Question

La gráfica de la ecuación $9x + 223y = 2007$ se dibuja en papel cuadriculado, donde cada cuadrito representa una unidad en cada dirección. ¿Cuántos de los cuadritos $1$ por $1$ del papel tienen su interior completamente por debajo de la gráfica y completamente en el primer cuadrante?

The graph of the equation $9x + 223y = 2007$ is drawn on graph paper with each square representing one unit in each direction. How many of the $1$ by $1$ graph paper squares have interiors lying entirely below the graph and entirely in the first quadrant?

Respuesta

Solución:

La recta corta a los ejes en $(223, 0)$ y $(0, 9),$ así que todos los cuadritos que cumplen la condición están dentro del rectángulo $223 \times 9,$ que contiene $223 \cdot 9 = 2007$ cuadritos unitarios. Como $\gcd(9, 223) = 1,$ el segmento no pasa por ningún punto reticular interior; cruza $222$ rectas verticales interiores y $8$ rectas horizontales interiores, entrando en un cuadrito nuevo en cada cruce, así que pasa por el interior de $223 + 9 - 1 = 231$ cuadritos.

Los otros $2007 - 231 = 1776$ cuadritos quedan completamente por encima o completamente por debajo del segmento. El punto medio del segmento $\left(\frac{223}{2}, \frac{9}{2}\right)$ es el centro del rectángulo, así que rotar $180^\circ$ alrededor de él intercambia los dos grupos. Por lo tanto exactamente la mitad de ellos, $888,$ están por debajo de la gráfica.

The line meets the axes at $(223, 0)$ and $(0, 9),$ so all qualifying squares lie inside the $223 \times 9$ rectangle, which contains $223 \cdot 9 = 2007$ unit squares. Because $\gcd(9, 223) = 1,$ the segment passes through no interior lattice point; it crosses $222$ interior vertical lines and $8$ interior horizontal lines, entering a new square at each crossing, so it passes through the interiors of $223 + 9 - 1 = 231$ squares.

The other $2007 - 231 = 1776$ squares lie entirely above or entirely below the segment. The segment's midpoint $\left(\frac{223}{2}, \frac{9}{2}\right)$ is the center of the rectangle, so rotating by $180^\circ$ about it swaps the two groups. Hence exactly half of them, $888,$ lie below the graph.

2007 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años