Question

Alpha y Beta participaron en una competencia de resolución de problemas de dos días. Al final del segundo día, cada uno había intentado preguntas por un total de $500$ puntos. Alpha obtuvo $160$ puntos de los $300$ que intentó el primer día, y obtuvo $140$ puntos de los $200$ que intentó el segundo día. Beta, que no intentó $300$ puntos el primer día, obtuvo una puntuación entera positiva cada uno de los dos días, y la razón de éxito diaria de Beta (puntos obtenidos dividido entre puntos intentados) cada día fue menor que la de Alpha ese día. La razón de éxito de Alpha en los dos días fue $300/500 = 3/5.$ La mayor razón de éxito en dos días que Beta pudo haber logrado es $m/n,$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m + n$ ?

Alpha and Beta both took part in a two-day problem-solving competition. At the end of the second day, each had attempted questions worth a total of $500$ points. Alpha scored $160$ points out of $300$ points attempted on the first day, and scored $140$ points out of $200$ points attempted on the second day. Beta, who did not attempt $300$ points on the first day, had a positive integer score on each of the two days, and Beta's daily success ratio (points scored divided by points attempted) on each day was less than Alpha's on that day. Alpha's two-day success ratio was $300/500 = 3/5.$ The largest possible two-day success ratio that Beta could have achieved is $m/n,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

Respuesta

Solución:

Las razones diarias de Alpha fueron $\frac{160}{300} = \frac{8}{15}$ y $\frac{140}{200} = \frac{7}{10}.$ Como $\frac{8}{15} \lt \frac{7}{10},$ la puntuación de Beta fue menor que $\frac{7}{10}$ de los puntos intentados cada día, así que la puntuación total de Beta fue menor que $\frac{7}{10} \cdot 500 = 350,$ por lo tanto a lo sumo $349.$

Un total de $349$ es alcanzable: Beta puede obtener $1$ de $2$ puntos intentados el primer día (y $\frac{1}{2} \lt \frac{8}{15}$ ) y $348$ de $498$ el segundo día (y $\frac{348}{498} \lt \frac{7}{10}$ porque $3480 \lt 3486$ ).

Así que la mayor razón posible de Beta en dos días es $\frac{349}{500},$ que está en su mínima expresión ya que $349$ es primo, y $m + n = 349 + 500 = 849.$

Alpha's daily ratios were $\frac{160}{300} = \frac{8}{15}$ and $\frac{140}{200} = \frac{7}{10}.$ Since $\frac{8}{15} \lt \frac{7}{10},$ Beta's score was less than $\frac{7}{10}$ of the points attempted on each day, so Beta's total score was less than $\frac{7}{10} \cdot 500 = 350,$ hence at most $349.$

A total of $349$ is achievable: Beta can score $1$ out of $2$ points attempted on day one (and $\frac{1}{2} \lt \frac{8}{15}$ ) and $348$ out of $498$ on day two (and $\frac{348}{498} \lt \frac{7}{10}$ because $3480 \lt 3486$ ).

So Beta's largest possible two-day ratio is $\frac{349}{500},$ which is in lowest terms since $349$ is prime, and $m + n = 349 + 500 = 849.$

2004 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años