Question

En el trapecio

ABCD

con

\overline{BC} \parallel \overline{AD},

sea

BC = 1000

y

AD = 2008.

Sea

\angle A = 37^\circ,

\angle D = 53^\circ,

y sean

M

y

N

los puntos medios de

\overline{BC}

y

\overline{AD},

respectivamente. Halla la longitud

MN.

In trapezoid

ABCD

with

\overline{BC} \parallel \overline{AD},

let

BC = 1000

and

AD = 2008.

Let

\angle A = 37^\circ,

\angle D = 53^\circ,

and

M

and

N

be the midpoints of

\overline{BC}

and

\overline{AD},

respectively. Find the length

MN.

Respuesta

Respuesta: 504

Conceptos:trapecio triángulo rectángulo mediana (geometría)homotecia

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Extiende los lados

AB

y

DC

hasta que se corten en

E;

como

37^\circ + 53^\circ = 90^\circ,

el ángulo en

E

es recto

Extend the legs

AB

and

DC

to meet at

E;

since

37^\circ + 53^\circ = 90^\circ,

the angle at

E

is right

Pista grande:

La mediana a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa, y

E,

M,

N

son colineales

The median to the hypotenuse of a right triangle is half the hypotenuse, and

E,

M,

N

are collinear

Solución:

Extiende los lados

\overline{AB}

y

\overline{DC}

hasta que se corten en un punto

E.

Como

\angle A + \angle D = 37^\circ + 53^\circ = 90^\circ,

el triángulo

EAD

tiene un ángulo recto en

E.

Como

\overline{BC} \parallel \overline{AD},

el triángulo

EBC

es la imagen del triángulo

EAD

bajo una homotecia con centro en

E,

así que el punto medio

M

de

\overline{BC}

se corresponde con el punto medio

N

de

\overline{AD};

en particular

E,

M,

y

N

son colineales.

La mediana a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la mitad de la hipotenusa, así que

EN = \frac{2008}{2} = 1004

y

EM = \frac{1000}{2} = 500.

Por lo tanto

\begin{aligned} MN &= EN - EM \\ &= 1004 - 500 = 504. \end{aligned}

Extend legs

\overline{AB}

and

\overline{DC}

until they meet at a point

E.

Since

\angle A + \angle D = 37^\circ + 53^\circ = 90^\circ,

triangle

EAD

has a right angle at

E.

Because

\overline{BC} \parallel \overline{AD},

triangle

EBC

is the image of triangle

EAD

under a homothety centered at

E,

so the midpoint

M

of

\overline{BC}

maps to the midpoint

N

of

\overline{AD};

in particular

E,

M,

and

N

are collinear.

The median to the hypotenuse of a right triangle is half the hypotenuse, so

EN = \frac{2008}{2} = 1004

and

EM = \frac{1000}{2} = 500.

Therefore

\begin{aligned} MN &= EN - EM \\ &= 1004 - 500 = 504. \end{aligned}

2008 AIME II Problema 5

Respuesta: 504

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años