Soluciones del 2001 AIME I | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Halla la suma de todos los enteros positivos de dos cifras que son divisibles por cada uno de sus dígitos.

Find the sum of all positive two-digit integers that are divisible by each of their digits.

Respuesta

Conceptos:dígitos divisibilidad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Sea el número $10a + b$ con cifra de las decenas $a$ y cifra de las unidades $b.$ Como $a \mid 10a + b,$ necesitamos $a \mid b,$ así que $b = ka$ para algún entero positivo $k.$ Como $b \mid 10a + b,$ necesitamos $b \mid 10a,$ es decir $ka \mid 10a,$ por lo que $k \mid 10.$ Como $b = ka \le 9,$ solo $k = 1,$ $2,$ y $5$ son posibles.

Para $k = 1$ los números son $11, 22, \ldots, 99,$ con suma $11 \cdot 45 = 495.$ Para $k = 2$ son $12, 24, 36, 48,$ con suma $120.$ Para $k = 5$ el único es $15.$

El total es $495 + 120 + 15 = 630.$

Let the number be $10a + b$ with tens digit $a$ and units digit $b.$ Since $a \mid 10a + b,$ we need $a \mid b,$ so $b = ka$ for some positive integer $k.$ Since $b \mid 10a + b,$ we need $b \mid 10a,$ that is $ka \mid 10a,$ so $k \mid 10.$ Because $b = ka \le 9,$ only $k = 1,$ $2,$ and $5$ are possible.

For $k = 1$ the numbers are $11, 22, \ldots, 99,$ with sum $11 \cdot 45 = 495.$ For $k = 2$ they are $12, 24, 36, 48,$ with sum $120.$ For $k = 5$ the only one is $15.$

The total is $495 + 120 + 15 = 630.$

2.

Un conjunto finito $\mathcal{S}$ de números reales distintos tiene las siguientes propiedades: la media de $\mathcal{S} \cup \{1\}$ es $13$ menos que la media de $\mathcal{S},$ y la media de $\mathcal{S} \cup \{2001\}$ es $27$ más que la media de $\mathcal{S}.$ Halla la media de $\mathcal{S}.$

A finite set $\mathcal{S}$ of distinct real numbers has the following properties: the mean of $\mathcal{S} \cup \{1\}$ is $13$ less than the mean of $\mathcal{S},$ and the mean of $\mathcal{S} \cup \{2001\}$ is $27$ more than the mean of $\mathcal{S}.$ Find the mean of $\mathcal{S}.$

Respuesta

Conceptos:media sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Sea $\mathcal{S}$ con $n$ elementos y media $x,$ de modo que los elementos suman $nx.$ Las dos condiciones dicen $\frac{nx + 1}{n + 1} = x - 13$ y $\frac{nx + 2001}{n + 1} = x + 27.$

Eliminando denominadores, $nx + 1 = (n+1)x - 13(n+1)$ da $x - 13(n+1) = 1,$ y $nx + 2001$ $= (n+1)x + 27(n+1)$ da $x + 27(n+1) = 2001.$ Restando la primera ecuación de la segunda se obtiene $40(n+1) = 2000,$ así que $n + 1 = 50.$

Entonces $x = 1 + 13 \cdot 50 = 651.$

Let $\mathcal{S}$ have $n$ elements with mean $x,$ so the elements sum to $nx.$ The two conditions say $\frac{nx + 1}{n + 1} = x - 13$ and $\frac{nx + 2001}{n + 1} = x + 27.$

Clearing denominators, $nx + 1 = (n+1)x - 13(n+1)$ gives $x - 13(n+1) = 1,$ and $nx + 2001$ $= (n+1)x + 27(n+1)$ gives $x + 27(n+1) = 2001.$ Subtracting the first equation from the second yields $40(n+1) = 2000,$ so $n + 1 = 50.$

Then $x = 1 + 13 \cdot 50 = 651.$

3.

Halla la suma de las raíces, reales y no reales, de la ecuación $x^{2001} + \left(\tfrac{1}{2} - x\right)^{2001} = 0,$ sabiendo que no hay raíces múltiples.

Find the sum of the roots, real and non-real, of the equation $x^{2001} + \left(\tfrac{1}{2} - x\right)^{2001} = 0,$ given that there are no multiple roots.

Respuesta

Conceptos:polinomio Fórmulas de Vieta teorema del binomio

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Desarrolla $\left(\frac{1}{2} - x\right)^{2001}$ mediante el teorema del binomio. Su término principal $(-x)^{2001} = -x^{2001}$ cancela el $x^{2001}$ de la ecuación, de modo que lo que queda es un polinomio de grado $2000:$ $\begin{aligned} &2001 \cdot \frac{1}{2}\,x^{2000} \\ &\quad {}- \binom{2001}{2}\frac{1}{4}\,x^{1999} + \cdots = 0. \end{aligned}$

Por las fórmulas de Vieta, la suma de las $2000$ raíces es $\begin{aligned} \frac{\binom{2001}{2}/4}{2001/2} &= \frac{2001 \cdot 2000/8}{2001/2} \\ &= \frac{2000}{4} = 500. \end{aligned}$

Expand $\left(\frac{1}{2} - x\right)^{2001}$ by the binomial theorem. Its leading term $(-x)^{2001} = -x^{2001}$ cancels the $x^{2001}$ in the equation, so what remains is a polynomial of degree $2000:$ $\begin{aligned} &2001 \cdot \frac{1}{2}\,x^{2000} \\ &\quad {}- \binom{2001}{2}\frac{1}{4}\,x^{1999} + \cdots = 0. \end{aligned}$

By Vieta's formulas, the sum of the $2000$ roots is $\begin{aligned} \frac{\binom{2001}{2}/4}{2001/2} &= \frac{2001 \cdot 2000/8}{2001/2} \\ &= \frac{2000}{4} = 500. \end{aligned}$

4.

En el triángulo $ABC,$ los ángulos $A$ y $B$ miden $60$ grados y $45$ grados, respectivamente. La bisectriz del ángulo $A$ corta a $\overline{BC}$ en $T,$ y $AT = 24.$ El área del triángulo $ABC$ puede escribirse en la forma $a + b\sqrt{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

In triangle $ABC,$ angles $A$ and $B$ measure $60$ degrees and $45$ degrees, respectively. The bisector of angle $A$ intersects $\overline{BC}$ at $T,$ and $AT = 24.$ The area of triangle $ABC$ can be written in the form $a + b\sqrt{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

Respuesta

Conceptos:persecución de ángulos triángulo isósceles triángulo rectángulo especial área del triángulo

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Como $\angle A = 60^\circ$ y $\angle B = 45^\circ,$ tenemos $\angle C = 75^\circ.$ En el triángulo $ATC,$ el ángulo $TAC = 30^\circ$ (la mitad del ángulo $A$ ), así que $\angle ATC = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ$ $= 75^\circ.$ Por lo tanto el triángulo $ACT$ es isósceles con $AC = AT = 24.$

Traza la altura $CH$ hasta $\overline{AB}.$ El triángulo $ACH$ es $30$ - $60$ - $90,$ así que $AH = 12$ y $CH = 12\sqrt{3}.$ El triángulo $BCH$ es $45$ - $45$ - $90,$ así que $BH = CH = 12\sqrt{3}.$

El área es $\frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$ $= \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3}\,(12 + 12\sqrt{3})$ $= 216 + 72\sqrt{3}.$ Entonces $a + b + c = 216 + 72 + 3 = 291.$

Since $\angle A = 60^\circ$ and $\angle B = 45^\circ,$ we have $\angle C = 75^\circ.$ In triangle $ATC,$ angle $TAC = 30^\circ$ (half of angle $A$ ), so $\angle ATC = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ$ $= 75^\circ.$ Thus triangle $ACT$ is isosceles with $AC = AT = 24.$

Drop the altitude $CH$ to $\overline{AB}.$ Triangle $ACH$ is $30$ - $60$ - $90,$ so $AH = 12$ and $CH = 12\sqrt{3}.$ Triangle $BCH$ is $45$ - $45$ - $90,$ so $BH = CH = 12\sqrt{3}.$

The area is $\frac{1}{2} \cdot CH \cdot AB$ $= \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3}\,(12 + 12\sqrt{3})$ $= 216 + 72\sqrt{3}.$ Then $a + b + c = 216 + 72 + 3 = 291.$

5.

Un triángulo equilátero está inscrito en la elipse cuya ecuación es $x^2 + 4y^2 = 4.$ Un vértice del triángulo es $(0, 1),$ una altura está contenida en el eje $y$ , y la longitud de cada lado es $\sqrt{\frac{m}{n}},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

An equilateral triangle is inscribed in the ellipse whose equation is $x^2 + 4y^2 = 4.$ One vertex of the triangle is $(0, 1),$ one altitude is contained in the $y$ -axis, and the length of each side is $\sqrt{\frac{m}{n}},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:elipse triángulo equilátero geometría analítica simetría

Nivel de dificultad: 2510

Solución:

Como una altura está sobre el eje $y$ , los otros dos vértices son simétricos: $(x, y)$ y $(-x, y)$ con $x \gt 0.$ El lado desde $(0,1)$ hasta $(x,y)$ forma un ángulo de $120^\circ$ con el semieje positivo $x$ , así que está sobre la recta $y = -\sqrt{3}\,x + 1.$

Sustituyendo en $x^2 + 4y^2 = 4$ se obtiene $x^2 + 4(1 - \sqrt{3}x)^2 = 4,$ que se simplifica a $13x^2 - 8\sqrt{3}\,x = 0,$ por lo que $x = \frac{8\sqrt{3}}{13}.$

La longitud del lado es $2x = \frac{16\sqrt{3}}{13},$ cuyo cuadrado es $\frac{768}{169}.$ Como $\gcd(768, 169) = 1,$ la respuesta es $768 + 169 = 937.$

Since one altitude lies along the $y$ -axis, the other two vertices are symmetric: $(x, y)$ and $(-x, y)$ with $x \gt 0.$ The side from $(0,1)$ to $(x,y)$ makes a $120^\circ$ angle with the positive $x$ -axis, so it lies on the line $y = -\sqrt{3}\,x + 1.$

Substituting into $x^2 + 4y^2 = 4$ gives $x^2 + 4(1 - \sqrt{3}x)^2 = 4,$ which simplifies to $13x^2 - 8\sqrt{3}\,x = 0,$ so $x = \frac{8\sqrt{3}}{13}.$

The side length is $2x = \frac{16\sqrt{3}}{13},$ whose square is $\frac{768}{169}.$ Since $\gcd(768, 169) = 1,$ the answer is $768 + 169 = 937.$

6.

Se lanza un dado justo cuatro veces. La probabilidad de que cada uno de los tres últimos lanzamientos sea al menos tan grande como el lanzamiento que lo precede puede expresarse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A fair die is rolled four times. The probability that each of the final three rolls is at least as large as the roll preceding it may be expressed in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad básica estrellas y barras biyección

Nivel de dificultad: 2230

Solución:

Los lanzamientos deben formar una sucesión no decreciente. Todo multiconjunto de cuatro valores de $\{1, \ldots, 6\}$ puede ordenarse de forma no decreciente de exactamente una manera, así que el número de resultados favorables es igual al número de tales multiconjuntos. Por estrellas y barras (4 estrellas y 5 separadores), ese conteo es $\binom{9}{4} = 126.$

La probabilidad es $\frac{126}{6^4} = \frac{126}{1296} = \frac{7}{72},$ así que $m + n = 7 + 72 = 79.$

The rolls must form a non-decreasing sequence. Every multiset of four values from $\{1, \ldots, 6\}$ can be arranged in non-decreasing order in exactly one way, so the number of successful outcomes equals the number of such multisets. By stars and bars (4 stars and 5 dividers), that count is $\binom{9}{4} = 126.$

The probability is $\frac{126}{6^4} = \frac{126}{1296} = \frac{7}{72},$ so $m + n = 7 + 72 = 79.$

7.

El triángulo $ABC$ tiene $AB = 21,$ $AC = 22,$ y $BC = 20.$ Los puntos $D$ y $E$ están sobre $\overline{AB}$ y $\overline{AC},$ respectivamente, de modo que $\overline{DE}$ es paralelo a $\overline{BC}$ y contiene el centro de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC.$ Entonces $DE = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Triangle $ABC$ has $AB = 21,$ $AC = 22,$ and $BC = 20.$ Points $D$ and $E$ are located on $\overline{AB}$ and $\overline{AC},$ respectively, such that $\overline{DE}$ is parallel to $\overline{BC}$ and contains the center of the inscribed circle of triangle $ABC.$ Then $DE = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:semejanza circunferencia inscrita, incentro e inradio

Nivel de dificultad: 2390

Solución:

Como $\overline{DE} \parallel \overline{BC},$ los triángulos $ADE$ y $ABC$ son semejantes, y la razón es igual a la razón de sus alturas desde $A.$ La recta $DE$ pasa por el incentro, que se encuentra a altura $r$ (el inradio) sobre $BC,$ así que la razón es $\frac{h - r}{h} = 1 - \frac{r}{h},$ donde $h$ es la altura desde $A$ hasta $\overline{BC}.$

Si $K$ es el área y $s = \frac{21 + 22 + 20}{2} = \frac{63}{2}$ el semiperímetro, entonces $r = \frac{K}{s}$ y $h = \frac{2K}{20},$ así que $\frac{r}{h} = \frac{20}{2s} = \frac{20}{63}.$

Por lo tanto $DE = 20\left(1 - \frac{20}{63}\right)$ $= 20 \cdot \frac{43}{63}$ $= \frac{860}{63},$ que ya está en su forma más simple, y $m + n = 860 + 63 = 923.$

Since $\overline{DE} \parallel \overline{BC},$ triangles $ADE$ and $ABC$ are similar, and the ratio equals the ratio of their heights from $A.$ The line $DE$ passes through the incenter, which sits at height $r$ (the inradius) above $BC,$ so the ratio is $\frac{h - r}{h} = 1 - \frac{r}{h},$ where $h$ is the height from $A$ to $\overline{BC}.$

If $K$ is the area and $s = \frac{21 + 22 + 20}{2} = \frac{63}{2}$ the semiperimeter, then $r = \frac{K}{s}$ and $h = \frac{2K}{20},$ so $\frac{r}{h} = \frac{20}{2s} = \frac{20}{63}.$

Therefore $DE = 20\left(1 - \frac{20}{63}\right)$ $= 20 \cdot \frac{43}{63}$ $= \frac{860}{63},$ which is in lowest terms, and $m + n = 860 + 63 = 923.$

8.

Llamamos a un entero positivo $N$ un doble 7-10 si las cifras de la representación en base $7$ de $N$ forman un número en base $10$ que es el doble de $N.$ Por ejemplo, $51$ es un doble 7-10 porque su representación en base $7$ es $102.$ ¿Cuál es el mayor doble 7-10?

Call a positive integer $N$ a 7-10 double if the digits of the base- $7$ representation of $N$ form a base- $10$ number that is twice $N.$ For example, $51$ is a 7-10 double because its base- $7$ representation is $102.$ What is the largest 7-10 double?

Respuesta

Conceptos:base numérica dígitos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2430

Solución:

Supongamos que $N$ tiene cifras en base $7$ $d_k \ldots d_1 d_0.$ La condición es $\sum d_i \, 10^i = 2 \sum d_i \, 7^i,$ es decir $\sum d_i \,(10^i - 2 \cdot 7^i) = 0.$ Los coeficientes $10^i - 2 \cdot 7^i$ para $i = 0, 1, 2, 3$ son $-1,$ $-4,$ $2,$ $314.$ Si hubiera una cifra $d_3 \ge 1,$ la contribución positiva sería al menos $314,$ pero los términos negativos suman como máximo $4 \cdot 6 + 6 = 30.$ Así que $N$ tiene a lo sumo tres cifras en base $7$ .

Para tres cifras la condición es $2 d_2 = 4 d_1 + d_0.$ Para maximizar $N = 49 d_2 + 7 d_1 + d_0,$ tomamos $d_2 = 6,$ de modo que $4 d_1 + d_0 = 12;$ el mayor valor de $7 d_1 + d_0$ proviene de $d_1 = 3,$ $d_0 = 0.$

Así $N = 49 \cdot 6 + 7 \cdot 3 = 315,$ cuya representación en base $7$ es $630 = 2 \cdot 315.$

Suppose $N$ has base- $7$ digits $d_k \ldots d_1 d_0.$ The condition is $\sum d_i \, 10^i = 2 \sum d_i \, 7^i,$ that is $\sum d_i \,(10^i - 2 \cdot 7^i) = 0.$ The coefficients $10^i - 2 \cdot 7^i$ for $i = 0, 1, 2, 3$ are $-1,$ $-4,$ $2,$ $314.$ If there were a digit $d_3 \ge 1,$ the positive contribution would be at least $314,$ but the negative terms total at most $4 \cdot 6 + 6 = 30.$ So $N$ has at most three base- $7$ digits.

For three digits the condition reads $2 d_2 = 4 d_1 + d_0.$ To maximize $N = 49 d_2 + 7 d_1 + d_0,$ take $d_2 = 6,$ so $4 d_1 + d_0 = 12;$ the largest value of $7 d_1 + d_0$ comes from $d_1 = 3,$ $d_0 = 0.$

Thus $N = 49 \cdot 6 + 7 \cdot 3 = 315,$ whose base- $7$ representation is $630 = 2 \cdot 315.$

9.

En el triángulo $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15,$ y $CA = 17.$ El punto $D$ está sobre $\overline{AB},$ $E$ está sobre $\overline{BC},$ y $F$ está sobre $\overline{CA}.$ Sean $AD = p \cdot AB,$ $BE = q \cdot BC,$ y $CF = r \cdot CA,$ donde $p,$ $q,$ y $r$ son positivos y cumplen $p + q + r = \frac{2}{3}$ y $p^2 + q^2 + r^2 = \frac{2}{5}.$ La razón entre el área del triángulo $DEF$ y el área del triángulo $ABC$ puede escribirse en la forma $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 15,$ and $CA = 17.$ Point $D$ is on $\overline{AB},$ $E$ is on $\overline{BC},$ and $F$ is on $\overline{CA}.$ Let $AD = p \cdot AB,$ $BE = q \cdot BC,$ and $CF = r \cdot CA,$ where $p,$ $q,$ and $r$ are positive and satisfy $p + q + r = \frac{2}{3}$ and $p^2 + q^2 + r^2 = \frac{2}{5}.$ The ratio of the area of triangle $DEF$ to the area of triangle $ABC$ can be written in the form $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:razón de áreas simetría (álgebra)manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

El área de cada triángulo de esquina es un producto de fracciones de lados: $[ADF] = p(1-r)[ABC],$ $[BED] = q(1-p)[ABC],$ y $[CFE] = r(1-q)[ABC],$ usando la fórmula $\frac{1}{2}xy\sin\theta$ sobre los ángulos compartidos. Restando, $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &= 1 - p(1-r) \\ &\quad {}- q(1-p) - r(1-q) \\ &= 1 - (p+q+r) \\ &\quad {}+ (pq+qr+rp). \end{aligned}$

A partir de los valores dados, $pq + qr + rp = \frac{(2/3)^2 - 2/5}{2}$ $= \frac{4/9 - 2/5}{2}$ $= \frac{1}{45}.$

Por lo tanto la razón es $1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{45} = \frac{16}{45},$ y $m + n = 16 + 45 = 61.$

Each corner triangle's area is a product of side fractions: $[ADF] = p(1-r)[ABC],$ $[BED] = q(1-p)[ABC],$ and $[CFE] = r(1-q)[ABC],$ using the formula $\frac{1}{2}xy\sin\theta$ on the shared angles. Subtracting, $\begin{aligned} \frac{[DEF]}{[ABC]} &= 1 - p(1-r) \\ &\quad {}- q(1-p) - r(1-q) \\ &= 1 - (p+q+r) \\ &\quad {}+ (pq+qr+rp). \end{aligned}$

From the given values, $pq + qr + rp = \frac{(2/3)^2 - 2/5}{2}$ $= \frac{4/9 - 2/5}{2}$ $= \frac{1}{45}.$

Therefore the ratio is $1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{45} = \frac{16}{45},$ and $m + n = 16 + 45 = 61.$

10.

Sea $\mathcal{S}$ el conjunto de puntos cuyas coordenadas $x,$ $y,$ y $z$ son enteros que satisfacen $0 \le x \le 2,$ $0 \le y \le 3,$ y $0 \le z \le 4.$ Se eligen al azar dos puntos distintos de $\mathcal{S}.$ La probabilidad de que el punto medio del segmento que determinan también pertenezca a $\mathcal{S}$ es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Let $\mathcal{S}$ be the set of points whose coordinates $x,$ $y,$ and $z$ are integers that satisfy $0 \le x \le 2,$ $0 \le y \le 3,$ and $0 \le z \le 4.$ Two distinct points are randomly chosen from $\mathcal{S}.$ The probability that the midpoint of the segment they determine also belongs to $\mathcal{S}$ is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:paridad probabilidad básica conteo de pares punto reticular

Nivel de dificultad: 2500

Solución:

El punto medio es un punto reticular exactamente cuando los dos puntos elegidos coinciden en paridad en cada coordenada. Cuenta los pares ordenados (permitiendo igualdad) coordenada por coordenada. Para $x \in \{0, 1, 2\}$ hay $2$ valores pares y $1$ impar, dando $2^2 + 1^2 = 5$ pares ordenados de la misma paridad. Para $y \in \{0, \ldots, 3\}:$ $2^2 + 2^2 = 8.$ Para $z \in \{0, \ldots, 4\}:$ $3^2 + 2^2 = 13.$

Eso da $5 \cdot 8 \cdot 13 = 520$ pares ordenados, incluyendo los $60$ pares en que los dos puntos son iguales, así que $520 - 60 = 460$ pares ordenados de puntos distintos, o $230$ pares no ordenados. El número total de pares no ordenados es $\binom{60}{2} = 1770.$

La probabilidad es $\frac{230}{1770} = \frac{23}{177},$ y como $177 = 3 \cdot 59,$ está en su forma más simple. Así $m + n = 23 + 177 = 200.$

The midpoint is a lattice point exactly when the two chosen points agree in parity in each coordinate. Count ordered pairs (allowing equality) coordinate by coordinate. For $x \in \{0, 1, 2\}$ there are $2$ even and $1$ odd values, giving $2^2 + 1^2 = 5$ same-parity ordered pairs. For $y \in \{0, \ldots, 3\}:$ $2^2 + 2^2 = 8.$ For $z \in \{0, \ldots, 4\}:$ $3^2 + 2^2 = 13.$

That gives $5 \cdot 8 \cdot 13 = 520$ ordered pairs, including the $60$ pairs where the two points are equal, so $520 - 60 = 460$ ordered pairs of distinct points, or $230$ unordered pairs. The total number of unordered pairs is $\binom{60}{2} = 1770.$

The probability is $\frac{230}{1770} = \frac{23}{177},$ and since $177 = 3 \cdot 59,$ this is in lowest terms. Thus $m + n = 23 + 177 = 200.$

11.

En un arreglo rectangular de puntos, con $5$ filas y $N$ columnas, los puntos se numeran consecutivamente de izquierda a derecha comenzando por la fila superior. Así, la fila superior se numera de $1$ a $N,$ la segunda fila se numera de $N + 1$ a $2N,$ y así sucesivamente. Se seleccionan cinco puntos, $P_1,$ $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ y $P_5,$ de modo que cada $P_i$ está en la fila $i.$ Sea $x_i$ el número asociado a $P_i.$ Ahora se renumera el arreglo consecutivamente de arriba abajo, comenzando por la primera columna. Sea $y_i$ el número asociado a $P_i$ después de renumerar.

Se encuentra que $x_1 = y_2,$ $x_2 = y_1,$ $x_3 = y_4,$ $x_4 = y_5,$ y $x_5 = y_3.$ Halla el menor valor posible de $N.$

In a rectangular array of points, with $5$ rows and $N$ columns, the points are numbered consecutively from left to right beginning with the top row. Thus the top row is numbered $1$ through $N,$ the second row is numbered $N + 1$ through $2N,$ and so forth. Five points, $P_1,$ $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ and $P_5,$ are selected so that each $P_i$ is in row $i.$ Let $x_i$ be the number associated with $P_i.$ Now renumber the array consecutively from top to bottom, beginning with the first column. Let $y_i$ be the number associated with $P_i$ after renumbering.

It is found that $x_1 = y_2,$ $x_2 = y_1,$ $x_3 = y_4,$ $x_4 = y_5,$ and $x_5 = y_3.$ Find the smallest possible value of $N.$

Respuesta

Conceptos:sistema de ecuaciones aritmética modular

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Sea $P_i$ en la columna $c_i.$ Entonces $x_i = (i-1)N + c_i$ y $y_i = 5(c_i - 1) + i.$ Las cinco condiciones se convierten en $\begin{aligned} c_1 &= 5c_2 - 3, \\ N + c_2 &= 5c_1 - 4, \\ 2N + c_3 &= 5c_4 - 1, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 3N + c_4 &= 5c_5, \\ 4N + c_5 &= 5c_3 - 2. \end{aligned}$

Sustituyendo $c_1 = 5c_2 - 3$ en la segunda ecuación se obtiene $N = 24c_2 - 19.$ Eliminando $c_3$ y $c_4$ de las tres últimas ecuaciones se obtiene $124 c_5 = 89N + 7.$ Sustituyendo $N = 24c_2 - 19$ y reduciendo, $31 \mid 534 c_2 - 421,$ es decir $7 c_2 \equiv 18 \pmod{31},$ cuya menor solución positiva es $c_2 = 7.$

Entonces $N = 24 \cdot 7 - 19 = 149,$ y sustituyendo hacia atrás se obtienen columnas válidas $(c_1, \ldots, c_5) = (32, 7, 107, 45, 86),$ todas a lo sumo $149.$ Así el menor valor posible de $N$ es $149.$

Let $P_i$ sit in column $c_i.$ Then $x_i = (i-1)N + c_i$ and $y_i = 5(c_i - 1) + i.$ The five conditions become $\begin{aligned} c_1 &= 5c_2 - 3, \\ N + c_2 &= 5c_1 - 4, \\ 2N + c_3 &= 5c_4 - 1, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 3N + c_4 &= 5c_5, \\ 4N + c_5 &= 5c_3 - 2. \end{aligned}$

Substituting $c_1 = 5c_2 - 3$ into the second equation gives $N = 24c_2 - 19.$ Eliminating $c_3$ and $c_4$ from the last three equations yields $124 c_5 = 89N + 7.$ Substituting $N = 24c_2 - 19$ and reducing, $31 \mid 534 c_2 - 421,$ i.e. $7 c_2 \equiv 18 \pmod{31},$ whose smallest positive solution is $c_2 = 7.$

Then $N = 24 \cdot 7 - 19 = 149,$ and back-substituting gives valid columns $(c_1, \ldots, c_5) = (32, 7, 107, 45, 86),$ all at most $149.$ So the smallest possible $N$ is $149.$

12.

Una esfera está inscrita en el tetraedro cuyos vértices son $A = (6, 0, 0),$ $B = (0, 4, 0),$ $C = (0, 0, 2),$ y $D = (0, 0, 0).$ El radio de la esfera es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

A sphere is inscribed in the tetrahedron whose vertices are $A = (6, 0, 0),$ $B = (0, 4, 0),$ $C = (0, 0, 2),$ and $D = (0, 0, 0).$ The radius of the sphere is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D circunferencia inscrita, incentro e inradio volumen vector

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Conectar el incentro con los cuatro vértices divide el tetraedro en cuatro pirámides de altura $r$ sobre las caras, así que $V = \frac{1}{3} r S,$ es decir $r = \frac{3V}{S},$ donde $S$ es el área total de la superficie.

Aquí $V = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 8.$ Las tres caras sobre los planos coordenados son triángulos rectángulos con áreas $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12,$ $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6,$ y $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4.$ Para la cara $ABC,$ el producto vectorial de $\overrightarrow{AB} = (-6, 4, 0)$ y $\overrightarrow{AC} = (-6, 0, 2)$ es $(8, 12, 24),$ con longitud $4\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = 28,$ así que esa cara tiene área $14.$

Entonces $S = 12 + 6 + 4 + 14 = 36$ y $r = \frac{24}{36} = \frac{2}{3},$ dando $m + n = 2 + 3 = 5.$

Connecting the incenter to the four vertices splits the tetrahedron into four pyramids of height $r$ over the faces, so $V = \frac{1}{3} r S,$ i.e. $r = \frac{3V}{S},$ where $S$ is the total surface area.

Here $V = \frac{1}{6} \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 8.$ The three faces on the coordinate planes are right triangles with areas $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12,$ $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 = 6,$ and $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4.$ For face $ABC,$ the cross product of $\overrightarrow{AB} = (-6, 4, 0)$ and $\overrightarrow{AC} = (-6, 0, 2)$ is $(8, 12, 24),$ with length $4\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = 28,$ so that face has area $14.$

Then $S = 12 + 6 + 4 + 14 = 36$ and $r = \frac{24}{36} = \frac{2}{3},$ giving $m + n = 2 + 3 = 5.$

13.

En cierta circunferencia, la cuerda de un arco de $d$ grados mide $22$ centímetros, y la cuerda de un arco de $2d$ grados es $20$ centímetros más larga que la cuerda de un arco de $3d$ grados, donde $d \lt 120.$ La longitud de la cuerda de un arco de $3d$ grados es $-m + \sqrt{n}$ centímetros, donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Halla $m + n.$

In a certain circle, the chord of a $d$ -degree arc is $22$ centimeters long, and the chord of a $2d$ -degree arc is $20$ centimeters longer than the chord of a $3d$ -degree arc, where $d \lt 120.$ The length of the chord of a $3d$ -degree arc is $-m + \sqrt{n}$ centimeters, where $m$ and $n$ are positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:cuerda identidad trigonométrica cuadrática

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Una cuerda que subtiende un arco de $\theta$ grados en una circunferencia de radio $R$ tiene longitud $2R\sin\frac{\theta}{2}.$ Escribe $t = \frac{d}{2},$ de modo que las tres cuerdas son $2R\sin t = 22,$ $2R \sin 2t,$ y $2R \sin 3t.$ Usando $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ y $\sin 3t = \sin t\,(4\cos^2 t - 1),$ las cuerdas de los arcos de $2d$ y $3d$ grados son $22 \cdot 2\cos t = 44 \cos t$ y $22\,(4\cos^2 t - 1).$

La condición "la cuerda de $2d$ es $20$ más larga que la cuerda de $3d$ " se convierte en $44\cos t = 22\,(4\cos^2 t - 1) + 20,$ que se simplifica a $44 \cos^2 t - 22 \cos t - 1 = 0.$ De aquí, $4\cos^2 t = 2\cos t + \frac{1}{11},$ así que la cuerda de $3d$ es igual a $22\left(2\cos t + \frac{1}{11} - 1\right)$ $= 44 \cos t - 20.$

Resolviendo la cuadrática, $\cos t = \frac{22 + \sqrt{484 + 176}}{88} = \frac{11 + \sqrt{165}}{44}$ (la raíz $+$ ya que $d \lt 120$ implica $t \lt 60^\circ,$ así que $\cos t \gt \frac{1}{2}$ ). Entonces la cuerda de $3d$ es $44\cos t - 20$ $= 11 + \sqrt{165} - 20$ $= -9 + \sqrt{165},$ dando $m + n = 9 + 165 = 174.$

A chord subtending a $\theta$ -degree arc in a circle of radius $R$ has length $2R\sin\frac{\theta}{2}.$ Write $t = \frac{d}{2},$ so the three chords are $2R\sin t = 22,$ $2R \sin 2t,$ and $2R \sin 3t.$ Using $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ and $\sin 3t = \sin t\,(4\cos^2 t - 1),$ the chords of the $2d$ - and $3d$ -degree arcs are $22 \cdot 2\cos t = 44 \cos t$ and $22\,(4\cos^2 t - 1).$

The condition "the $2d$ -chord is $20$ longer than the $3d$ -chord" becomes $44\cos t = 22\,(4\cos^2 t - 1) + 20,$ which simplifies to $44 \cos^2 t - 22 \cos t - 1 = 0.$ From this, $4\cos^2 t = 2\cos t + \frac{1}{11},$ so the $3d$ -chord equals $22\left(2\cos t + \frac{1}{11} - 1\right)$ $= 44 \cos t - 20.$

Solving the quadratic, $\cos t = \frac{22 + \sqrt{484 + 176}}{88} = \frac{11 + \sqrt{165}}{44}$ (the $+$ root since $d \lt 120$ means $t \lt 60^\circ,$ so $\cos t \gt \frac{1}{2}$ ). Then the $3d$ -chord is $44\cos t - 20$ $= 11 + \sqrt{165} - 20$ $= -9 + \sqrt{165},$ giving $m + n = 9 + 165 = 174.$

14.

Un cartero reparte correo a las diecinueve casas del lado este de Elm Street. El cartero observa que nunca dos casas adyacentes reciben correo el mismo día, pero que nunca hay más de dos casas seguidas sin recibir correo el mismo día. ¿Cuántos patrones distintos de reparto de correo son posibles?

A mail carrier delivers mail to the nineteen houses on the east side of Elm Street. The carrier notices that no two adjacent houses ever get mail on the same day, but that there are never more than two houses in a row that get no mail on the same day. How many different patterns of mail delivery are possible?

Respuesta

Conceptos:conteo recursivo arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 2760

Solución:

Escribe $1$ para una casa que recibe correo y $0$ para una que no la recibe. Los patrones válidos son cadenas binarias de longitud $19$ sin dos $1$ consecutivos y sin tres $0$ consecutivos. Sean $A_n,$ $B_n,$ $C_n$ el número de cadenas válidas de longitud $n$ que terminan en $1,$ en exactamente un $0,$ y en exactamente dos $0$ . Un $1$ puede seguir a cualquiera de los dos finales en $0$ , un único $0$ puede seguir a un $1,$ y un segundo $0$ puede seguir a un único $0:$ $\begin{aligned} A_n &= B_{n-1} + C_{n-1}, \\ B_n &= A_{n-1}, \\ C_n &= B_{n-1}. \end{aligned}$

Partiendo de $A_1 = B_1 = 1,$ $C_1 = 0$ e iterando, los totales $A_n + B_n + C_n$ son $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $7,$ $9,$ $12,$ $16,$ $21,$ $28,$ $37,$ $49,$ $65,$ $86,$ $114,$ $151,$ $200,$ $265,$ $351.$

Para $n = 19$ el conteo es $351.$

Write $1$ for a house that gets mail and $0$ for one that does not. Valid patterns are binary strings of length $19$ with no two consecutive $1$ s and no three consecutive $0$ s. Let $A_n,$ $B_n,$ $C_n$ count valid length- $n$ strings ending in $1,$ in exactly one $0,$ and in exactly two $0$ s. A $1$ may follow either kind of $0$ -ending, a single $0$ may follow a $1,$ and a second $0$ may follow a single $0:$ $\begin{aligned} A_n &= B_{n-1} + C_{n-1}, \\ B_n &= A_{n-1}, \\ C_n &= B_{n-1}. \end{aligned}$

Starting from $A_1 = B_1 = 1,$ $C_1 = 0$ and iterating, the totals $A_n + B_n + C_n$ run $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $7,$ $9,$ $12,$ $16,$ $21,$ $28,$ $37,$ $49,$ $65,$ $86,$ $114,$ $151,$ $200,$ $265,$ $351.$

For $n = 19$ the count is $351.$

15.

Los números $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,$ y $8$ se escriben al azar en las caras de un octaedro regular de modo que cada cara contiene un número diferente. La probabilidad de que no haya dos números consecutivos, donde $8$ y $1$ se consideran consecutivos, escritos en caras que comparten una arista es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

The numbers $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,$ and $8$ are randomly written on the faces of a regular octahedron so that each face contains a different number. The probability that no two consecutive numbers, where $8$ and $1$ are considered to be consecutive, are written on faces that share an edge is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:poliedro teoría de grafos probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Pasa al cubo dual: las caras del octaedro corresponden a los vértices de un cubo, y dos caras comparten una arista exactamente cuando los vértices del cubo correspondientes son adyacentes. Seguir los números $1, 2, \ldots, 8$ y volver a $1$ traza un circuito cerrado de $8$ pasos por todos los vértices del cubo, y el requisito es que cada paso sea una diagonal (una arista de uno de los dos tetraedros inscritos, o una de las $4$ diagonales espaciales largas). Hay $16$ diagonales de este tipo.

Cada vértice está en exactamente una diagonal larga, así que el circuito no puede tomar dos diagonales largas seguidas, y cambiar entre los dos tetraedros solo es posible mediante una diagonal larga. Por lo tanto el circuito usa $4$ diagonales largas alternadas con aristas de tetraedro, o $2$ diagonales largas separadas por caminos de $3$ aristas en cada tetraedro. En el primer caso, elegir un par de aristas opuestas en cada tetraedro ( $3 \cdot 2$ formas) da $6$ octágonos, cada uno recorrible como $8 \cdot 2$ permutaciones: $96.$ En el segundo caso, un camino de $3$ aristas en un tetraedro puede elegirse de $4! = 24$ formas, y el camino de retorno por el otro tetraedro queda entonces forzado salvo $2$ opciones, dando $8 \cdot 24 \cdot 2 = 384$ permutaciones.

Así $96 + 384 = 480$ de los $8! = 40320$ etiquetados funcionan, y la probabilidad es $\frac{480}{40320} = \frac{1}{84}.$ Por lo tanto $m + n = 1 + 84 = 85.$

Pass to the dual cube: the octahedron's faces correspond to a cube's vertices, and two faces share an edge exactly when the corresponding cube vertices are adjacent. Following the numbers $1, 2, \ldots, 8$ and back to $1$ traces a closed $8$ -step circuit through all the cube's vertices, and the requirement is that every step is a diagonal (an edge of one of the two inscribed tetrahedra, or one of the $4$ long space diagonals). There are $16$ such diagonals.

Each vertex lies on exactly one long diagonal, so the circuit cannot take two long diagonals in a row, and switching between the two tetrahedra is possible only via a long diagonal. Hence the circuit uses either $4$ long diagonals alternating with tetrahedron edges, or $2$ long diagonals separated by $3$ -edge paths in each tetrahedron. In the first case, choosing a pair of opposite edges in each tetrahedron ( $3 \cdot 2$ ways) gives $6$ octagons, each traceable as $8 \cdot 2$ permutations: $96.$ In the second case, a $3$ -edge path in one tetrahedron can be chosen in $4! = 24$ ways, and the return path through the other tetrahedron is then forced up to $2$ choices, giving $8 \cdot 24 \cdot 2 = 384$ permutations.

So $96 + 384 = 480$ of the $8! = 40320$ labelings work, and the probability is $\frac{480}{40320} = \frac{1}{84}.$ Thus $m + n = 1 + 84 = 85.$