Question

Los vértices de un nonágono regular (polígono de $9$ lados) se van a etiquetar con los dígitos $1$ a $9$ de tal manera que la suma de los números en cada tres vértices consecutivos sea múltiplo de $3.$ Dos disposiciones aceptables se consideran indistinguibles si una se puede obtener de la otra rotando el nonágono en el plano. Halla el número de disposiciones aceptables distinguibles.

The vertices of a regular nonagon ( $9$ -sided polygon) are to be labeled with the digits $1$ through $9$ in such a way that the sum of the numbers on every three consecutive vertices is a multiple of $3.$ Two acceptable arrangements are considered to be indistinguishable if one can be obtained from the other by rotating the nonagon in the plane. Find the number of distinguishable acceptable arrangements.

Respuesta

Solución:

Dos tripletas solapadas de vértices consecutivos comparten dos etiquetas, así que sus sumas difieren en las etiquetas separadas por tres posiciones. Como todas las sumas de tripletas son múltiplos de $3,$ las etiquetas separadas por tres posiciones son congruentes módulo $3.$ Por lo tanto, las clases de posiciones $\{1, 4, 7\},$ $\{2, 5, 8\},$ $\{3, 6, 9\}$ llevan cada una una sola clase de residuos de dígitos, y los dígitos $1$ a $9$ constan exactamente de tres dígitos de cada clase de residuos módulo $3.$

Entonces cada tripleta de posiciones consecutivas contiene un dígito de cada clase de residuos, con suma $\equiv 0 + 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3,$ así que las $3!$ asignaciones de clases de residuos a clases de posiciones son todas aceptables, y dentro de cada clase de posiciones los tres dígitos se pueden ordenar de $3!$ maneras. Eso da $3! \cdot (3!)^3 = 6^4 = 1296$ etiquetados aceptables.

Como los dígitos son distintos, ninguna rotación no trivial fija un etiquetado, así que los $1296$ etiquetados se dividen en clases de rotación de tamaño $9,$ lo que da $\frac{1296}{9} = 144$ disposiciones distinguibles.

Two overlapping triples of consecutive vertices share two labels, so their sums differ by labels three positions apart. Since all triple sums are multiples of $3,$ labels three apart are congruent mod $3.$ Thus the position classes $\{1, 4, 7\},$ $\{2, 5, 8\},$ $\{3, 6, 9\}$ each carry a single residue class of digits, and the digits $1$ through $9$ consist of exactly three digits from each residue class mod $3.$

Every triple of consecutive positions then contains one digit from each residue class, with sum $\equiv 0 + 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3,$ so all $3!$ assignments of residue classes to position classes are acceptable, and within each position class the three digits can be arranged in $3!$ ways. That gives $3! \cdot (3!)^3 = 6^4 = 1296$ acceptable labelings.

Because the digits are distinct, no nontrivial rotation fixes a labeling, so the $1296$ labelings split into rotation classes of size $9,$ giving $\frac{1296}{9} = 144$ distinguishable arrangements.

2011 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años