Question

Los puntos $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ y $E$ están igualmente espaciados sobre un arco menor de un círculo. Los puntos $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ y $A$ están igualmente espaciados sobre un arco menor de un segundo círculo con centro $C$ como se muestra en la figura de abajo. El ángulo $\angle ABD$ excede a $\angle AHG$ en $12^\circ.$ Halla la medida en grados de $\angle BAG.$

Points $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ and $E$ are equally spaced on a minor arc of a circle. Points $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ $I,$ and $A$ are equally spaced on a minor arc of a second circle with center $C$ as shown in the figure below. The angle $\angle ABD$ exceeds $\angle AHG$ by $12^\circ.$ Find the degree measure of $\angle BAG.$

Respuesta

Solución:

Sea $\alpha = \angle ECF$ $= \angle FCG$ $= \angle GCH$ $= \angle HCI$ $= \angle ICA,$ el ángulo central común del segundo círculo, así que $\angle ACE = 5\alpha.$ Como $C$ también está en el primer círculo, $\angle ACE$ es allí un ángulo inscrito, por lo que el arco $AE$ que no contiene a $C$ mide $10\alpha,$ y cada uno de los cuatro arcos iguales $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE$ mide $\frac{360^\circ - 10\alpha}{4} = 90^\circ - \frac{5\alpha}{2}.$

El ángulo $ABD$ subtiende el arco $AD$ que no contiene a $B,$ que es $360^\circ - 3\left(90^\circ - \frac{5\alpha}{2}\right),$ así que $\angle ABD = 45^\circ + \frac{15\alpha}{4}.$ El ángulo $AHG$ subtiende el arco $AG$ del segundo círculo que no contiene a $H,$ que es $360^\circ - 3\alpha,$ así que $\angle AHG = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}.$ La condición dada se lee $\begin{aligned} &\left(45^\circ + \frac{15\alpha}{4}\right) - \left(180^\circ - \frac{3\alpha}{2}\right) \\ &= \frac{21\alpha}{4} - 135^\circ = 12^\circ, \end{aligned}$ así que $\alpha = 28^\circ.$

Finalmente, $\angle BAE$ subtiende el arco $BCDE = 3\left(90^\circ - \frac{5\alpha}{2}\right) = 60^\circ$ del primer círculo, dando $\angle BAE = 30^\circ,$ y $\angle EAG$ subtiende el arco $EFG = 2\alpha$ del segundo círculo, dando $\angle EAG = 28^\circ.$ Por lo tanto $\angle BAG = \angle BAE + \angle EAG$ $= 30^\circ + 28^\circ = 58^\circ.$

Let $\alpha = \angle ECF$ $= \angle FCG$ $= \angle GCH$ $= \angle HCI$ $= \angle ICA,$ the common central angle of the second circle, so $\angle ACE = 5\alpha.$ Since $C$ also lies on the first circle, $\angle ACE$ is an inscribed angle there, so the arc $AE$ not containing $C$ measures $10\alpha,$ and each of the four equal arcs $AB,$ $BC,$ $CD,$ $DE$ measures $\frac{360^\circ - 10\alpha}{4} = 90^\circ - \frac{5\alpha}{2}.$

Angle $ABD$ subtends the arc $AD$ not containing $B,$ which is $360^\circ - 3\left(90^\circ - \frac{5\alpha}{2}\right),$ so $\angle ABD = 45^\circ + \frac{15\alpha}{4}.$ Angle $AHG$ subtends the second circle's arc $AG$ not containing $H,$ which is $360^\circ - 3\alpha,$ so $\angle AHG = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}.$ The given condition reads $\begin{aligned} &\left(45^\circ + \frac{15\alpha}{4}\right) - \left(180^\circ - \frac{3\alpha}{2}\right) \\ &= \frac{21\alpha}{4} - 135^\circ = 12^\circ, \end{aligned}$ so $\alpha = 28^\circ.$

Finally, $\angle BAE$ subtends the first circle's arc $BCDE = 3\left(90^\circ - \frac{5\alpha}{2}\right) = 60^\circ,$ giving $\angle BAE = 30^\circ,$ and $\angle EAG$ subtends the second circle's arc $EFG = 2\alpha,$ giving $\angle EAG = 28^\circ.$ Hence $\angle BAG = \angle BAE + \angle EAG$ $= 30^\circ + 28^\circ = 58^\circ.$

2015 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años