Question

Hay $8! = 40320$ enteros positivos de ocho dígitos que usan cada uno de los dígitos $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ exactamente una vez. Sea $N$ el número de estos enteros que son divisibles entre $22.$ Halle la diferencia entre $N$ y $2025.$

There are $8! = 40320$ eight-digit positive integers that use each of the digits $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ exactly once. Let $N$ be the number of these integers that are divisible by $22.$ Find the difference between $N$ and $2025.$

Respuesta

Solución:

Los dígitos suman $36.$ La divisibilidad entre $11$ exige que la suma alternada de los dígitos sea múltiplo de $11,$ así que si los cuatro dígitos en posiciones impares suman $a,$ entonces $a - (36 - a) = 2a - 36$ debe ser múltiplo de $11.$ Como $10 \le a \le 26,$ la única posibilidad es $a = 18:$ cada bloque de cuatro posiciones tiene suma de dígitos $18.$ Los subconjuntos de cuatro elementos de $\{1, \ldots, 8\}$ con suma $18$ son $\begin{gathered} \{1,2,7,8\},\ \{1,3,6,8\},\ \\ \{1,4,5,8\},\ \{1,4,6,7\},\ \\ \{2,3,5,8\},\ \{2,3,6,7\},\ \\ \{2,4,5,7\},\ \{3,4,5,6\}, \end{gathered}$ ocho en total, y vienen en pares complementarios.

Elija cuál de los $8$ subconjuntos ocupa las posiciones pares (que incluyen las unidades); el complemento llena las posiciones impares. Si ese subconjunto contiene $k$ de los dígitos pares, entonces el dígito de las unidades se puede elegir de $k$ formas, el resto de las posiciones pares de $3!$ formas, y las posiciones impares de $4!$ formas, para $144k$ números. Los subconjuntos complementarios tienen valores de $k$ que suman $4,$ así que sobre las $8$ elecciones $\sum k = 16.$ Por lo tanto $N = 144 \cdot 16 = 2304,$ y $N - 2025 = 279.$

The digits sum to $36.$ Divisibility by $11$ requires the alternating sum of digits to be a multiple of $11,$ so if the four digits in odd positions sum to $a,$ then $a - (36 - a) = 2a - 36$ must be a multiple of $11.$ Since $10 \le a \le 26,$ the only possibility is $a = 18:$ each block of four positions carries digit sum $18.$ The four-element subsets of $\{1, \ldots, 8\}$ with sum $18$ are $\begin{gathered} \{1,2,7,8\},\ \{1,3,6,8\},\ \\ \{1,4,5,8\},\ \{1,4,6,7\},\ \\ \{2,3,5,8\},\ \{2,3,6,7\},\ \\ \{2,4,5,7\},\ \{3,4,5,6\}, \end{gathered}$ eight in all, and they come in complementary pairs.

Choose which of the $8$ subsets occupies the even positions (which include the units place); the complement fills the odd positions. If that subset contains $k$ of the even digits, then the units digit can be chosen in $k$ ways, the rest of the even positions in $3!$ ways, and the odd positions in $4!$ ways, for $144k$ numbers. Complementary subsets have $k$ -values summing to $4,$ so over all $8$ choices $\sum k = 16.$ Hence $N = 144 \cdot 16 = 2304,$ and $N - 2025 = 279.$

2025 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años