Question

Sean $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{12}$ los vértices de un dodecágono regular. ¿Cuántos cuadrados distintos en el plano del dodecágono tienen al menos dos vértices en el conjunto $\{A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{12}\}$ ?

Let $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{12}$ be the vertices of a regular dodecagon. How many distinct squares in the plane of the dodecagon have at least two vertices in the set $\{A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{12}\}?$

Respuesta

Solución:

Cada uno de los $\binom{12}{2} = 66$ pares de vértices determina exactamente tres cuadrados: dos que tienen el par como lado (uno a cada lado del segmento) y uno que lo tiene como diagonal. Eso cuenta $3 \cdot 66 = 198$ cuadrados.

Un cuadrado se cuenta de más solo si tiene más de dos vértices entre los $A_i.$ Si tres vértices de un cuadrado están en la circunferencia circunscrita, la propia circunferencia circunscrita del cuadrado comparte tres puntos con ella y por tanto coincide con ella, y los vértices de un cuadrado inscrito están separados $90^\circ$ , es decir, tres pasos del dodecágono, así que el cuarto vértice también es un $A_i.$ Los cuadrados totalmente inscritos son exactamente $A_1A_4A_7A_{10},$ $A_2A_5A_8A_{11},$ y $A_3A_6A_9A_{12},$ y cada uno se genera con los $\binom{4}{2} = 6$ pares de sus vértices, así que cada uno se cuenta $6$ veces en lugar de una.

El número de cuadrados distintos es $198 - 3 \cdot 5 = 183.$

Each of the $\binom{12}{2} = 66$ pairs of vertices determines exactly three squares: two having the pair as a side (one on each side of the segment) and one having it as a diagonal. That counts $3 \cdot 66 = 198$ squares.

A square is overcounted only if it has more than two vertices among the $A_i.$ If three vertices of a square lie on the circumcircle, the square's own circumcircle shares three points with it and hence coincides with it, and an inscribed square's vertices are spaced $90^\circ$ apart — three steps of the dodecagon — so the fourth vertex is also an $A_i.$ The fully inscribed squares are exactly $A_1A_4A_7A_{10},$ $A_2A_5A_8A_{11},$ and $A_3A_6A_9A_{12},$ and each is generated by all $\binom{4}{2} = 6$ of its vertex pairs, so each is counted $6$ times instead of once.

The number of distinct squares is $198 - 3 \cdot 5 = 183.$

2002 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años