Question

Sea $ABCDEF$ un hexágono equilátero convexo en el que todos los pares de lados opuestos son paralelos. El triángulo cuyos lados son las prolongaciones de los segmentos $\overline{AB},$ $\overline{CD},$ y $\overline{EF}$ tiene longitudes de lado $200, 240,$ y $300.$ Halla la longitud del lado del hexágono.

Let $ABCDEF$ be a convex equilateral hexagon in which all pairs of opposite sides are parallel. The triangle whose sides are extensions of segments $\overline{AB},$ $\overline{CD},$ and $\overline{EF}$ has side lengths $200, 240,$ and $300.$ Find the side length of the hexagon.

Respuesta

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del hexágono, y sea el triángulo formado por las rectas $AB,$ $CD,$ $EF$ con lados de longitudes $P,$ $Q,$ $R$ a lo largo de esas tres rectas, respectivamente. El triángulo de esquina recortado en el vértice $X$ donde se cortan las rectas $AB$ y $CD$ tiene tercer lado $BC,$ y como $BC \parallel EF,$ sus tres lados son paralelos a los lados del triángulo grande. Así que es semejante al triángulo grande con razón $\frac{BC}{R} = \frac{s}{R},$ y su lado a lo largo de la recta $AB$ tiene longitud $P \cdot \frac{s}{R}.$ De igual modo, la esquina en $AB \cap EF$ contiene $FA \parallel CD$ y recorta $P \cdot \frac{s}{Q}$ del lado $P$ .

El lado $P$ se descompone por tanto en trozo de esquina, $AB,$ trozo de esquina: $P = P \cdot \frac{s}{R} + s + P \cdot \frac{s}{Q},$ y al dividir entre $P$ se obtiene $1 = s\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{Q} + \frac{1}{R}\right),$ simétrica en los tres lados.

Por lo tanto $s = \frac{1}{\frac{1}{200} + \frac{1}{240} + \frac{1}{300}} = \frac{1200}{6 + 5 + 4} = 80.$

Let $s$ be the hexagon's side length, and let the triangle formed by lines $AB,$ $CD,$ $EF$ have sides of lengths $P,$ $Q,$ $R$ along those three lines, respectively. The corner triangle cut off at the vertex $X$ where lines $AB$ and $CD$ meet has third side $BC,$ and since $BC \parallel EF,$ all three of its sides are parallel to sides of the big triangle. So it is similar to the big triangle with ratio $\frac{BC}{R} = \frac{s}{R},$ and its side along line $AB$ has length $P \cdot \frac{s}{R}.$ Likewise the corner at $AB \cap EF$ contains $FA \parallel CD$ and cuts off $P \cdot \frac{s}{Q}$ from the $P$ -side.

The $P$ -side therefore decomposes as corner piece, $AB,$ corner piece: $P = P \cdot \frac{s}{R} + s + P \cdot \frac{s}{Q},$ and dividing by $P$ gives $1 = s\left(\frac{1}{P} + \frac{1}{Q} + \frac{1}{R}\right),$ symmetric in the three sides.

Hence $s = \frac{1}{\frac{1}{200} + \frac{1}{240} + \frac{1}{300}} = \frac{1200}{6 + 5 + 4} = 80.$

2024 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años