Question

En un cajón Sandy tiene $5$ pares de calcetines, cada par de un color distinto. El lunes Sandy elige al azar dos calcetines individuales de los $10$ calcetines del cajón. El martes Sandy elige al azar $2$ de los $8$ calcetines restantes y el miércoles dos de los $6$ calcetines restantes al azar. La probabilidad de que el miércoles sea el primer día en que Sandy elige calcetines que coinciden es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

In a drawer Sandy has $5$ pairs of socks, each pair a different color. On Monday Sandy selects two individual socks at random from the $10$ socks in the drawer. On Tuesday Sandy selects $2$ of the remaining $8$ socks at random and on Wednesday two of the remaining $6$ socks at random. The probability that Wednesday is the first day Sandy selects matching socks is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Imagina repartir los diez calcetines de dos en dos durante cinco días; cada asignación de pares no ordenados a los días es igualmente probable, y permutar los días no cambia esta distribución. Intercambiar el lunes y el miércoles muestra entonces que la probabilidad buscada (sin coincidencia, sin coincidencia, coincidencia) es igual a la probabilidad de una coincidencia el lunes seguida de no coincidencias el martes y el miércoles.

Ese patrón es fácil de calcular en orden. El lunes coincide con probabilidad $\frac{1}{9}$ (el segundo calcetín debe ser la pareja del primero). Los $8$ calcetines restantes forman entonces $4$ pares completos, así que el martes no coincide con probabilidad $1 - \frac{4}{\binom{8}{2}} = \frac{6}{7}.$ La no coincidencia del martes rompe dos pares, dejando $2$ pares completos entre los $6$ calcetines restantes, así que el miércoles no coincide con probabilidad $1 - \frac{2}{\binom{6}{2}} = \frac{13}{15}.$

La probabilidad es $\frac{1}{9} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{13}{15} = \frac{26}{315},$ así que $m + n = 26 + 315 = 341.$

Imagine dealing all ten socks out two per day for five days; every assignment of unordered pairs to days is equally likely, and permuting the days does not change this distribution. Swapping Monday and Wednesday therefore shows that the desired probability (mismatch, mismatch, match) equals the probability of a match on Monday followed by mismatches on Tuesday and Wednesday.

That pattern is easy to compute in order. Monday matches with probability $\frac{1}{9}$ (the second sock must be the first sock's mate). The remaining $8$ socks then form $4$ complete pairs, so Tuesday mismatches with probability $1 - \frac{4}{\binom{8}{2}} = \frac{6}{7}.$ Tuesday's mismatch breaks two pairs, leaving $2$ complete pairs among the $6$ remaining socks, so Wednesday mismatches with probability $1 - \frac{2}{\binom{6}{2}} = \frac{13}{15}.$

The probability is $\frac{1}{9} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{13}{15} = \frac{26}{315},$ so $m + n = 26 + 315 = 341.$

2015 AIME I Problema 5

Solución:

El Problema 5 en otros años