Question

Un triángulo equilátero está inscrito en la elipse cuya ecuación es $x^2 + 4y^2 = 4.$ Un vértice del triángulo es $(0, 1),$ una altura está contenida en el eje $y$ , y la longitud de cada lado es $\sqrt{\frac{m}{n}},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

An equilateral triangle is inscribed in the ellipse whose equation is $x^2 + 4y^2 = 4.$ One vertex of the triangle is $(0, 1),$ one altitude is contained in the $y$ -axis, and the length of each side is $\sqrt{\frac{m}{n}},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como una altura está sobre el eje $y$ , los otros dos vértices son simétricos: $(x, y)$ y $(-x, y)$ con $x \gt 0.$ El lado desde $(0,1)$ hasta $(x,y)$ forma un ángulo de $120^\circ$ con el semieje positivo $x$ , así que está sobre la recta $y = -\sqrt{3}\,x + 1.$

Sustituyendo en $x^2 + 4y^2 = 4$ se obtiene $x^2 + 4(1 - \sqrt{3}x)^2 = 4,$ que se simplifica a $13x^2 - 8\sqrt{3}\,x = 0,$ por lo que $x = \frac{8\sqrt{3}}{13}.$

La longitud del lado es $2x = \frac{16\sqrt{3}}{13},$ cuyo cuadrado es $\frac{768}{169}.$ Como $\gcd(768, 169) = 1,$ la respuesta es $768 + 169 = 937.$

Since one altitude lies along the $y$ -axis, the other two vertices are symmetric: $(x, y)$ and $(-x, y)$ with $x \gt 0.$ The side from $(0,1)$ to $(x,y)$ makes a $120^\circ$ angle with the positive $x$ -axis, so it lies on the line $y = -\sqrt{3}\,x + 1.$

Substituting into $x^2 + 4y^2 = 4$ gives $x^2 + 4(1 - \sqrt{3}x)^2 = 4,$ which simplifies to $13x^2 - 8\sqrt{3}\,x = 0,$ so $x = \frac{8\sqrt{3}}{13}.$

The side length is $2x = \frac{16\sqrt{3}}{13},$ whose square is $\frac{768}{169}.$ Since $\gcd(768, 169) = 1,$ the answer is $768 + 169 = 937.$

2001 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años