\overline{BC}$ maps to the midpoint $N$ of $\overline{AD};$ in particular $E,$ $M,$ and $N$ are collinear.

The median to the hypotenuse of a right triangle is half the hypotenuse, so $EN = \frac{2008}{2} = 1004$ and $EM = \frac{1000}{2} = 500.$ Therefore $\begin{aligned} MN &= EN - EM \\ &= 1004 - 500 = 504. \end{aligned}$

2008 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años