Question

Alice sabe que se le mostrarán $3$ cartas rojas y $3$ cartas negras, una a la vez, en orden aleatorio. Antes de que se muestre cada carta, Alice debe adivinar su color. Si Alice juega de forma óptima, el número esperado de cartas que adivinará correctamente es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Alice knows that $3$ red cards and $3$ black cards will be revealed to her one at a time in random order. Before each card is revealed, Alice must guess its color. If Alice plays optimally, the expected number of cards she will guess correctly is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea lo que sea que Alice adivine, la baraja evoluciona de la misma manera; solo la probabilidad de acierto inmediato depende de su suposición, así que es óptimo adivinar un color con más cartas restantes. Sea $E(r, b)$ el número esperado de aciertos desde un estado con $r$ rojas y $b$ negras restantes. Entonces $E(r, 0) = r,$ $E(0, b) = b,$ y $\begin{aligned} E(r, b) &= \frac{\max(r, b)}{r + b} \\ &\quad {}+ \scriptsize \frac{r\,E(r-1, b) + b\,E(r, b-1)}{r + b}. \end{aligned}$

Por simetría $E(r, b) = E(b, r).$ Calculando hacia arriba: $E(1,1) = \frac{3}{2},$ $E(2,1) = \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \frac{3}{2} + 2}{3} = \frac{7}{3},$ $E(2,2) = \frac{1}{2} + \frac{7}{3} = \frac{17}{6},$ $E(3,1) = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot \frac{7}{3} + 3}{4} = \frac{13}{4},$ $E(3,2) = \frac{3}{5} + \frac{3 \cdot \frac{17}{6} + 2 \cdot \frac{13}{4}}{5} = \frac{18}{5},$ y finalmente $E(3,3) = \frac{1}{2} + \frac{18}{5} = \frac{41}{10}.$

Así que el número esperado de aciertos es $\frac{41}{10},$ y $m + n = 41 + 10 = 51.$

Whatever Alice guesses, the deck evolves the same way; only the immediate success probability depends on her guess, so it is optimal to guess a color with the most cards remaining. Let $E(r, b)$ be the expected number of correct guesses from a state with $r$ red and $b$ black cards left. Then $E(r, 0) = r,$ $E(0, b) = b,$ and $\begin{aligned} E(r, b) &= \frac{\max(r, b)}{r + b} \\ &\quad {}+ \scriptsize \frac{r\,E(r-1, b) + b\,E(r, b-1)}{r + b}. \end{aligned}$

By symmetry $E(r, b) = E(b, r).$ Computing upward: $E(1,1) = \frac{3}{2},$ $E(2,1) = \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot \frac{3}{2} + 2}{3} = \frac{7}{3},$ $E(2,2) = \frac{1}{2} + \frac{7}{3} = \frac{17}{6},$ $E(3,1) = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot \frac{7}{3} + 3}{4} = \frac{13}{4},$ $E(3,2) = \frac{3}{5} + \frac{3 \cdot \frac{17}{6} + 2 \cdot \frac{13}{4}}{5} = \frac{18}{5},$ and finally $E(3,3) = \frac{1}{2} + \frac{18}{5} = \frac{41}{10}.$

So the expected number of correct guesses is $\frac{41}{10},$ and $m + n = 41 + 10 = 51.$

2023 AIME I Problema 6

Solución:

El Problema 6 en otros años