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2025 AIME II Problema 5

Intenta el Problema 5 del 2025 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2025 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

5.

Supongamos que △ABC\triangle ABC tiene ángulos ∠BAC=84∘,\angle BAC = 84^\circ, ∠ABC=60∘,\angle ABC = 60^\circ, y ∠ACB=36∘.\angle ACB = 36^\circ. Sean D,D, E,E, y FF los puntos medios de los lados BC‾,\overline{BC}, AC‾,\overline{AC}, y AB‾,\overline{AB}, respectivamente. La circunferencia circunscrita de △DEF\triangle DEF corta a BD‾,\overline{BD}, AE‾,\overline{AE}, y AF‾\overline{AF} en los puntos G,G, H,H, y J,J, respectivamente. Los puntos G,G, D,D, E,E, H,H, J,J, y FF dividen la circunferencia circunscrita de △DEF\triangle DEF en seis arcos menores, como se muestra. Halla DE⌢+2⋅HJ⌢+3⋅FG⌢,\overset{\frown}{DE} + 2 \cdot \overset{\frown}{HJ} + 3 \cdot \overset{\frown}{FG}, donde los arcos se miden en grados.
Suppose △ABC\triangle ABC has angles ∠BAC=84∘,\angle BAC = 84^\circ, ∠ABC=60∘,\angle ABC = 60^\circ, and ∠ACB=36∘.\angle ACB = 36^\circ. Let D,D, E,E, and FF be the midpoints of sides BC‾,\overline{BC}, AC‾,\overline{AC}, and AB‾,\overline{AB}, respectively. The circumcircle of △DEF\triangle DEF intersects BD‾,\overline{BD}, AE‾,\overline{AE}, and AF‾\overline{AF} at points G,G, H,H, and J,J, respectively. The points G,G, D,D, E,E, H,H, J,J, and FF divide the circumcircle of △DEF\triangle DEF into six minor arcs, as shown. Find DE⌢+2⋅HJ⌢+3⋅FG⌢,\overset{\frown}{DE} + 2 \cdot \overset{\frown}{HJ} + 3 \cdot \overset{\frown}{FG}, where the arcs are measured in degrees.
Respuesta: 336
Conceptos:ángulo inscritopersecución de ángulostriángulo isósceles
Nivel de dificultad: 2720
Pista pequeña:
La circunferencia que pasa por los puntos medios es la circunferencia de los nueve puntos, así que G,G, H,H, JJ son los pies de las alturas, y △DEF\triangle DEF tiene los mismos ángulos que △ABC\triangle ABC
The circle through the midpoints is the nine-point circle, so G,G, H,H, JJ are the feet of the altitudes, and △DEF\triangle DEF has the same angles as △ABC\triangle ABC
Pista grande:
Como ∠BJC=∠BHC=90∘,\angle BJC = \angle BHC = 90^\circ, DD equidista de B,B, C,C, H,H, J;J; los triángulos isósceles convierten los arcos en ángulos de △ABC\triangle ABC
Since ∠BJC=∠BHC=90∘,\angle BJC = \angle BHC = 90^\circ, DD is equidistant from B,B, C,C, H,H, J;J; isosceles triangles turn the arcs into angles of △ABC\triangle ABC
Solución:
El triángulo medial DEFDEF tiene lados paralelos a los de ABC,ABC, así que ∠FDE=84∘,\angle FDE = 84^\circ, ∠DEF=60∘,\angle DEF = 60^\circ, y ∠DFE=36∘.\angle DFE = 36^\circ. Su circunferencia circunscrita es la circunferencia de los nueve puntos, cuyas segundas intersecciones con los lados de ABCABC son los pies de las alturas: GG es el pie desde A,A, HH el pie desde B,B, y JJ el pie desde C.C. Por el teorema del ángulo inscrito, DE⌢=2∠DFE=72∘.\overset{\frown}{DE} = 2\angle DFE = 72^\circ.
Para FG⌢:\overset{\frown}{FG}: como DF‾∥CA‾\overline{DF} \parallel \overline{CA} y GG está sobre el rayo DB,DB, el ángulo ∠FDG\angle FDG es igual al ángulo entre las rectas CACA y CB,CB, que es 36∘,36^\circ, así que FG⌢=2⋅36∘=72∘.\overset{\frown}{FG} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ. Para HJ⌢:\overset{\frown}{HJ}: como ∠BJC=∠BHC=90∘,\angle BJC = \angle BHC = 90^\circ, tanto HH como JJ están sobre la circunferencia de diámetro BC‾\overline{BC} centrada en D,D, así que DJ=DBDJ = DB y DH=DC.DH = DC. El triángulo isósceles BDJBDJ da ∠JDB=180∘−2⋅60∘=60∘,\angle JDB = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ, y el triángulo isósceles CDHCDH da ∠HDC=180∘−2⋅36∘=108∘.\angle HDC = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ. Por lo tanto ∠JDH=180∘−60∘\angle JDH = 180^\circ - 60^\circ −108∘=12∘- 108^\circ = 12^\circ y HJ⌢=24∘.\overset{\frown}{HJ} = 24^\circ.
Por lo tanto DE⌢+2⋅HJ⌢\overset{\frown}{DE} + 2 \cdot \overset{\frown}{HJ} +3⋅FG⌢+ 3 \cdot \overset{\frown}{FG} =72+48+216=336.= 72 + 48 + 216 = 336.
The medial triangle DEFDEF has sides parallel to those of ABC,ABC, so ∠FDE=84∘,\angle FDE = 84^\circ, ∠DEF=60∘,\angle DEF = 60^\circ, and ∠DFE=36∘.\angle DFE = 36^\circ. Its circumcircle is the nine-point circle, whose second intersections with the sides of ABCABC are the feet of the altitudes: GG is the foot from A,A, HH the foot from B,B, and JJ the foot from C.C. By the inscribed angle theorem, DE⌢=2∠DFE=72∘.\overset{\frown}{DE} = 2\angle DFE = 72^\circ.
For FG⌢:\overset{\frown}{FG}: since DF‾∥CA‾\overline{DF} \parallel \overline{CA} and GG lies on ray DB,DB, the angle ∠FDG\angle FDG equals the angle between lines CACA and CB,CB, which is 36∘,36^\circ, so FG⌢=2⋅36∘=72∘.\overset{\frown}{FG} = 2 \cdot 36^\circ = 72^\circ. For HJ⌢:\overset{\frown}{HJ}: because ∠BJC=∠BHC=90∘,\angle BJC = \angle BHC = 90^\circ, both HH and JJ lie on the circle with diameter BC‾\overline{BC} centered at D,D, so DJ=DBDJ = DB and DH=DC.DH = DC. Isosceles triangle BDJBDJ gives ∠JDB=180∘−2⋅60∘=60∘,\angle JDB = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ, and isosceles triangle CDHCDH gives ∠HDC=180∘−2⋅36∘=108∘.\angle HDC = 180^\circ - 2 \cdot 36^\circ = 108^\circ. Hence ∠JDH=180∘−60∘\angle JDH = 180^\circ - 60^\circ −108∘=12∘- 108^\circ = 12^\circ and HJ⌢=24∘.\overset{\frown}{HJ} = 24^\circ.
Therefore DE⌢+2⋅HJ⌢\overset{\frown}{DE} + 2 \cdot \overset{\frown}{HJ} +3⋅FG⌢+ 3 \cdot \overset{\frown}{FG} =72+48+216=336.= 72 + 48 + 216 = 336.
Problema 4#4
Examen completo
Problema 6#6

El Problema 5 en otros años

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