Question

Supongamos que $\triangle ABC$ tiene ángulos $\angle BAC = 84^\circ,$ $\angle ABC = 60^\circ,$ y $\angle ACB = 36^\circ.$ Sean $D,$ $E,$ y $F$ los puntos medios de los lados $\overline{BC},$ $\overline{AC},$ y $\overline{AB},$ respectivamente. La circunferencia circunscrita de $\triangle DEF$ corta a $\overline{BD},$ $\overline{AE},$ y $\overline{AF}$ en los puntos $G,$ $H,$ y $J,$ respectivamente. Los puntos $G,$ $D,$ $E,$ $H,$ $J,$ y $F$ dividen la circunferencia circunscrita de $\triangle DEF$ en seis arcos menores, como se muestra. Halla $\widehat{DE} + 2 \cdot \widehat{HJ} + 3 \cdot \widehat{FG},$ donde los arcos se miden en grados.

Suppose $\triangle ABC$ has angles $\angle BAC = 84^\circ,$ $\angle ABC = 60^\circ,$ and $\angle ACB = 36^\circ.$ Let $D,$ $E,$ and $F$ be the midpoints of sides $\overline{BC},$ $\overline{AC},$ and $\overline{AB},$ respectively. The circumcircle of $\triangle DEF$ intersects $\overline{BD},$ $\overline{AE},$ and $\overline{AF}$ at points $G,$ $H,$ and $J,$ respectively. The points $G,$ $D,$ $E,$ $H,$ $J,$ and $F$ divide the circumcircle of $\triangle DEF$ into six minor arcs, as shown. Find $\widehat{DE} + 2 \cdot \widehat{HJ} + 3 \cdot \widehat{FG},$ where the arcs are measured in degrees.

Respuesta

Solución:

El triángulo medial $DEF$ tiene lados paralelos a los de $ABC,$ así que $\angle FDE = 84^\circ,$ $\angle DEF = 60^\circ,$ y $\angle DFE = 36^\circ.$ Su circunferencia circunscrita es la circunferencia de los nueve puntos, cuyas segundas intersecciones con los lados de $ABC$ son los pies de las alturas: $G$ es el pie desde $A,$ $H$ el pie desde $B,$ y $J$ el pie desde $C.$ Por el teorema del ángulo inscrito, $\widehat{DE} = 2\angle DFE = 72^\circ.$

Para $\widehat{FG}:$ como $\overline{DF} \parallel \overline{CA}$ y $G$ está sobre el rayo $DB,$ el ángulo $\angle FDG$ es igual al ángulo entre las rectas $CA$ y $CB,$ que es $36^\circ,$ así que $\widehat{FG} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ.$ Para $\widehat{HJ}:$ como $\angle BJC = \angle BHC = 90^\circ,$ tanto $H$ como $J$ están sobre la circunferencia de diámetro $\overline{BC}$ centrada en $D,$ así que $DJ = DB$ y $DH = DC.$ El triángulo isósceles $BDJ$ da $\angle JDB = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ,$ y el triángulo isósceles $CDH$ da $\angle HDC = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ.$ Por lo tanto $\angle JDH = 180^\circ - 60^\circ$ $- 108^\circ = 12^\circ$ y $\widehat{HJ} = 24^\circ.$

Por lo tanto $\widehat{DE} + 2 \cdot \widehat{HJ}$ $+ 3 \cdot \widehat{FG}$ $= 72 + 48 + 216 = 336.$

The medial triangle $DEF$ has sides parallel to those of $ABC,$ so $\angle FDE = 84^\circ,$ $\angle DEF = 60^\circ,$ and $\angle DFE = 36^\circ.$ Its circumcircle is the nine-point circle, whose second intersections with the sides of $ABC$ are the feet of the altitudes: $G$ is the foot from $A,$ $H$ the foot from $B,$ and $J$ the foot from $C.$ By the inscribed angle theorem, $\widehat{DE} = 2\angle DFE = 72^\circ.$

For $\widehat{FG}:$ since $\overline{DF} \parallel \overline{CA}$ and $G$ lies on ray $DB,$ the angle $\angle FDG$ equals the angle between lines $CA$ and $CB,$ which is $36^\circ,$ so $\widehat{FG} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ.$ For $\widehat{HJ}:$ because $\angle BJC = \angle BHC = 90^\circ,$ both $H$ and $J$ lie on the circle with diameter $\overline{BC}$ centered at $D,$ so $DJ = DB$ and $DH = DC.$ Isosceles triangle $BDJ$ gives $\angle JDB = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ,$ and isosceles triangle $CDH$ gives $\angle HDC = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ.$ Hence $\angle JDH = 180^\circ - 60^\circ$ $- 108^\circ = 12^\circ$ and $\widehat{HJ} = 24^\circ.$

Therefore $\widehat{DE} + 2 \cdot \widehat{HJ}$ $+ 3 \cdot \widehat{FG}$ $= 72 + 48 + 216 = 336.$

2025 AIME II Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años